第十一讲 习题课2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课后习题及补充例题,2.2,一批零件中有,9,个合格品与,3,个废品。安装机器时从这批零件中任取,1,个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出废品数的概率分布。,2.9,已知一本书中每页印刷错误的个数,X,服从泊松分布,P,(0.2),，写出,X,的概率分布，并求一页上印刷错误不多于,1,个的概率。,2.11,电子计算机内装有,2000,个同样的电子元件，每一电子元件损坏的概率等于,0.0005.,如果任一电子元件损坏时，计算机即停止工作，求计算机停止工作的概率。,2.12,在纺织工厂里一个女工照顾,800,个纱锭，每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某一段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率等于,0.005,，求在这一段时间内断纱次数不大于,10,的概率。,解,:,2.14:,2.19,函数,sinx,可否是随机变量,X,的概率密度，如果,X,的可能取值充满区间,(1)0,p/2,;(2)0,p;(3)0,3p/2,。,2.18,（柯西分布）设随机变量,X,的分布函数为,求,(1),系数,A,及,B;(2),随机变量,X,落在区间（,-1,，,1,）内的概率,;(3),随机变量,X的概率密度。,2.20,设随机变量,X,的概率密度为,求,(1),系数,A,；（,2,）随机变量,X,落在区间（,-1/2,，,1/2,）内的概率,;(3),随机变量,X,的分布函数。,2.27,设随机变量,X,服从二项分布,B(3,0.4),，求下列随机变量函数的概率分布；,（,1,）,Y,1,=,X,2,；（,2,）,Y,2,=,X,(,X,-2),；（,3,）,Y,3,=,X,(3-,X,)/2,2.21,（拉普拉斯分布）设随机变量,X,的概率密度为,求,(1),系数,A;(2),随机变量,X,落在区间（,0,，,1,）内的概率,;(3),随机变量,X,的分布函数。,解,:,2.28,解,:,2.28:,2.40,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布函数为,求,(1),系数,A,、,B,及,C,;(2),(,X,Y,),的联合概率密度；,(3),边缘分布函数及边缘概率密度，随机变量,X,与,Y,是否独立？,2.41,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合概率密度为,求,(1),系数,A,；（,2,）,(,X,Y,),的联合分布函数（,3),边缘概率密度；,(4)(,X,Y,),落在区域,R,：,x,0,y,0,2,x,+3,y,0,是常数,则称,X,服从参数为,的,泊松分布,记作,X,p,(,).,泊松分布,返回,随机变量的分布函数,(1),定义,设,X,是一个 随机变量，,x,是任意实数，,函数,称为,X,的分布函数,.,x,0,2.,F,(,x,),非,减,，即若,x,1,x,2,，则,F,(,x,1,),F,(,x,2,);,3.,F,()=,F,(,x,)=0,4.,F,(,x,),右连续，即,F,()=,F,(,x,)=1,；,1.0,F,(,x,)1;,(2),性质,离散型随机变量的分布函数,(3),重要公式,X,p,k,F,(,x,),0,，,x,1,，,1/4,1,x,2,，,3/4,，,2,x,3,1,，,x,3.,离散随机变量的概率函数与分布函数均能完整的反应其统计规律，但前者更常用,.,返回,连续型随机变量的概率密度,(1),定义则称,f,(,x,),为,X,在点,x,处,的概率密度,.,P,(,x,X,x,+,x,),x,f,(,x,)=,(2),性质,1,连续随机变量,的概率密度与,分布函数均能,完整的反应其,统计规律，两,个都经常用到,.,返回,均匀分布,若,X,的概率密度为：,则称,X,服从区间,(,a,b,),上的,均匀分布,，记作：,X,U,(,a,b,),返回,指数分布,则称,X,服从参数为 的,指数分布,.,若,X,具有概率密度,常简记为,X e,(,),.,返回,正态分布,(,或高斯分布,),若,X,的,概率密度为,记作,其中 和 都是常数，任意，,0,，,则称,X,服从参数为 和 的,正态分布,.返回,随机变量函数的分布,(1),离散型随机变量函数的分布,X,的概率分布为：,则,Y,g,(,X,),的分布律为：,(2),连续型随机变量的函数的分布,已知连续型随机变量,X,的,概率密度,f,X,(,x,),，,求,Y,g,(,X,),的分布,先计算,Y,的分布函数,再对,F,Y,(,y,),求导得到,Y,的概率密度,.,返回,三、例题分析,思路,首先根据概率分布的性质求出常数,a,的值,然后确定概率函数的具体形式,最后再计算条件概率,.,利用概率函数的性质,解：,例1,因此,X,的概率分布为,从而,思路,首先利用分布函数的性质求出常数,a,b,再用已,确定的分布函数来求分布律,.,解：例2,从而,X,的概率分布为,解：,例3,所以,X,的分布函数为,思路,例,4,解：,因此所求概率为,例,5,解：,例,5,解：,因此,第二章 随机变量及其分布习题课（,2,）,二、例题分析,一、主要内容,一、主要内容,返回,联 合 分 布,联 合 概 