Borda_排序法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计,数,法,BORDA,BORDA,计数法是最早由,Jena-Charles de,Borda,提出的一种经典的投票表决法，即排序式,的投票制度。其方法是在投票时不仅要让投票人,表达最希望哪些人当选，还应当让投票者给这些,心目中合格的候选人进行排序。也就是，投票人,通过投票表达出对各候选人的偏好次序。,然后对候选人从高到低进行评分并累加，得,分最高者最终获胜。,一、简介,二、评分法则,设有,n,个投票者，,p,个候选人,如果一个投票者的偏好次序为：,则候选人,的得分依次为,这样，每个候选人都有各个投票者的评分，分别,累加，得到各人的总评分，按高低依次排序即可。,当然，这个分值也是可以适当调整的。,例,1,：,55,位记者要在五支球队的提名代表,(,记为,A,、,B,、,C,、,D,、,E),中确定一位最有价值球员。现在要求每位,记者都对他们的偏爱对五名提名候选人进行排序。,55,名记者的偏爱次序是：,记者人数,18,12,10,9,4,2,第一选择,A,B,C,D,E,E,第二选择,D,E,B,C,B,C,第三选择,E,D,E,E,D,D,第四选择,C,C,D,B,C,B,第五选择,B,A,A,A,A,A,解：,A:518+1(12+10+9+4+2)=127,分；,即用,BORDA,计分法分析五位球员的排序为：,D,、,E,、,C,、,B,、,A,。,也就是说，,D,为最有价值球员。,B:512+4(10+4)+2(2+9)+118=156,分；,C:510+4(9+2)+2(18+12+4)=162,分；,D:59+418+3(12+4+2)=210=191,分；,E:5(4+2)+412+3(18+10+9)=189,分。,三、数学模型,为了方便计算，下面建立一个统一的数学模型：,设有,m,个投票者，,n,个候选人，则有,n,!,种偏好顺序。,对第,k,个投票者，记,若,i,=,j,，则取,构造第,k,个投票者的偏好矩阵：,则第,k,个投票者给第,i,个候选人的,BORDA,评分为：,由此构造所有投票者对所有候选人的投票评分矩阵：,所有投票人对第,i,个候选人的累计评分为：,练习：一个班上有,50,名同学，要在,4,个候选人（,A,B,C,D),中选一个班长。有一名同学弃权，其余,49,名同,学的偏好次序如下：,认为,认为,认为,认为,有,18,人；,有,12,人；,有,10,人；,有,9,人。,（,1,）用,BORDA,计分法分析谁应当选。,（,2,）思考一下，,BORDA,评分法有什么问题。,四、方法改进,在练习中若采用,BORDA,方法，以,4,分、,3,分、,2,分、,1,分记排第一、第二、第三、第四，则各候选人的,得分为：,A:,418,131=103,B:,118,412,310,29=114,；,C:,2(18,12),410,39=127,；,D:,3(18,12),210,49=146,。,D,会获最高分而当选。,很容易看出,BORDA,法仅仅考虑到所有候选人的,完全偏好序，并不能反应投票者偏好的完备信息,(,如,偏好强度,),。如果实际情况是，对于,39,个把,D,排在,C,前面的人都认为,D,和,C,的差别不大，而其他,10,个人却,认为,C,远远优于,D,，这样看来,BORDA,方法的合理性,值得怀疑。,怎么改进使之更加合理呢？,由所有投票者对所有的候选人评分，分值在,0,1,区间自由确定，如果对其偏好强，评分就高；如果偏,好弱，评分就低。,这样，投票者就有更高的评分自由度，并且不丢,失偏好信息。,一般意义上的选举和以上问题类似。选举就是在,公平的意义下，将社会个体对各项政策的偏爱和意向,给出一个最好的排序。任何选举结果的公平性首先体,现在，不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种,程度上至少代表了相对多数选举人的意愿。那么，有,没有一个是的全社会都满意的最公平的选举办法呢？,BORDA,计分法是一种易于量化的选举方法。它,一定能保证公平吗？