高三数学高考复习：思想方法之二（函数与方程）课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一部分数学思想方法,专题一 函数与方程的思想方法,函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程,f,(,x,)=0,的解就是函数,y,=,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标，函数,y,=,f,(,x,),也可以看作二元方程,f,(,x,),y,=0,，通过方程进行研究,.,就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解,(,证,),不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的,.,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决,.,函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。,专题一 函数与方程的思想方法,知识概要,1.,函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决,.,函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题,.,2.,方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决,.,方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题,.,方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系,.,专题一 函数与方程的思想方法,知识概要,3.(1),函数和方程是密切相关的，对于函数,y,=,f,(,x,),，当,y,=0,时，就转化为方程,f,(,x,)=0,，也可以把函数式,y,=,f,(,x,),看做二元方程,y,f,(,x,)=0.,函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程,f,(,x,)=0,，就是求函数,y,=,f,(,x,),的零点,.,(2),函数与不等式也可以相互转化，对于函数,y,=,f,(,x,),，当,y,0,时，就转化为不等式,f,(,x,),0,，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式,.,专题一 函数与方程的思想方法,知识概要,(3),数列的通项或前,n,项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要,.,(4),函数,f,(,x,),(,ax,+,b,),n,（n,N,*,）,与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题,.,(5),解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论,.,(6),立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,.,专题一 函数与方程的思想方法,知识概要,1,.,对任意,a,1,1,，函数,f,(,x,)=,x,2,+(,a,4),x,+4,2,a,的值总大于零，则,x,的取值范围是,（）,A.1,x,3,B.,x,1,或,x,3,C.1,x,2,D.,x,1,或,x,2,解析,依题意有,x,2,+(,a,4),x,+4,2,a,0,恒成立，,即,(,x,2),a,+,x,2,4,x,+40,恒成立,.,令,g,(,a,)=(,x,2),a,+,x,2,4,x,+4,，把,g,(,a,),看作是关于主元,a,的函数，,则,g,(,a,),是一次函数（,x,2,）或是常数函数（,x,=2,），,因为,a,1,1,，要,g,(,a,)0,恒成立，只需 ，,解得,x,1,或,x,3,，故选,B,点评,本题中，体现了主元的思想，对于多个字母恒成立的问题，这是一种基本方法,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,2.,已知,(,a,b,c,R,),，则有,（）,A.,b,2,4,ac,B.,b,2,4,ac,C.,b,2,4,ac,D.,b,2,4,ac,解析,解法,1,：,依题意有：,a,5,b,+,c,=0,，,是实系数一元二次方程,ax,2,bx,+,c,=0,的一个实根，,=,b,2,4,ac,0,，,b,2,4,ac,.,故选,B.,解法,2,：,去分母，移项，两边平方得：,5,b,2,=25,a,2,+10,ac,+,c,2,10,ac,+25,ac,=20,ac,b,2,4,ac,.,点评,解法,1,通过简单转化，将其看作一个一元二次方程的解，敏锐地抓住了数与式的内在特点，利用方程思想使问题迎刃而解；解法,2,转化为,b,2,关于,a,、,c,的函数,(,可看作是二元函数,),，利用重要不等式求解，其求解的思想实质是函数的思想方法,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,3不等式,4,x,+log,3,x,+,x,2,5,的解集为,（）,A.,R,B.,R,+,C.,x,|,x,1,D.,x,|,x,2,解析,考察函数,f,(,x,)=4,x,+log,3,x,+,x,2,定义域为,（,0,），在（,0,）上不难得知函数,f,(,x,),为单调递增的，当,x,1,时，,f,(,x,)=5,故,4,x,+log,3,x,+,x,2,5,的解集为,x,|,x,1,.,点评,此题初一看上去,是一个含有指数,对数的不等式的题,感觉很难求解,.,但此题的解法却是巧妙地构造了函数,利用函数的单调性进行求解,.,这也体现了函数的思想在解题中的应用,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,4.,已知,sin,cos,=,，,(,，,),，则,tan,的值是,（）,A.,B.,C.D.,解析,设,tan,x,(,x,0,），,则 ，,解得,x,2,，再用万能公式，选,A.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,5.,已知等差数列的前,n,项和为,S,n,，且,S,p,=,S,q,(,p,q,，,p,q,N,*,),，则,S,p,+,q,=_,解析,利用 是关于,n,的一次函数，设,S,p,S,q,m,，则（,p,）、,(,q,),、,(,x,，,p,+,q,),在同一直线上，由两点斜率相等解得,x,0.