数学期望E(x)D(x).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章,数字特征,引言,一、数学期望,问题,：,随机变量的均值应如何定义？,例如，甲、乙两射手，各射击十次，,X,Y,分别表示他们射中的环数，如表：,X,甲,8 9 10,击中次数,3 1 6 P 0.3 0.1 0.6,Y,乙,8 9 10,击中次数,2 5 3,P 0.2 0.5 0.3,评价这两射手的水平？,解：现求在这十次射击中，平均击中的环数：,结果：甲平均击中的环数,9.3,乙平均击中的环数,9.1,甲水平较高。,根据概率的统计定义作分析：击中次数,N,i,与,N,的比值，是这,N,次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当,N,很大时,N,i,/N,接近于射中环数的概率。,1.,离散型随机变量的数学期望,(1),定义,设离散型随机变量,X,的分布律为,PX=,x,k,=,p,k,，,k=1,2,若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量,X,的,数学期望,，记为,E(X),，即,注释,(1),X,的期望,E(X),是一个数，它形式上是,X,的可能值 的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它 体现了,X,取值的真正平均，为此我们又称它为,X,的 均值。因为它完全由,X,的分布所决定，所以又称 为分布的平均值。,(2)E(X),作为刻划,X,的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。,例,1:,设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为,0.6,，,0.3,，,0.1,。在这三种情况下每件产品的利润分别为,10,元，,0,元，,15,元（即亏损,15,元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？,解,:,设,X,表示一件产品的利润（单位元），,X,是随机变量，且,X,的分布律为,X 10 0 -15,P 0.6 0.3 0.1,依题意，所要求的是,X,的数学期望,E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(,元,),(2),几种典型的离散型随机变量的数学期望,i.,X,服从参数为,p,的,(0,1),分布：,E(X)=0,(1-p)+1,p=p,；,ii.,若,X,B(n,p,),则,E(X)=,np,；,证明：,X,的分布律为,X 0 1,P 1-p p,iii.,若,X,P(,),，则,E(X)=,。,证明：,X,的分布律为,2,连续型随机变量的数学期望,(1),定义 设连续型随机变量,X,的概率密度为,f(x),，,若积分 绝对收敛，则称此积分的值为随 机变量,X,的数学期望，记为,E(X),。即,例,1,若,X,N(,2,),，求,E(X),。,解：,X,的概率密度为：,特别地，若,X,N(0,1),，则,E(X)0,。,(1),几个常见连续型随机变量的数学期望,i.,若,X,U(a,b),则,E(X)=(a+b)/2.,证：,X,的概率密度为,ii.,若,X,N(,2,),，则,E(X)=,。,iii.,若,X,服从指数分布 ，则,E(X)=1/,。,3.,随机变量的函数的数学期望,定理,设,Y,是随机变量,X,的函数,:Y=g(X)(g,是连续函数,),，,(1)X,是离散型随机变量，它的分布律为,PX=,x,k,=,p,k,，,k=1,，,2,，,，,若 绝对收敛，则有,(2)X,是连续型随机变量，它的概率密度为,f,(,x,),，,若 绝对收敛，则有,注释,A.,在计算随机变量的函数,Y=g(X),的期望时，我们可以先确定,Y=g(X),的分布进而计算函数,Y,的期望,E(Y),。,但由前两章的讨论可以看出，确定,Y=g(X),的分布并不容易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求,E(Y),时，不必知道,Y,的分布而只需知道,X,的分布就可以了。,B.,在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期望时，如能将,X,表示成有限个简单随机变量之和，那么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这也是计算期望的一个技巧,。,C.,上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情况。例如，设,Z,是随机变量,X,，,Y,的函数,Z=gX,，,Y)(g,是连续函数,),，那么，,Z,也是一个随机变量，若二维随机变量,(X,，,Y),的概率密度为,f,(,x,，,y,),则有,这里设上式右边的积分绝对收敛，又若,(X,，,Y),为离散型随机变量。其分布律为,PX=,x,i,Y,=,y,j,=,p,ij,i,j,=1,2,.,则有,这里设上式右边的级数绝对收敛。,例,设随机变量,在,上服从均匀分布,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,例,设随机变量,在,上服从均匀分布,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,例,设随机变量,在,上服从均匀分布,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,完,例,1:,有,5,个相互独立工作的电子装置，它们的寿命,X,k,(k,=1,，,2,，,3,，,4,，,5),服从同一指数分布，其概率密度为,(,0),若将这,5,个电子装置串联工作组成整机，求整机 寿命,N,的数学期望；,解,:,X,k,(k,=1,，,2,，,3,，,4,，,5),的分布函数为,(1),由第三章知,N=min(X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,),的分布函数为,因而,N,的概率密度为,于是,N,的数学期望为,注 对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。,例如,(1),随机变量,X,的取值为,易验证 满足分布律的两个条件，但,发散。所以,E(X),不存在。,(2),随机变量,X,的概率密度为,(,柯西分布,),。,所以,E(X),不存在。