第二讲 预期效用函数于均方偏好.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二讲 预期效用函数与均方偏好,对外经济贸易大学金融学院 郭敏 教授,minguo992002,1/13/2026,1,一、二元关系,(binary relations),与偏好关系（,preference relationship,）,二元关系,(binary relations),一个集合上的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。,有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于不同性质的集合。,有的二元关系满足一定的性质，如完全性、传递性、自反性、（非）对称性。我们主要考虑前三者。,1/13/2026,2,二元关系,(binary relations),定义集合,X,元素,x,，,y,，,z,。,如果二元关系满足；对于任意,x,X,有,x,x,则称 具有自反性,如果二元关系满足；对于任意,x,y,X,要么,x,y,y,x,则称 具有完全性。,如果二元关系满足；对于任意,x,y,z,X,x,y,y,z,意味着,x z,则称具有传递性。,1/13/2026,3,定义,:,是指具有传递性、完全性、自反性的一个二元关系,。,偏好关系的一般表示是对于,x,y,X,有,x,y,，但有以下两种特殊偏好关系：,给定偏好关系，,称,x,与,y,是无差别的，如果,x,yy,x,。,记为,x y,称,x,严格偏,好,y,，,如果,x,y,，但,y,x,不成立。记作：,x,y,偏好关系,(preference relationship),1/13/2026,4,三,、,期望效用函数,不确定性下的投资决策选择,给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示，但是当可能状态数目非常巨大时，证券组合是一个高维的向量或随机变量,为此，我们对效用函数进一步限制，经常用一类更为特殊的、性质更好的效用函数,期望效用函数,。,1/13/2026,5,（一）不确定性下的选择问题与对象,不确定性下的选择问题是其预期效用最大化的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。,因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（,Lottery),或未定商品（,contingent commodity),1/13/2026,6,假设投资者的证券组合收益变量的概率分布定义在有限集合,L,上，,投资者的证券组合选择也可看成抽彩（,lottery,）,（,或者投资者的消费计划，或者投资收益），,L,中的元素为所有可能各种奖金数额，不妨设,L,=l,1,，,，,l,n,，,得到奖品的,l,i,的概率为,p(l,i,),，,i=1,，,2.n.,(l,1,，,p,1,；,；,l,n,，,p,n,),表示一次性抽彩,p,P,。,1/13/2026,7,复赌（,复合抽彩,“,a compound lottery”,）,:,显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确定性利益,1/13/2026,8,公理：不确定性利益是某些随机变量所构成的一个集合,L,，并且对于任何两个不确定性利益,a,b,来说，以概率,p,得,a,，以概率（,1,p),得,b,也是不确定性利益，这个不确定性利益可称为,a,以概率,p,与,b,的平均，记为（,a,b;p).,1/13/2026,9,（二）期望效用函数,（,expected utility function,）,不确定性下的投资决策原则,VNM,预期效用函数：在不确定性下，证券收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集合,L,上直接定义效用函数,u:L R,，,使得不确定性利益,a,比不确定性利益,b,好等价于,u(a)u(b),并且对于任何不确定性利益,a,与,b,，,a,以概率,p,与,b,的平均,(a,b,；,p),满足：,u(a,b;p)=pu(a)+(1-p)u(b),1/13/2026,10,其含义是一种“未定商品”的效用就等于该“未定商品”所涉及的“确定商品”效用的均值。,所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益就是比较“钱的函数的数学期望”（“而不是钱的数学期望”）。,1/13/2026,11,如果偏好可以用期望效用函数来表示，那么它明确的表示了不同状态的概率分布如何影响消费计划的总效用。,偏好中的概率以及消费本身的个人喜好明确分离，前者是外生的，后者是因人而异的,。,1/13/2026,12,期望效用函数的时间可加性或时间分离性,效用函数把影响偏好的三个因素完全分开：,每一消费路径发生的概率,P,消费的时间性,由消费得到的效用本身,u,1/13/2026,13,期望效用函数的提出者,VNM,效用函数,（,上）,John von Neumann(1903-1957),（,下）,Oskar Morgenstern(1902-1977),1944,年在巨著,对策论与经济行为,中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险,1/13/2026,14,（,三）期望效用函数的公理化陈述,VNM,期望效用函数存在定理,:,定义在,L,上的偏好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可以 用,von Neumann and Morgenstern,期望效用函数：,u(a,b;p)=pu(a)+(1-p)u(b),表示，并且期望效用函数是唯一的。,1/13/2026,15,公理,1,（序假设）,二元关系,是一个定义在,L,上的偏好关系，满足：,自返性,传递性,完全性,1/13/2026,16,假设,2,（约简公理,Reduction Axiom,）,对于任意,即,1/13/2026,17,对于,p,q,L,pq,意味着,ap+(1-a)r a q+(1-a)r,对任意,r,L,任意,a,(0,1),。