第四章非线性模型的线性化.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章,非线性模型的线性化,问题一 如何度量弹性？,第一章 例题,2.2,如何估计家庭消费支出,y,的支出弹性？,估计方程为,模型解决了边际效应问题，但 弹性无法求出,问题二 如何测度增长率？,经济学家、企业家和政府十分关注变量的增长率，如政府预算赤字规划就是依据,GDP,预期增长率而确定的；,类似地，中央银行常用未偿付消费信贷的增长率来监视货币政策的运行效果；,如何用回归分析度量这些变量的增长率？,实际分析工作中，有许多回归模型的因变量与自变量之间的关系并不呈现线性关系，此时，可以通过线性变换来使其线性化，从而利用回归分析工具进行分析。,回归模型的函数形式,:,第一类,:,标准线性模型,因变量与自变量以及参数之间均成线性关系,第二类,:,非标准线性模型,因变量与自变量不成线性关系,但与参数成线性关系,第三类,:,非线性模型,因变量同参数不成线性关系,一、非标准线性模型的线性化,二、非线性模型的标准线性化,三、例子,一、非标准线性模型的线性化,1.,多项式回归模型,在生产与成本函数的经济计量 中广泛应用,设,z,1,=x,，,z,2,=x,2,，,z,k,=x,k,，则上式可化为标准线性回归模型,：,例取,k3,令,z,1,=,x,，,z,2,=,x,2,，,z,3,=,x,3,，上式变为,其中,B,1,0,B,2,0,B,3,0,情形的图形见下图。其图形与,经济学中的总成本曲线相似。,三元线性回归模型,K=2 y,=,b,0,+,b,1,x,+,b,2,x,2,+,u,其中,b,1,0,b,2,0,和,b,1,0,b,2,F,0.05,(3,，,46)=2.84,，说明解释变量整体显著。,各回归系数的,t,检验值均大于,t,0.025,(46)=2.0218,表明回归系数,j,均显著不为零，能够解释成本的变化。,案例研究,案例,4.1.2,成本产量多项式模型拟合,某企业财务经理欲对企业的成本进行控制，为了掌握成本与产量的数量关系，需要拟合一个成本函数。财务经理搜集了,50,组成本与产量的资料，试以,0.05,的显著水平拟合二项成本函数。,(,数据库见,4.,成本函数,),1.,绘制成本产量散点图,选择二次曲线,(,抛物线,):y=a+bx+bx,2,+u,2.eviews,运算结果,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,122.7794,7.02487,17.47781,0,X,-0.12554,0.009926,-12.648,0,Z,4.40E-05,3.33E-06,13.20833,0,R-squared,0.791443,Mean dependent var,42.0872,Adjusted R-squared,0.782568,S.D.dependent var,11.95626,S.E.of regression,5.575155,Akaike info criterion,6.332642,Sum squared resid,1460.87,Schwarz criterion,6.447363,Log likelihood,-155.316,F-statistic,89.17903,Durbin-Watson stat,2.071888,Prob(F-statistic),0,3.,回归计算结果分析：,成本函数的样本回归方程为,:,调整,R,2,约为,0.78,说明产量与产量平方这两个变量可解释成本变化的,78%,，而其余的,22%,变动要由其他因素的影响来解释。,F,统计量为约,89.17,，根据,F,统计量得到的,P,值近似为,0,，远远小于显著水平,0.05,，说明回归方程有效。,回归系数的,t,检验值及,p,值表明回归系数显著不为零，能够解释成本的变化。,对成本函数求导,得到边际成本函数估计式,:,当,x=2784.09,时,边际成本为,0.,当,x2784.09,时,边际成本,0,呈上升趋势,当,x2784.09,时,边际成本,0,递减,2.,双曲线函数模型,模型形式,设,z=1/x,则上式化为：,平均固定成本,Y,与产出,X,关系,B 1,经济理论 随,X,增加，,Y,逐渐降低，最后接近,B1,恩格尔消费曲线 ：,消费者在某一商品上支出与其总收入或总消费支出的关系,B1,【,例,4.2】,调查某地区,20,个家庭用于电脑、旅游的支出,y,和家庭可支配收入,x,的数据如下（单位,:,万元）,要求拟合恰当的回归模型。