随机变量的数学期望4-1.ppt

江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056（Home）,wululym,15994278022（Mobil）,随机变量的数字特征,第四章,1 随机变量的数学期望,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,随机变量函数的数学期望及其一般算法,一,四,1 随机变量的数学期望,二,数学期望的定性与定量定义,退出,数学期望的算子演算性质,三,退出,返回,1.,定性定义,随机变量,X,的平均取值称为其数学期望,记为,随机变量,X,对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均,一、数学期望的定性与定量定义,波动，称为,X,的方差，记为,亦即,方差实际上也是一种数学期望，是随机变量减其数学,期望的平方的数学期望,.,用较为专业的术语讲，它是随机,变量的函数的数学期望,.,因此，求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取,值以偏差平方形式给出的平均波动问题，从本质上而言，,归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题,.,假设在,n,个考试成绩中，,x,i,分的有,m,i,个,(,i,=1,2,k,),那么全部考分的平均分,=?x,1,m,1,+,x,k,m,k,平均分,=,n,平均值可以怎样算？,退出,上式表明，将各种不同考分,x,i,(,i,=1,2,k,),与其在全体考生中所占的百分比,f,i,相乘后再相加,结果就是全部考分的平均分！,一、数学期望的定性与定量定义,类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分,.,退出,返回,2.,随机变量数学期望,E,(,X,),的定量算法,对离散型变量,对连续型变量,或,或,【,对连续变量求算公式的简短解释,】,依概率密度的含义，连续随机变量在长为,dx,的区间上,因此，该随机变量在整,近似取值,x,的概率应等于,一、数学期望的定性与定量定义,个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积,在,整个实轴上的全部累加之和，即应等于其在实轴上的积分,退出,返回,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,3.,六大常见分布的数学期望与分布参数的关系,分布符号,数学期望,E,(,X,),备注,B,(1,p,),p,0-1,分布,B,(,n,p,),n p,二项分布,P,(,),迫松分布,均匀分布,E(,),1/,指数分布,N,(,2,),正态分布,运用数学期望 的定量算法可以证实,六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示,退出,返回,*,1.,随机变量的常见函数、数学期望及其名称,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,是,X,与,Y,与各自数学期望之差的乘积的数学期望,.k,阶原点矩,【,例如,】,恰是,X,自身的数学期望,.,X,的一阶原点矩,是,X,平方的数学期望,.,X,的二阶原点矩,X,的二阶中心矩,是,X,减其数学期望的平方的数学期望,.,k,+,l,阶混合中心矩,k,阶中心矩,X,的二阶混合原点矩,是,X,与,Y,乘积的数学期望,.,X,的,1+1,阶混合中心矩,k,+,l,阶混合原点矩,退出,返回,定理一,设一元函数,g,(,x,),连续，则,当,X,是连续型变量且其一维概率密度为 时,当,X,是离散型变量且一维分布律为 时,定理二,设二元函数,g,(,x,y,),连续，则,当,(,X,Y,),是连续型变量且二维联合概率密度为 时,当,(,X,Y,),是离散型变量且二维分布律为 时,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,2.,函数数学期望的一般算法,退出,(,设,C,是常数,),又当,X，Y,相互独立,时,4),3),1),2),返回,三、数学期望的算子演算性质,【,选证,】,若,X，Y,相互独立,则,退出,返回,三、数学期望的算子演算性质,试求随机变量,U,=2,X,+,3,Y,+1,与,V,=,YZ,4,X,的数学期望,.,解,Y,Z,相互独立,例,3-1,设,X,Y,Z,相互独立,E,(,X,)=5,E,(,Y,)=11,E,(,Z,)=8.,例,4-1,已知,X,的分布律如下表所示，试求,E,(,X,),，,E,(,X,2),和,E,(2,X,3,X,2,).,X,2,3,4,9,P,i