,含义,:,引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给定事件中的消费,p,、,q,的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时消费,r,将会是什么。,公理,3,（,独立性公理,或,替代公理,，,Independent or Substitute Axiom,）,1/13/2026,18,对于,p,q,r,L,pqr,则存在实数,a,b,(0,1),使得,a,p+(1-a)rqbp+(1-b)r,含义,:,没有哪一个消费计划,p,好到使得对任意满足,qr,的消费计划，能使得P,的发生是个等于,b,的小概率事件而,r,的发生是等于（,1,b,）的大概率事件的复合彩票,bp+(1-b)r,的效用从来不比,q,差。同样，没有哪一个消费计划,r,，,差到使得对任意满足,pq,的消费计划能使得,P,的发生是等于,a,的大概率事件，而,r,的发生是等于一个（,1-a,）的小概率事件的复合彩票,ap+(1-a)r,的效用从来不比,q,好。即不存在无限好或无限差的消费计划。,(,数学上有类似的阿基米德公理,),公理,4,（阿基米德公理，,Archimedean,Axion,）,1/13/2026,19,（四）对期望效用函数的置疑,“,Allais,悖论,”,(1953),期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是,“,Allais,悖论,”,(1953),。,由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。,（,法）,Maurice Allais(1911-)1988,年诺贝尔经济奖获得者。,1/13/2026,20,（五）风险厌恶偏好,18,世纪著名的数学家,Daniel Bernoulli,在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博输掉的钱看得比可能赢的钱跟重。例如,:,有一个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，正面朝上可以赢,2000,元，反面朝上,1,分钱什么也没有。现在入局费为多少，才能使这场赌博为一场公平的赌博？,1/13/2026,21,1.,公平赌博,公平赌博是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个赌局的随机收益,为,，,其变化均值为,E(,)=0,的赌局。或者公平赌博是指一个赌博结果的预期只应当和入局费相等的赌博。,1/13/2026,22,考虑一个博弈，它以概率,p,有一个正的回报,h,1,以概率,（,1-p,）,有负收益,h,2,它称为一个公平的赌博,是指,ph,1,+(1-p)h,2,=0,。,如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。,或者说公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均意义上的应该是不输不赢,。,1/13/2026,23,怎样判别风险厌恶、风险喜好和风险中性,若投资者的初始财富为,W,0,，,他不参与一个公平赌博，则其效用值是,U(W,0,),若参与，则其财富会起变化，变化的财富的期望效用是以,p,取（,W,0,h,1,),以（,1,p,）,取（,W,0,h,2,),比较投资者对二者之间态度，可以判断投资者的风险态度。,1/13/2026,24,确定性利益与不确定性利益的效用比较,1/13/2026,25,定义：,如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博，,即,u(W,0,),pu(W,0,+h,1,)+(1-p)u(W,0,+h,2,),，,则称投资者是风险厌恶型。此时，效用函数,u,是一个凹函数，更一般的表示为,：,u(E(W),E(u(W),。,个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。,个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博。,定理,u,的凹性对应着个体风险厌恶,；,u,的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。,2,.,风险厌恶,1/13/2026,26,风险厌恶的函数图形,1/13/2026,27,定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌博,，即,u(W,0,)pu(W,0,+h,1,)+(1-p)u(W,0,+h,2,),，,则称投资者是风险爱好型。此时，效用函数,u,是一个凸函数，更一般的表示为,：,uE(W)E(u(W),。,3.,风险喜好,1/13/2026,28,这种投资者把风险的“乐趣”考虑在内，使预期收益率上调。因为上调的风险效用的公平赌博的确定等价值高于一个确定性收入财富，风险爱好者总是加入公平赌博。,1/13/2026,29,4,、风险中性,定义：如果投资者对是否参与所有公平的赌博没有任何差别，则称投资者是风险中性型。此时，,u(W,0,)=pu(W,0,+h,1,)+(1-p)u(W,0,+h,2,),，,效用函数,u,是一个线性函数，更一般的表示为：,u(E(W)=E(u(W),1/13/2026,30,这时，投资者对风险采取完全无所谓的态度，不对风险资产要求任何风险补偿投资者只是按照预期收益率来判断风险投资。风险的高低与风险中性投资者无关，这意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价报酬率就是预期收益率。,1/13/2026,31,四、个体风险厌恶度量,假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个人风险厌恶的程度可能个不相同，因此需要对风险厌恶程度给出一个度量。,Markowitz risk premium,Pratt-Arrow risk premium,1/13/2026,32,（一）确定性等值与,Markowitz risk premium,定义：,W,0,-f(W,0,H),称为确定性等值（,certainty equivalent wealth,）,确定性等值（,CE),是一个完全确定,的量，在此收入水平（被认为这是一个确定性财富）上的效用水平等于不确定条件下财富的期望效用水平。