,1.,首先拟合散点图,根据图形，考虑建立回归模型：,令,则上式化为：,利用,Eviews,回归,Dependent Variable:Y,Method:Least Squares,Date:11/10/10 Time:21:00,Sample:1 20,Included observations:20,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,6.157683,0.174713,35.24446,0.0000,Z,-17.61230,1.014160,-17.36638,0.0000,R-squared,0.943678,Mean dependent var,3.750500,Adjusted R-squared,0.940549,S.D.dependent var,1.950734,S.E.of regression,0.475639,Akaike info criterion,1.446324,Sum squared resid,4.072183,Schwarz criterion,1.545897,Log likelihood,-12.46324,F-statistic,301.5913,Durbin-Watson stat,1.689790,Prob(F-statistic),0.000000,估计方程为,例题,4.2.2,美国菲利普斯曲线的研究,菲利普斯曲线是反映货币工资变动率（或 通货膨胀率）与失业率之间变动关系的一条曲线，现利用,1958,年,1969,年美国小时收入指数的百分比（,y),与失业率，建立,1958,1969,年美国的菲利普斯曲线。,1作出散点图（见数据）：近似倒数曲线,选用模型：,y=a+b(1/x),u,转,散点图,2.,计算结果,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,1/x,20.58788,4.679482,4.399607,0.0013,C,-0.25944,1.00864,-0.25721,0.8022,R-squared,0.65936,Mean dependent var,4.066667,Adjusted R-squared,0.625296,S.D.dependent var,1.271601,S.E.of regression,0.778386,Akaike info criterion,2.487823,Sum squared resid,6.058842,Schwarz criterion,2.56864,Log likelihood,-12.9269,F-statistic,19.35654,Durbin-Watson stat,0.639368,Prob(F-statistic),0.001336,3.,方程检验,回归方程为：,拟合度检验表明，自变量失业率可以解释工资增长率变动的,62.5,。,方程的,F,检验表明，在,0.01,的显著性水平下，方程是极显著的。系数的,t,检验说明，在,0.01,的显著性水平下，,1/x系数也是极显著的。,4.,结果分析,结果说明在,1958,1969,年之间，美国的收入指数与失业率程倒数关系，随着失业率的增加，工资率减少，且减少的幅度依赖于 失业率。,3.,对数函数模型,半对数模型：,经济学中半对数模型常用来对增长率问题进行研究,如人口增长率,GDP,增长率,商品需求增长率等,.,化为线性模型,:,令,lny=z,或,ln x=t,上式化为：,回归系数 的意义,:,(1),式中,:x,每变动,1,个单位,y,将 变动,100,特别地：当,x,为时间变量时,则系数衡量了,y,的年 增长速度,.,所以该模型也常称为符合增长率模型,(2),式中,表示,x,每变动,1,时，,y,将变动 个单位。,【,例,4.3】,以企业研发支出（,R&D,）占销售额的比重为被解释变量（,Y,），以企业销售额（,X1,）与利润占销售额的比重（,X2,）为解释变量，一个有,32,容量的样本企业的估计结果如下：,其中括号中为系数估计值的标准差。,（,1,）解释,log(X1),的系数。如果,X1,增加,10%,，估计,Y,会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？,（,2,）针对,R&D,强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不随,X1,而变化的假设。分别在,5%,和,10%,的显著性水平上进行这个检验。,（,3,）利润占销售额的比重,X2,对,R&D,强度,Y,是否在统计上有显著的影响？,解,:,（,1,）,log(x1),的系数表明在其他条件不变时，,x1,变化,1,，,Y,变化的单位数；换言之，当企业销售,X1,增长,1%,时，企业研发支出占销售额的比重,Y,会增加,0.0032,个单位。由此，如果,X1,增加,10%,，,Y,会增加,0.032,个单位。这在经济上不是一个较大的影响。,（,3,）对,X2,，参数估计值的,t,统计值为,t=0.05/0.46=1.087,，它比在,10%,的显著性水平下的临界值,(t,0.05,(29)=1.69913),还小，因此可以认为它对,Y,在统计上没有显著的影响。,双对数模型,：,则有,在对数线性模型中，,1,度量了,y,关于,x,的弹性,称作弹性系数,。它表示,x,变动,1%,y,将变动,1%.,=,对于线性模型，,y=,0,+,1,x,1,+u,，,1,称作边际系数,【,例,4.4】,1970-1980,年美国的咖啡消费与价格的数据如下，要求拟合回归模型。