1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的旋转,变换,西南交通大学,基础的,2-D,绕原点旋转,在,2-D,的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量,R,逆时针旋转角度,B,前后的情况。在左图中，我们有关系：,x,0,=|R|*,cosA,y,0,=|R|*,sinA,=,cosA,=x,0,/|R|,sinA,=y,0,/|R|,下图中，,x,1,=|R|*,cos,（,A+B,）,y,1,=|R|*sin,（,A+B,）,其中（,x,1,，,y,1,）就是（,x,0,，,y,0,）旋转角
2、B,后得到的点，也就是位置向量,R,最后指向的点。,x,1,=|R|*,cos,（,A+B,）,y,1,=|R|*sin,（,A+B,）,我们展开,cos,（,A+B,）和,sin,（,A+B,），得到,x,1,=|R|*,（,cosAcosB-sinAsinB,）,y,1,=|R|*,（,sinAcosB+cosAsinB,）,现在把,cosA,=x,0,/|R|,sinA,=y,0,/|R|,代入上面的式子，得到,x,1,=|R|*,（,x,0,*cosB/|R|-y,0,*,sinB,/|R|,）,y,1,=|R|*,（,y,0,*cosB/|R|+x,0,*,sinB,/|R|,）,
3、x,1,=x,0,*,cosB,-y,0,*,sinB,y,1,=x,0,*,sinB,+y,0,*,cosB,现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：,2-D,旋转变换矩阵：,平面旋转矩阵,平移部分,平移不是线性的，不能表示为与,22,矩阵相乘的形式。例如要从点,(2,1),开始，将其旋转,90,度，在,x,方向将其平移,3,个单位，在,y,方向将其平移,4,个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。,i,P,1,B,1,1,0,x,y,P,i,B,i,补充部分,平移部分,平移不是线性的，不能表示为与,22,矩阵相乘的形式。例如要从点,(2,1),开始，将其旋转,90,度，在
4、x,方向将其平移,3,个单位，在,y,方向将其平移,4,个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。,后面跟一平移（与,12,矩阵相加）的线性变换（与,22,矩阵相乘）称为,仿射变换,。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个,3*3,的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的,13,矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于,1,。例如，矩阵,2 1 1,代表点,(2,1),。例如与单个,33,矩阵相乘的仿射变换（旋转,90,度；在,x,方向上平移,3,个单位，在,y,方向上平移,4,个单位）：,在前面的示例中，点,(2,1),映射到了点,(2,6),。其中
5、33,矩阵的第三列包含数字,0,，,0,，,1,。对于仿射变换的,33,矩阵都是这样的。重要的数字是列,1,和列,2,中的,6,个数字。矩阵左上角的,22,部分表示变换的线性部分，第,3,行中的前两项表示平移。,在使用,3*3,的矩阵做仿射变换时候，表示点的矩阵变成了一个,1*3,矩阵，这个矩阵中的最后一个值必须设置成,1,。对于,3*3,矩阵，其最后一列的值是多少是没有关系的，因为他们不会影响结果中的前两列。不过如上，经常将他们设置为,0,，,0,，,1,。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响，但是他们是必须的，因为矩阵相乘必须满足“相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相
6、同”。,平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。,把顶点和矩阵相乘，就会发现矩阵的某些项，扮演着为顶点变换（平移、旋转、缩放）提供参数的作用。（前人总结出来，填哪些那些项能得到平移矩阵,/,缩放矩阵,/,旋转矩阵）比如平移矩阵，你自己拿一个顶点和它相乘，算一遍，就会发现它化简到最后一步时的算式，和顶点平移算式是一样的。旋转、缩放也是如此。,那么为什么还要和矩阵相乘？直接用平移算式、旋转算式、缩放算式不就行了？,不行 因为靠矩阵来计算可以减少计算量。,一个顶点要进行多次变换，比如平移后旋转再平移之后再缩放，用简单算式得算,4,遍，矩阵只要算一遍。,原理就是公式：（顶点,矩阵,A,）,矩阵,B=,顶点,（矩阵,A,矩阵,B,），即,矩阵接合律的推广,。（矩阵一般不遵守分配律，所以顶点变换有先后顺序，一个顶点平移再旋转，和旋转再平移，得到的位置不同）即：,很容易地进行组合变换以及逆变换。,机器人中可能很多关节都进行同一套变换。用简单算式，,n,个变换对,m,个顶点，就得算,nm,遍。把,n,个变换做成矩阵，用矩阵乘法接合到一起，那最后,m,个顶点，每个只要同矩阵做一次乘运算，就可以得到变换后的位置。计算量大大降低,
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