,1/13/2026,33,定义：,f(W,0,H),是一个收入额度，当一个完全确定的收入减去该额度后所产生的效用水平等于不确定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明投资者为了避免赌博愿交的罚金越多，因而就越厌恶风险。,f(W,0,H),是投资者为了避免参与赌博（一个不确定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量。这个特定的额度称为罚金,f(W,0,H),或,Markowitz risk premium.,1/13/2026,34,它们满足下式,uW,0,-f(W,0,H)=pu(W,0,+h,1,)+(1-p)u(W,0,+h,2,),其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的额度后的效用相当于不确定财富的期望效用,.,或者,1/13/2026,35,（,二）,Pratt-Arrow risk premium,定义 考察风险很小的赌博，,Pratt-Arrow,风险溢价定义为：,1/13/2026,36,（三）绝对风险厌恶与相对风险厌恶,绝对的厌恶风险型,对于个体效用函数，定义它的绝对风险厌恶系数为：,用来判断当个体在风险资产与无风险资产之间进行选择时，是否能像对待正常商品一样对待有风险资产。,1/13/2026,37,定义 如果,RA,（）,是严格递减的函数，即,，那么称投资者是递减绝对,风险厌恶的，类似的，若 ，,那么称投资者是常绝对风险厌恶的，若,，则称投资者是递增绝对,风险厌恶的。,1/13/2026,38,定理（阿,罗,-,普拉特定理）对于递减绝对风险厌恶者来说，随着个人财富的增长，他对风险资产的投资也就越大；对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的增加，他对风险资产投资反而减少（视风险资产为劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富无关,。,1/13/2026,39,前面我们已经知道：显示递减绝对风险厌恶系数的投资者，当财富增加时，他对风险资产的绝对投资量也会增加，但是，不能回答，相对于总财富的风险投资比例是增加还是减少。引入相对风险厌恶的概念可以回答这一问题。,1/13/2026,40,相对的厌恶风险型,对于个体效用函数，定义它的相对风险厌恶系数为：,1/13/2026,41,定义：,如果,R,R,（）,是严格递减的函数 即 ，,那么称投资者是递减相对风险厌恶的；,若 那么称投资者是常（不变）相对风 险厌恶的；,若 ，则称投资者是递增相对风险,厌恶的。,1/13/2026,42,定理 对于递增相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性小于,1,（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例下降），对于不变相对风险厌恶者，风险资产需求的弹性等于,1,，对于递减相对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性大于,1,（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例上升）。,财富弹性：随着财富的增加，投资于风险资产的比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）。,1/13/2026,43,究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型？,普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映了大多数投资者的投资行为。,但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为,.,1/13/2026,44,下面的效用函数通常被用来在金融学中解释前面所讨论的风险厌恶的性质。,凹的二次效用函数,这个二次函数显示了递增（递减，不变）的绝对风险厌恶？,（四常用风险厌恶型的效用函数,1/13/2026,45,负指数效用函数,是递增绝对风险厌恶函数吗？,广义幂效用函数,判断广义幂函数表示的是递增还是递减的绝对与相对风险厌恶？,1/13/2026,46,狭义幂效用函数如下所示：,判断绝对风险厌恶系数与相对风险厌恶系数的情况。,对数效用函数,:,u(z,)=,lnz,1/13/2026,47,五、预期效用函数与均方偏好的关系,（一）金融决策的核心问题是什么？,不确定条件下收益与风险的权衡,tradeoff between risk and return,。,投资组合理论的基本思想：投资组合是一个风险与收益的,tradeoff,问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。,“nothing ventured,nothing gained”,for a given level of return to minimize the risk,and for a given level of risk level to maximize the return“,“Dont put all eggs into one basket”,1/13/2026,48,马科维兹于,1952,年提出的,“,均值方差组合模型,”,是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下，以资产组合中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界,(Efficient Frontier),，,即一定收益率水平下方差最小的投资组合，并导出投资者只在有效边界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念，欲使投资组合风险最小，除了多样化投资于不同的股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。因此，马科维兹的,“,均值方差组合模型,”,不只隐含将资金分散投资于不同种类的股票，还隐含应将资金投资于不同产业的股票。