,有关价格弹性问题研究,解,:,作散点图,考虑建立回归模型：,令,y,1,=lny x,1,=lnx,则,y,1,=,+x,1,+,Eviews,回归结果,Dependent Variable:Y1,Method:Least Squares,Sample:1970 1980,Included observations:11,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,0.777418,0.015242,51.00455,0.0000,X1,-0.253046,0.049374,-5.125086,0.0006,R-squared,0.744800,Mean dependent var,0.787284,Adjusted R-squared,0.716445,S.D.dependent var,0.094174,S.E.of regression,0.050148,Akaike info criterion,-2.984727,Sum squared resid,0.022633,Schwarz criterion,-2.912383,Log likelihood,18.41600,F-statistic,26.26651,Durbin-Watson stat,0.680136,Prob(F-statistic),0.000624,估计方程为：,方程检验,:a=0.05,A:,拟合度检验,.,说明自变量的对数能解释因变量变差的,74.48%,其余可,由,其他变量解释,B;F=26.27,P,F,=0.000060.05.,方程较为显著,C:Lnx,的,t,值,=5.125,对应的,P=0.0006 1,，称模型为规模报酬递增型；表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。,+,1,，称模型为规模报酬递减型。表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的,根据柯布,-,道格拉斯生产函数可得到下列经济参数,劳动力边际生产力,资产边际生产力,表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值,表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。,产出弹性系数,资产产出弹性系数,柯布,道格拉斯生产函数采用的,边际分析方法,，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、,规模收益,和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种。,案例,1,台湾农业生产效率评价,用台湾,1958-1972,年农业生产总值（,y,），劳动力（,x,1,），资本投入（,x,2,）数据为样本得估计模型，,lny=-3.4+1.50,Lnx,1+0.49,Lnx,2,(2.78)(4.80),R,2,=0.89,调整的,R,2,0.821,F,=48.45,1,统计检验,样本的调整决定系数为,0.821,，说明劳动投入（对数）与资本投入（对数）对产出（对数）的解释能力为,82.1,，拟合效果良好。,方程的,F,及,T,检验表明，回归方程以及系数均是显著有意义的,2.,意义解释：,b1=1.5,为劳动的投入的弹性，表明在资本投入不变的情况下，劳动投入每增加,1,个百分点，产出平均将增加,1.5,。,b2=0.49,为资本的产出弹性，表明在劳动投入不变得条件下，资本投入每增加,1%,，产出将,平均,增加,0.49,。,3.,因为,1.50+0.49=1.99,，所以此生产函数属规模报酬递增函数。它表明当劳动力和资本投入都增加,1%,时，产出增加,1.99%,。说明台湾经济的特征是规模报酬递增的。,例,2,天津市工业生产总值模型,用天津市工业生产总值（,Y,），职工人数（,L,），固定资产净值与流动资产平均余额（,K,）数据,(1949-1997),为样本得估计模型如下：,Ln Y,=0.7272+0.2587,Ln L,+0.6986,LnK,(3.12)(3.08)(18.75),调整,R,2,=0.92,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.4,1,，统计检验（略）,2.结果解释（略）,因为,0.2587+0.6986=0.9573,，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。,表给出了,1960-1982,年,7,个,oecd,国家的最终能源需求（,Y,）、实际,GDP,（,X2),、实际能源价格（,X3,）的指数数据。所有指数均以,1970,年为基数（,1970=100,）。利用双对数模型进行分析。,例,3,能源需求研究,利用,eviews,计算得,:,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,C,1.548652,0.090823,17.05141,0,Z2,0.997182,0.019258,5177945,0,Z3,-0.331429,0.024495,-13.5306,0,R-squared,0.994041,Mean dependent var,4.412121,Adjusted R-squared,0.993445,S.D.dependent var,0.224141,S.E.of regression,0.018147,Akaike info criterion,-5.059507,Sum squared resid,0.006586,Schwarz criterion,-4.911399,Log