1、高等数学,曲线的凹凸性,一、曲线的凹凸性,二、曲线的拐点及其求法,一、曲线的凹凸性,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,凹,（上凹）,凸,（下凹）,定义,如,果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或,称上凹）；,如,果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的（或,称下凹）,.,x,1,x,2,x,y,o,1,2,凹,（上凹）,凸,（下凹）,x,y,o,1,2,x,2,x,1,定理,2.12,例,1,解,例,2,例,2,解,注意到,例,3,例,3,解,定义：,连续曲,线凹,弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。,说明：,拐点是曲线凹凸
2、的转折点，那么曲线的二阶导数,f,(,x,),由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数,f,(,x,),一定,等于零或者不存在,.,的凹凸性,.,例,4.,判断函数,解,:,故曲线,在,上是凹的,.,说明,:,若在某点二阶导数为,0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变,.,.,判定曲线,y,=,f,(,x,)的凹凸及拐点的步骤：,1、确定函数的定义域；,2、求出函数的二阶导函数,f,(,x,)；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；,3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。,例,5.,解,拐点,凸,凹,凹,非拐点,不存在,例,6,例,6,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,内容小结,1.,可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,2.,曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,思考题,1.,2.,.,曲线,的凹区间是,凸区间是,拐点为,提示,:,及,;,;,练 习 题,练习题答案,
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