曲线的凹凸性与拐点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4.3,曲线的凹凸性与,拐点,第四节 导数的应用,观察下列两图的特点：,一、曲线的凹凸性与拐点,.,曲线凹凸性的定义,定义,2.6,若在某区间,(,a,b,),内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在,(,a,b,),内是凹的,(,a,b,),为曲线的凹区间,；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在,(,a,b,),内是凸,的,(,a,b,),为曲线的凸区间,.,在,我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢,?,2.,曲线凹凸性的判定,上图可见：,切线斜率,k,凹曲线,上图可见：,凸曲线,切线斜率,k,定理,2.12,设函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内的,二阶,导数,存,在,(1),若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则曲线,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内是,凹,的；,(2),若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则曲线,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内是,凸,的。,例,1,解,注意到：,注意：,拐点一定在曲线上。,怎样判断曲线的拐点呢？,定义,2.7,连续曲线,y,=,f,(,x,),上凹弧与凸弧的分,界点,称为曲,线的,拐点,.,函,数凹凸性,凹凸区,间,凹凸区,间分,界点（,拐点,）,拐点,凹凸性分界点,切线斜率,k,凸曲线,切线斜率,k,凹曲线,前已述及,:,所以,:,凸曲线,凹曲线,但反向不,一定成立,据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤,:,(1),求函数,y=f(x),的定义域,;,(2),求出,f“(,x),，找出定义域内使,f”(,x)=0,的点,和,f,“,(x),不,存在,的,点；,(3),用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域,分成若干,个,小区间，考察每个小区间上,f“,(x),的,符号,；从而,判断曲,线,在各个子区间上的凹凸性,最后,确定拐点,.,例,2,求曲线,的凹凸区间及拐点,(2),(3),列表考察函数的凹凸区间及拐点,:,解,(1),函数的定义域为,凹,拐点,（,2,，,17,）,凸,拐点,(,，,),凹,f(x),0,0,f,(x),(2,+),2,(0,2),0,(-,0),x,例,3,解,因为拐点一定在曲线上，所以,从而有,即,(1),式和,(2),式联立解得,:,3,、小结,