,我们用一个例子来说明。,例,2,：某赛马场购得红玉、白雪、如意、飞驹四种,良马，业主为了对它们进行估价，决定让它们进行,四次比赛，使用波达计分法，成绩如下所示：,1,2,34,红玉,第一,第三,第二,第三,白雪,第二,第一,第四,第二,如意,第四,第四,第一,第一,飞驹,第三,第二,第三,第四,如果用,3,分、,2,分、,1,分、,0,分来记第一、第二、,第三、第四，我们可以算出各自分数：,红玉：,3+1+2+1=7,；,白雪：,2+3+0+2=7,；,如意：,0+0+3+3=6,；,飞驹：,1+2+1+0=4.,结果是红玉和白雪并列第一。,如果用,5,分、,3,分、,1,分、和,0,分来记名次。则,红玉：,5+1+3+1=10,；,白雪：,3+5+0+3=11,；,如意：,0+0+5+5=10,；,飞驹：,1+3+1+0=5.,结果是白雪独占魁首，红玉与如意却并列亚军。,如果用,5,分、,2,分、,1,分、和,0,分来记名次。则,红玉：,5+1+2+1=9,；,白雪：,2+5+0+3=9,；,如意：,0+0+5+5=10,；,飞驹：,1+2+1+0=4.,这一次，如意却脱颖而出。,如果用,5,、,3,、,2,、,1,来计分，你看看会出现什么结果？,这个例子说明了选举理论中，使用波达计分法,是不稳定的。不同的人从不同的利益角度出发，可,能会设计出符合自己利益的计分法,(,权重,),，每一种,都在理，却可能导致截然不同的结论。,当然，选举的方法不止这一种。常用的选举方法,还有：,(1),多数原则,以获得最多票的议案作为表决结果。,但这时的赢家未必是大多数。,(2),大多数原则,以获得半数以上票数作为选举结果。,(3),逐轮淘汰。在大多数原则下，能在捉对表决中每次,都胜出的一方作为选举结果，此时的赢家叫做鹰派赢家。,以例,1,来简单说明,例,1,：,55,位记者要在五支球队的提名代表,(,记为,A,、,B,、,C,、,D,、,E),中确定一位最有价值球员。现在要求每位,记者都对他们的偏爱对五名提名候选人进行排序。,55,名记者的偏爱次序是：,记者人数,18,12,10,9,4,2,第一选择,A,B,C,D,E,E,第二选择,D,E,B,C,B,C,第三选择,E,D,E,E,D,D,第四选择,C,C,D,B,C,B,第五选择,B,A,A,A,A,A,解,：（,1,）,用,BORDA,计分法，以,5,、,4,、,3,、,2,、,1,分,记名次,A:518+1(12+10+9+4+2)=127,分；,B:512+4(10+4)+2(2+9)+118=156,分；,C:510+4(9+2)+2(18+12+4)=162,分；,D:59+418+3(12+4+2)=210=191,分；,E:5(4+2)+412+3(18+10+9)=189,分。,所以五位球员的排序为：,D,、,E,、,C,、,B,、,A,。,也就是说，,D,为最有价值球员。,(2),按照多数原则，,A,以最多首选票,18,票当选，,但所得票数不足总数的三分之一。,(3)逐轮选举。这种方法是在两位首选票领先的候选人中，用“大多数原则”进行决胜表决。,第一选择是,A,、,B,最多，因此入围。,但在下一轮表决中，有,37,人偏爱,B,，因此,B,当选。,(4),逐轮淘汰。方法是逐轮淘汰票数最少的。,第一轮，从表格中可以看出，,E(,票数为,6),是最先被淘汰的。,第二轮中，,E,的,6,票将分别记到,B(4,票,),和,C(2,票,),名下，因此有：,A(18),B(16),，,C(12),D(9),。继而,D,被淘汰。,根据第三列，,D,的,9,票将全部记到,C,的名下。即：,A(18),B(16),，,C(21),。因此下一轮,B,被淘汰。,最后,C,得票为,37,票，超过了,A,的,18,票，因此当选。,(5),逐对表决。这种方法恰如单循环赛。每,2,位候选人,进行一次面对面的表决，共需,10,次，每位参加,4,次。,可以发现,E,以,37,比,18,票赢了,A,，以,33,比,22,票赢了,B,，,以,36,比,19,票赢了,C,，以,28,比,27,票赢了,D,。,E,成了鹰派赢家。,