,1/8,5/8,1/8,1/8,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,解,例,4-2,已知,(,X,Y,),的联合分布律如右表所示,.,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,XY,),和,E,(,X,Y,).,X,Y,0,1,2,1,0.1,0.2,0.3,2,0,0.1,0.3,显然，一般地讲,退出,返回,四、范例、思考与练习,例,4-3,随机变量,X,的概率密度,Y,=,2,X,1,和,Y,=,X,2,1,的数学期望,.,试求,解,退出,返回,四、范例、思考与练习,*例,4-4,(,X,Y,),的概率密度,E,(,X,),E,(,Y,),；,E,(,XY,),E,(,X,2,+,Y,2,).,试求,X,Y,(1,1),0,y,=,x,解,x,=1,退出,返回,四、范例、思考与练习,*例,4-4,(,X,Y,),的概率密度,E,(,X,),E,(,Y,),；,E,(,XY,),E,(,X,2,+,Y,2,).,试求,X,Y,(1,1),0,y,=,x,解,x,=1,退出,返回,四、范例、思考与练习,例,4-5,X,和,Y,相互独立,二者的概率密度,则,E,(,XY,),().,C.8/3 D.7/3,C,A.4/3 B.5/3,退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,*例,4-6,天若无雨,水果商每天可赚100,元,;,天若有雨,水果商每天损失,10,元,.,一年,365,天,贩卖水果地的下雨日约,130,日,.,问水果商在该地卖水果,每天可期望赚多少钱,?,返回,水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为,解,从而水果商每天所赚钱数,X,的分布律为,即水果商每天可期望赚,60.82,元,.,100,10,四、范例、思考与练习,寿命不到一年的概率,显然为,*,例,4-7,设备的寿命,X,E().,该设备售出一台盈利,100,元,因年内损坏而调换则亏损,200,元,.,求出售一台设备的盈利数学期望,.,因此，一台设备出售的盈利值,Y,有分布律,从而寿命超过一年的概率即,退出,返回,解,可见,四、范例、思考与练习,200,100,第,i,站有人下车,记,为,Y,i,=1,，,第,i,站无人下车记为,Y,i,=0,（,i,=1,2,10,）,则专线车停车的次数,*,例,4-8,载有,20,名旅客的专线车,在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的,10,个站下车的可能性相等，且是否下车相互独立，那么若以,X,记专线车停车的次数，则,E,（,X,）,=,？,因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为,1/10,，不下车的概率为,9/10,，从而,，从而就有,退出,返回,解,四、范例、思考与练习,任一弹着点与目标间的距离,显然为,*,例,4-9,用,(,X,Y,),记炮击的弹着点坐标,.,设坐标,X,N(0,2,),坐标,Y,N(0,2,),且二者相互独立,.,试求弹着点与目标,(0,0),间的平均距离,.,X,与,Y,相互独立，且,X,N(0,2,),Y,N(0,2,),可见,弹,退出,返回,解,着点与目标间的平均距离应为,从而,四、范例、思考与练习,韩旭里等编,概率论与数理统计,教材,第四章 习题四,P112P117,批改题,P112:1.,(,求离散变量的数学期望,),P113:5.11.,(,求连续变量的数学期望与方差,),7.,(,利用算子演算性质计算数学期望与方差,),8.9.,（利用独立性简化数学期望的求算）,10.,(,求连续变量的数学期望,),12.对实际问题求数学期望与方差,),退出,返回,四、范例、思考与练习,退出,返回,P112P113,参考答案,四、范例、思考与练习,5.,1.,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113,参考答案,8.,7.,X,Y,(1,1),0,y,=,x,x,=1,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113,参考答案,10.,9.,又,X,与,Y,相互独立，,退出,返回,四、范例、思考与练习,P112P113,参考答案,11.,退出,返回,的个数为,X,i,（,i,=0,，,1,，,2,，,3,），则有,四、范例、思考与练习,P112P113,参考答案,记第,i,次取出次品至第,i,1,次取出次品间所取正品,12.,您真的要退出吗？,Yes,No,多媒体研制组,二0一0年十二月,概率论多媒体课件,Exit,