likelihood,61.18433,F-statistic,1668.121,Durbin-Watson stat,0.805351,Prob(F-statistic),0,方程为,:,(17.05)(51.77)(-13.53),检验,:,经济意义检验,:,能源需求与收入正相关,与实际价格负相关,与理论相符合,调整的决定系数,为,0,.993.,说明两个自变量对数联合起来可以解释 因变量对数变化的,99.3%,拟和效果好,.,F=1668.1.pf=0.0000.01,方程显著,t2=51.77,p2=0.0000.01,t3=-13.53,p3=0.0000.01,说明两个变量前的系数显著不为,0.,收入与能源价格对需求有很强的影响,结果说明,分析表明,能源需求与收入正相关,与实际价格负相关,且收入弹性约为,0.99,价格弹性约为,-0.33.,这说明在其他变量不变的情况下，收入每增加,1%,对能源的需求量平均增加,0.99%;,同样在其他变量不变的情况下，价格每增加,1%,对能源的需求量平均降低,0.33%.,由于这个系数小于,1,可认为能源需求对价格是缺乏弹性的,.,二、非线性模型的标准线性化,1.,指数函数模型,对上式等号两侧同取自然对数，得,ln,y,=,Lna,+b,x,+,u,令,ln,y,=,y,*,ln,a,=,a,*,则,y,*=,a,*+b,x,+,u,2.,龚伯斯（,Gompertz,）曲线,英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是,线性化过程如下：当,k,给定时，,令,y,*=,Ln,Ln,(,k,/,y,),b,*=,Lnb,，则,y,*=,b,*-,a t,上式可用最小二乘法估计,b,*,和,a,。,综合,:,见上章,3.10,关于中国旅游外汇收入影响因素分析,首先要确定影响中国旅游外汇收入的,重要因素,。显然外国和港澳台地区来中国大陆旅游的,人数,是决定旅游外汇收入的重要因素。此外，中国大陆的,涉外酒店数、,中国,涉外航空线路条数,等也是决定旅游外汇收入的重要因素。出于资料收集的方便，从,中国统计年鉴,中得到中国旅游外汇收入（,y,），外国游客人数（,x,1,），涉外酒店数（,x,2,）数据见表,3.3,。,首先通过散点图观察,与的关系，可发现,y,与,x,1,、,x,2,基本上呈线性关系。,所以，试建立二元线性回归模型,利用,EViews,软件得以下结果,:,样本回归方程为,修正,Variable,Coefficient,Std.Error,t-Statistic,Prob.,Z1,0.75779,0.109623,6.912676,0.0001,X2,0.192529,0.044962,4.281991,0.002,C,2.295372,0.070843,32.40076,0,R-squared,0984472,Mean dependent var,3.828892,Adjusted R-squared,0.981021,S.D.dependent var,0.747418,S.E.of regression,0.102968,Akaike info criterion,-1.496485,Sum squared resid,0.095421,Schwarz criterion,-1.375259,Log likelihood,11.97891,F-statistic,285.2933,Durbin-Watson stat,1.286369,Prob(F-statistic),0,小知识：,1957,年新西兰经济学家菲利普斯根据英国近,100,年的资料作出了一条表示通货膨胀与失业之间关系的曲线。这条曲线表明,通货膨胀高时,失业率低,;,通货膨胀率低时,失业率高。这条曲线就是经济学中著名的菲利普斯曲线。,1960,年代，美国经济学家,萨缪尔森,和,索洛,根据美国宏观经济数据证实了菲利普斯曲线所表示的交替关系在美国同样存在，并指出，可以根据菲利普斯曲线所揭示的这种关系来指导宏观经济政策，通过紧缩或扩张的,财政,与,货币政策,，将通货膨胀和失业控制在社会可接受的水平。,但,60,年代末,弗里德曼,和,费尔普斯,等人发表文章，否定,通货膨胀率,与,失业率,在长期经济中存在相关性，并认为，政府利用菲利普斯曲线在,通货膨胀,和,失业率,之间进行权衡是危险的。在当时人们很难接受这样大胆的观点，因为,萨缪尔森,和,索洛,有历史数据支持。,其后的事实证明了,费尔普斯,等人的正确，,费尔普斯,本人也因此获得,2006,年度的,诺贝尔经济学奖,。,返回,小知识,2,柯布,-,道格拉斯生产函数概述,是美国数学家,柯布,(,C.W.Cobb,),和经济学家,保罗,道格拉斯,(,Paul H.Douglas,),共同探讨投入和产出的关系时创造的,生产函数,，是以美国数学家,C,W,柯布和经济学家保罗,H,道格拉斯的名字命名的。,他们根据有关历史资料，研究了从,1899,1922,年美国的资本和劳动对生产的影响，,在技术经济条件不变的情况下,，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。,柯布道格拉斯生产函数中把技术水平,A,作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。,