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,6.,已知,f,（,x,）,=,lg,，且,f,（,1,）,=0,，当,x,0,时，总有,f,（,x,）,f,（）,=,lg,x,.,（,1,）求,f,（,x,）的解析式；,（,2,）若方程,f,（,x,）,=,lg,（,m,+,x,）的解集是,，求实数,m,的取值范围,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,解析（,1,）由,f,（,1,）,=0,得：,a,+,b,=2 ,又,f,（,x,）,f,（）,=,lg,x,，,lg,lg,=,lg,x,，从而,=,x,，,x,0,，,（,a,b,）（,x,1,）,=0,对,x,0,总成立，则,a,=,b,由,解得：,a,=,b,=1,，,f,（,x,）,=lg,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,（,2,）,原方程,f,（,x,）,=,lg,（,m,+,x,）可化为 ,m,+,x,，且,x,0,或,x,1,令,g,（,x,）,=,x,=,+,（,x,+1,）,+3,，,当,x,0,时，,+,（,1+,x,）,2,（,x,=,1,时取等号），,g,（,x,）,3,2 .,当,x,1,时，（）,+,（,x,+1,）,2,（,x,=,1,时取等号），,g,（,x,）,3+2 .,故方程,g,（,x,）,=,m,的解集为,时，,m,的取值范围为（,3,2,，,3+2,）,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,点评,（,1,）,列出方程，运用方程思想求解参数是求参数常用的基本方法,.,（,2,）,构造辅助函数,g,（,x,），运用函数思想求值域是确定参数,m,的取值范围的关键，其次要注意求补集思想的运用,.,一般地，函数,g,（,x,）的值域为,D,，则方程,g,（,x,）,=,m,有解的充要条件是,m,D,，解集是,的充要条件 是,m,C,R,D,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,7.,对于函数,f,(,x,),，若存在,x,0,R,使,f,(,x,0,)=,x,0,成立，则称,x,0,为,f,(,x,),的不动点,.,已知函数,f,(,x,)=,ax,2,+(,b,+1),x,+(,b,1)(,a,0),（,1,若,a,=1,b,=,2,时，求,f,(,x,),的不动点；,（,2,）若对任意实数,b,，函数,f,(,x,),恒有两个相异的不动点，求,a,的取值范围；,（,3,）在（,2,）的条件下，若,y,=,f,(,x,),图象上,A,、,B,两点的横坐标是函数,f,(,x,),的不动点，且,A,、,B,关于直线,y,=,kx,+,对称，求,b,的最小值,解析（,1,）,当,a,=1,b,=,2,时，,f,(,x,)=,x,2,x,3,，,由题意可知,x,=,x,2,x,3,，得,x,1,=,1,x,2,=3,故当,a,=1,b,=,2,时，,f,(,x,),的两个不动点为,1,3.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,（,2,）,f,(,x,)=,ax,2,+(,b,+1),x,+(,b,1)(,a,0),恒有两个不动点，,x,=,ax,2,+(,b,+1),x,+(,b,1),，,即,ax,2,+,bx,+(,b,1)=0,恒有两相异实根,=,b,2,4,ab,+4,a,0(,b,R,),恒成立,于是,=(4,a,),2,16,a,0,解得,0,a,1,故当,b,R,，,f,(,x,),恒有两个相异的不动点时，,0,a,1.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,（,3,）,由题意,A,、,B,两点应在直线,y,=,x,上，设,A,(,x,1,x,1,),B,(,x,2,x,2,),又,A,、,B,关于,y,=,kx,+,对称，,k,=,1,设,AB,的中点为,M,(,x,y,).,x,1,x,2,是方程,ax,2,+,bx,+(,b,1)=0,的两个根，,x,=,y,=,，,又点,M,在直线,y,=,x,+,上有 ，,即,a,0,，,2,a,+2,当且仅当,2,a,=,即,a,=(0,1),时取等号，故,b,，得,b,的最小值,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,8.,如图，正方形,ABCD,、,ABEF,的边长都是,1,，而且平面,ABCD,、,ABEF,互相垂直,.,点,M,在,AC,上移动,点,N,在,BF,上移动,若,CM,=,BN,=,a,(0a,).,(),求,MN,的长,;,(),当,a,为何值时,MN,的长最小,.,分析,取,a,作为变量，建立,MN,的长的表达式，利用函数思想求,MN,的最小值,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,解析,(),作,MP,AB,交,BC,于点,P,NQ,AB,交,BE,于点,Q,连结,PQ,依题意可得,MP,NQ,且,MP,=,NQ,即,MNQP,是平行四边形，所以,MN,=,PQ,由已知，,CM=BN=a,CB=AB=BE=,1,.,所以,AC=BF=,即,CP=BQ=,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,(),由,(),得,MN=,所以，当,a=,时,MN,min,=,.,即,M,、,N,分别移动到,AC,、,BF,的中点时,MN,的长最小,最小值为,.,点评,利用函数关系建立,MN,的长与,a,的函数关系是解决本题的关键,.,立体几何中的最值问题常借助函数思想求得,.,专题一 函数与方程的思想方法,考题剖析,1.,函数思想的应用主要有：,求变量的取值范围，从而转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题,.,运用方程观点解决问题主要有两个方面：一是,从分析问题的结构入手，找主要矛盾，抓住某一关键变量，将等式看成关于这个主变量,(,常称主元,),的方程，然后具体研究这个方程；,二是,在中学中常见的如求曲线交点，求函数值域等问题，经常转化为方程问题去解决,.,专题一 函数与方程的思想方法,规律总结,2.,在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到适当的解题途径,.,3.,如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主要变元，从而揭示其中主要的函数关系，便成为了数学问题能否,“,明朗化,”,的关键所在,.,4.,选取变元，构造函数关系式来解决数学问题，这是运用函数思想求解的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如,.,专题一 函数与方程的思想方法,规律总结,