第三章 常微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模简明教程,国家精品课程,第三章 常微分方程,一、,引言,二、模型的建立,机理分析法,三、,SARS,传播模型中参数的确定,四、,SARS,传播模型的求解,五、参数的灵敏度分析,目录,下页,返回,上页,结束,目录,下页,返回,上页,结束,2003,年全国数模竞赛的,A,题“,SARS,（,Severe,制提供可靠、足够的信息的传染病模型：,传播”要求建立一个能够预测以及能为预防和控,Acute Respiratory Syndrome,，非典型肺炎）的,天发病，,SARS,自,02,年,11,月发现以来，迅速蔓延,播的恶性传染病，潜伏期约,212,天，通常在,45,非典型肺炎是,21,世纪第一个在世界范围内传,一、引言,到世界,28,个国家，据世界卫生组织报告，截至,03,延创造条件的重要性，这是人们十分关注的问题,.,研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓,中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地,的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从,患者即高达百人以上,.SARS,的爆发和蔓延给我国,人，其中,343,人死亡，高峰期，北京市每日新增,792,人死亡，我国情况尤为严重，病例高达,5327,年,6,月,13,日，全世界的,SARS,病例已达,8454,人，共,目录,下页,返回,上页,结束,建立,SARS,传播的数学模型，可以在一般情,和控制,.,最后给出参数的灵敏度分析以探讨,SARS,的预防,参数，从而利用,Runge-Kutta,方法求解该模型，,针对,SARS,传播模型讨论如何确定模型中的关键,介绍利用机理分析法建立,SARS,传播模型，然后,是依据机理分析的方法来建模,.,为此，本章首先,流行的观测往往也不完善和充分，因此通常主要,况分析受感染人数的变化规律，然而实际,SARS,问题分析：,目录,下页,返回,上页,结束,1.SI,模型,推知：,二、模型的建立,机理分析法,目录,下页,返回,上页,结束,SI,模型,目录,下页,返回,上页,结束,i t,曲线,目录,下页,返回,上页,结束,di/dt,t,曲线,目录,下页,返回,上页,结束,1,、最终全部感染为病人,2,、模型没有考虑病人可以治愈,3,、,i=0.5,时，,di/dt,最大，传染病高潮到来，此时,关于,SI,模型的结论：,目录,下页,返回,上页,结束,推知：,2.SIS,模型,目录,下页,返回,上页,结束,SIS,模型的解,目录,下页,返回,上页,结束,SIS,模型的分析,目录,下页,返回,上页,结束,i t,曲线,目录,下页,返回,上页,结束,1,、接触数的临界值为,2,、,SI,模型可视为本模型的特例，此时,关于,SIS,模型的结论：,目录,下页,返回,上页,结束,推知：,3.SIR,模型,目录,下页,返回,上页,结束,相平面,S-I,分析,目录,下页,返回,上页,结束,SIR,模型的相轨线,目录,下页,返回,上页,结束,关于,SIR,模型的结论：,目录,下页,返回,上页,结束,目录,下页,返回,上页,结束,就是抓住主要矛盾，忽略一些不必要的因素和,次要矛盾,.,理假设的前提下，确定主要因素之间的关系，也,手,.,微分方程建模是从实际问题出发，在某些合,把所有的因素全部考虑在内建立模型，将无从下,迁出以及潜伏期和地理环境等因素的影响,.,如果,治愈率的大小等,.,另外，还要考虑人群的迁入,多，如患病者的数量、易感者的数量、传染率和,事实上，,SARS,在传播过程中涉及的因素很,4.SARS,的传播模型,目录,下页,返回,上页,结束,3,、假设病人被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期,2,、结合,SARS,的病理特性，假设其传播方式为接,1,、所研究地区的人口总量一定，不考虑人口迁入,迁出、自然出生和自然死亡,触性传播，不与患病者接触就不会被感染,内不具备传染性,关于,SARS,的假设,目录,下页,返回,上页,结束,传染他人,易感者感染的机会与接触患病者的机会成正比，,6,、假设,SARS,康复者不会被再次感染，且无传染性,4,、假设易感者与患病者在人群中混合充分均匀，,并且传染率为常数,5,、假设,SARS,患者被发现后就立即被隔离，被隔离,者不具备传染性，,SARS,患者只在被发现前可以,目录,下页,返回,上页,结束,人口分类（在此用绝对人数）,目录,下页,返回,上页,结束,目录,下页,返回,上页,结束,SARS,传播仓室模型的框图,目录,下页,返回,上页,结束,参数说明,目录,下页,返回,上页,结束,SARS,模型,目录,下页,返回,上页,结束,型，可参照传染病的一般原理，充分利用卫生,仿真、模拟来确定参数随时间变化的函数关系,.,型所面临的一个关键问题,.,针对,SARS,传播模,事实上，确定模型的参数往往是一般传染病模,反映到模型中，亦是应当回答的一个重要问题,.,面，如何将我国一系列强有力的隔离预防措施,历史数据，如对其传染率就难以估计；另一方,是对这一突发的新型恶性传染病缺乏认识，无,在,SARS,流行初期，建模所碰到困难主要,部门每天发布的精确数据，通过对数据的动态,三、,SARS,传播模型中参数的确定,目录,下页,返回,上页,结束,北京地区确诊病人的死亡率和治愈率,目录,下页,返回,上页,结束,目录,下页,返回,上页,结束,先建立简单的,SIR,模型,目录,下页,返回,上页,结束,因此，只要得到免疫率参数，就可以拟合出传染系数,从而，有,目录,下页,返回,上页,结束,1.,Runge-Kutta方法,迭代公式解法：,p,阶公式：如果有,四、,SARS,传播模型的求解,目录,下页,返回,上页,结束,二,阶RungeKutta公式,目录,下页,返回,上页,结束,2.,模型求解,目录,下页,返回,上页,结束,香港疫情分析,图（有自愈）,目录,下页,返回,上页,结束,香港疫情分析,图（无自愈）,目录,下页,返回,上页,结束,第,500,天时累计患病人数随着参数,z,的变化图,五、参数的灵敏度分析,目录,下页,返回,上页,结束,第,500,天时累计患病人数随着参数,z,的变化图（续）,目录,下页,返回,上页,结束,再见,目录,下页,返回,上页,结束,