,三、数学期望的性质,数学期望具有以下几条重要性质,(,设以下所遇到的随机变量的期望是存在的,),：,(1)C,为常数,则有,E(C)=C,；,(2),设,X,是一个随机变量，,C,常数，则有,E(CX)=CE(X),；,(3),设,X,，,Y,是两个随机变量，则有,E(X+Y)=E(X)+E(Y),这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况,:,(4),设,X,，,Y,是,相互独立,的随机变量，则有,:,E(XY)=E(X)E(Y),这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况,(5),若,X0,则,E(X)0.,由此性质可推得下面性质,:,若,XY,则,E(X)E(Y),；,|E(X)|,E(|X|).,证：只对连续型随机变量证明,(3),和,(4),。,设二维随机变量,(X,，,Y),的概率密度为,f,(,x,，,y,),，,其边缘概率密度为,f,X,(,x,),，,f,Y,(,y,),。,因为,(3),得证。,又若,X,和,Y,相互独立，此时,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),故有,例,一民航送客车载有,20,位旅客自机场开出,旅客有,10,个车站可以下车,.,如到达一个车站没,有旅客下车就不停车,以,表示停车的次数,求,(,设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立,),.,解,引入随机变量,在第,在第,站没有人下车,站有人下车,易知,例14,解,引入随机变量,在第,在第,站没有人下车,站有人下车,易知,现在来求,按题意,任一旅客不在第,站,下车的概率为,因此,20,位旅客都不在第,站下车的概率为,在第,站有人下车的,概率为,即,例14,解,即,例14,解,即,由此,进而,(,次,),.,注,:,本题是将,分解成数个随机变量之和,然后利,用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之,和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍,意义,.,完,第二节 方差,例,:,甲、乙两射手，各射击十次，,X,Y,分别表示他们射中的环数，如表：X,甲,8 9 10,P 0.2 0.6 0.2,Y,乙,8 9 10,P 0.4 0.2 0.4,问哪一个选手技术较好？,解：,E(X)=9.0,；,E(Y)=9.0.,但直观上，他们射击的水平有差异，甲较稳定，相对与,E(X),的偏离较小，所以甲的技术较好。,需要刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征，其中最重要的是方差。,二、方差的定义,1,定义 设,X,是一个随机变量，若,EX-E(X),2,存在，则称,EX-E(X),2,为,X,的,方差,，记为,D(X),或,Var(X,),，,即,:D(X)=EX-E(X),2,。,注释：,(1),方差是随机变量,X,与其“中心”,E(X),的偏差平方的平均。它表达了,X,的取值与其期望值,E(X),的偏离程度。若,X,取值较集中，则,D(X),较小，反之，若取值较分散，则,D(X),较大。,(2),应用上，常用量 ，称为标准差或,均方差,，记为,(X)=,。,(3),对任意的随机变量,D(X),不一定存在，例如,(Cauchy,分布,),，因为,E(X),不存在,所以,D(X),不存在。,2.,方差的计算公式,(2),D(X)=E(X,2,)-E(X),2,证明：,D(X)=EX-E(X),2,=E(X,2,-2XE(X)+E(X),2,),=E(X,2,)-2E(X)E(X)+E(X),2,=E(X,2,)-E(X)2,。,X,甲,8 9 10,P 0.2 0.6 0.2,Y,乙,8 9 10,P 0.4 0.2 0.4,例,1,甲、乙两射手的例中，,例,2,随机变量,X,的概率密度为,求,E(X),，,D(X),。,3,方差的性质,假定以下所遇到的随机变量的方差存在,:,(1),设,C,是常数，则,D(C)=0,；,(2),设,X,是随机变量，,a,是常数，则,D(,a,X,)=,a,2,D(X),从而,D(,a,X+b,)=,a,2,D(X),；,(3),设,X,，,Y,是两个,相互独立,的随机变量，则有,D(X,Y)=D(X)+D(Y),；,证,:,D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y),2,=E(X-E(X)+(Y-E(Y),2,=EX-E(X),2,+EY-E(Y),2,+2EX-E(X)Y-E(Y),由于,X,，,Y,相互独立，,X,E(X),与,Y,E(Y),也相互独立，由数学期望的性质，,2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X),EY-E(Y)=0,于是得,D(X+Y)=D(X)+D(Y).,这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。,(4)D(X)=0,的充要条件是,X,以概率,1,取常数,C,，,即,:,PX=C=1,.,显然，这里,C=E(X),。,(,二,),二项分布,设,X,b,(,n,p,),，,其分布律为,证：令,X,i,服从参数为,P的,(0-1),分布，,i=1,，,2,，,，,n,，,且,X,1,，,X,2,，,Xn,相互独立,则,X,1,+X,2,+,+,Xn,b,(,n,p,),，,于是,E(X)=E(X,1,+X,2,+,Xn,)=,np,D(X)=D(X,1,+X,2,+,Xn,)=D(X,1,)+D(X,2,)+,D(Xn,)=np(1-p)=,npq,.,将,X,表示成,n,个随机变量之和，可将方差的计算简化。这是计算方差的一个技巧。,则,E(X)=,n,p,D(X,)=,n,pq,。,(,二,),泊松分布,设若,X,(,),其分布律为,则,E(X)=,D(X)=,。,所以方差为,D(X)=E(X,2,)E(X),2,=.,泊松分布只含一个参数,，,因而只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布。,(,三,),均匀分布,设,X,在区间,(a,，,b),上服从均匀分布，则,E(X)=(a+b)/2,，,(,四,),正态分布,若,X,N(,2,),，则,E(X)=,，,而方差为,D(X)=,2,.,证：,X,的概率密度为：,正态随机变量的分布完全可由这的数学期望和方差确定。,特别地，,X,N(,2,),，,Y=(X-)/,，,根据正态分布的性质知,Y,服从正态分布而,E(Y)=0,，,D(Y)=1,，故,Y,N(0,，,1),。,这样导出,Y,的分布,N(0,，,1),与第二章中的方法要简便得多。,