同时马科维兹均值方差模型也是提供确定有效边界的技术路径的一个规范性数理模型。,1/13/2026,49,实现方法：,收益,证券组合的期望报酬,风险,证券组合的方差,风险和收益的权衡,求解二次规划,1/13/2026,50,均方模型的假设条件：,1.,单期投资,单期投资是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。,2.,投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。,（二）预期效用函数与均方偏好的关系,1/13/2026,51,3.,资者的效用函数是二次的，即,u(W)=a+bW+CW,2,。,（,注意：假设,2,和,3,成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数）,4,、投资者以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险）因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。,5,、投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。,1/13/2026,52,M-V,模型以资产回报的均值和方差作为选择对象，但是一般而言，资产回报和方差不能完全包含个体做选择时的所有个人期望效用函数信息。,在什么条件下，期望效用分析和均值方差分析是一致的？,1/13/2026,53,假设,2,或假设,3,之一成立可保证期望效用仅仅是财富期望和方差的函数,假设个体的初始财富为,W,0,，,个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富,.,设个体的,VNM,效用函数为,u,，,在期末财富的期望值这点，对效用函数进行,Taylor,展开。,1/13/2026,54,上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果财富的高阶矩为,0,或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。,1/13/2026,55,定理,1,如果 则期望效用仅仅是财富的期望和方差的函数,定理,2,如果期望财富服从正态分布，则期望效用函数仅仅是财富的期望和方差的函数。,1/13/2026,56,由假设条件得出的结论：均值,-,方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。,1/13/2026,57,六、证券组合前沿的推导和性质,1,、,用二次规划得出,N,种证券的组合前沿,假定市场上有,N2,种风险资产，允许卖空，期望收益率为,e,j,，,j=1,n.,权重为,w,j,.,假设任一资产的收益率不能由其他资产的收益率线性表出，方差,-,协方矩阵,V,满足,对称,非奇异,正定的,1/13/2026,58,定义,:,称一个证券组合 是前沿证券组合,(a frontier portfolio),如果它在所有等均值收益率的证券组合中具有最小方差值。,用数学语言描述为：,P,是一个前沿证券组合当且仅当它的证券组合权重 是下列二次规划问题的解,:,1/13/2026,59,求解结果：,任何前沿资产组合都可用上式表示,另一方面,任何可用上式表示的资产组合都是前沿边界的资产组合,.,1/13/2026,60,2,、求解结果分析：证券组合前沿的基本性质,对于,命题,1,：,g,是具有,0,期望收益率的前沿边界资产组合相应的权重向量。,g+h,是期望收益率为,1,的前沿边界资产权重向量。,命题,2,：整个资产组合的前沿边界可以由,g,和,g+h,这两个前沿边界的资产组合生成。,命题,3,：由命题,2,得出,:,资产组合前沿边界可以由任意两个相异的前沿边界资产组合生成。,1/13/2026,61,3,、在均方平面中 证券组合前沿的几何结构,任何两个前沿边界资产组合,p,和,q,的收益率协方差为：,对于任意前沿组合的资产收益率的标准差与期望收益率之间的关系：,1/13/2026,62,由,以上等式整理得到：在均方平面上这个等式是以（,0,，,A/C),为中心，以,为渐进线的双曲线。,等价地，证券组合前沿也是一条抛物线。,1/13/2026,63,MVP,A/C,1/13/2026,64,再在证券组合前沿中定义什么是有效资产组合？,期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率,A/C,的前沿边界资产组合称为有效资产组合。,什么是非有效资产组合？,位于资产组合前沿边界或边界围成的区域内，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的资产组合称为非有效资产组合。,对于每一个非有效资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。,1/13/2026,65,4,、组合前沿的数学性质,性质,1,最小方差组合,mvp,，,与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差,即,性质,2,任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。,1/13/2026,66,性质,3,资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产,p,，,除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，,用,zc(p,),表示，与,p,的协方差为,0,。,性质,4,最小方差资产组合与任何其他前沿边界资产组合的协方差为,1/C.,从而不存在与最小方差资产组合具有,0,协方差的前沿边界资产组合,1/13/2026,67,性质,5,如果,p,是有效资产组合，则,这样,的,zc(p,),是一个非有效的资产组合。,在标准差,-,期望收益率空间中，经过与任何前沿边界资产组合（除最小方差资产组合）相对应的点，与资产组合前沿边界相切的直线在期望收益率坐标轴上的截矩是 。相应的，在方差,-,期望收益率空间中，连接任何前沿边界资产组合,p,和,mvp,的直线在期望收益率坐标轴上的截矩等于,1/13/2026,68,