率 函 数,联 合 概 率 密 度,边 缘 分 布,两 个 随 机 变 量 函 数 的 分 布,独 立 性,二,维,随,机,变,量,联 合 分 布 函 数,二维随机变量,返回,联合概率函数（离散）,i,，,j,=1,2,性质：,联合分布,返回,k,=1,2,离散型,一维随机变量,X,X,的概率函数,二维随机变量（,X,Y,）,联合分布,离散型i,j,=1,2,X,和,Y,的联合概率函数,联合概率密度（连续）,性质：,返回,二维随机变量（,X,Y,）,连续型,X,和,Y,的联合概率密度,连续型,一维随机变量,X,X,的密度函数,f,(,x,),联合分布函数,设,(,X,Y,),是二维随机变量，对于任意实数,x,，,y,，二元函数,F,(,x,y,)=,P,(,X,x,Y,y,),称为,(,X,Y,),的分布函数，或称为,X,和,Y,的联合分布函数。,返回,二维随机变量（,X,Y,）,X,和,Y,的联合分布函数,X,的分布函数,一维随机变量,X,边缘分布,(,X,Y,),关于,X,的边缘概率函数,:,(,X,Y,),关于,Y,的边缘概率函数,:,P,(,Y,y,j,),p,ij,i,P,(,X,x,i,),P,(,X,x,i,Y,y,j,),j,p,ij,j,p,i,p,j,边缘概率函数（离散）,边缘密度（连续）,(,X,Y,),关于,X,的边缘密度,:,(,X,Y,),关于,Y,的边缘密度,:,返回,边缘分布函数,(,X,Y,),关于,X,的边缘分布函数,:,(,X,Y,),关于,Y,的边缘分布函数,:,P,(,X,x,),P,(,X,x,Y,),F,(,x,),F,X,(,x,),P,(,Y,y,),P,(,X,Y,y,),F,(,y,),F,Y,(,y,),联合分布,边缘分布,X,与,Y,相互,独立,说明,（,1,若,(,X,Y,),是离散型随机变量,，则,X,Y,相互,独立,X,Y,相互,独立,（,2,）若,(,X,Y,),是连续型随机变量,，则,（,3,）,X,Y,相互,独立，则,f,(,X,),和,g(,Y,),也相互独立,.,返回,随机变量函数的分布,(1),离散型随机变量函数的分布,(2),连续型随机变量函数的分布,当,X,Y,独立时,设,(,X,Y,),的联合密度为,f,(,x,y,),，则,Z,=,X,+,Y,的密度为,返回,则有,二、例题分析,例,1,在一箱子中装有,12,只开关，其中,2,只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验,(1),放回抽样；,(2),不放回抽样,.,我们定义随机变量,X,，,Y,如下：,X,Y,试分别就,(1),、,(2),两种情况,写出,X,和,Y,的联合分布律、边缘分布律，并判断,X,与,Y,是否独立,.,0,，若第一次取出的是正品，,1,，若第一次取出的是次品；,0,，若第二次取出的是正品，,1,，若第二次取出的是次品,.,解,:,(1),放回抽样,(X,Y),的联合分布为,Y,X,解,:,(1),放回抽样,(X,Y),的边缘分布为,P,X,P,Y,Y,X,解,:,(1),放回抽样,P,X,P,Y,Y,X,所以，放回抽样时,X,与,Y,相互独立。,解,:,(2),不放回抽样,(X,Y),的联合分布为,Y,X,解,:,(2),不放回抽样,(X,Y),的边缘分布为,P,X,P,Y,Y,X,解,:,(2),不放回抽样,P,X,P,Y,Y,X,所以，不放回抽样时,X,与,Y,不相互独立。,例,2,解,P,1/12,1/4,1/8,1/120,1/6,1/4,1/20,0,1/24,1/40,0,0,(,X,Y,),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),W,1,=,X,+,Y,0,1,2,3,1,2,3,4,2,3,4,5,所以,W,1,的概率分布为,0 1 2 3,1/12 5/12,5/12,1/12,(2),W,1,P,W,2,XY,的所有可能值为,0,1,2,3,4,6,W,3,max,(,X,Y,),的所有,可能值为,0,1,2,3,0 1 2 3,W,3,P,(3),解,例,3,2,4,2,4,解,例,4,于是,(,X,Y,),关于,X,的边缘概率密度为,例,5,设随机变量,X,与,Y,相互独立,且其概率密,度分别为,其他,.,其他,.,求随机变量,Z,=2,X,+,Y,的概率密度,.,由于,X,与,Y,相互独立,解,所以,(,X,Y,),的分布密度函数为,随机变量,Z,的分布函数为,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,即,0,x,1,z,2,x,0,1,2,z,x,0,2x=z,f,Z,(z,)=,所以随机变量,Z,的概率密度为,解,例,6,二、例题分析,例,1,一批产品中有,a,件合格品与,b,件次品,.,在其中取两次，每次任取一件，考虑两种试验：,(1),放回抽样；,(2),不放回抽样,.,我们定义随机变量,X,，,Y,如下：,X,Y,试分别就,(1),、,(2),两种情况,写出,X,和,Y,的联合分布、边缘分布，并判断,X,与,Y,是否独立,.,0,，若第一次取出的是正品，,1,，若第一次取出的是次品；,0,，若第二次取出的是正品，,1,，若第二次取出的是次品,.,解,:,(1),放回抽样,(X,Y),的联合分布为,Y,X,解,:,例,1:,解,:,例,2,解,:,例,3,解,:,例,4,例,5,解,:,例,6,解,:,解,:,例,7,解,:,2.44,：,