第六章数学期望与方差.ppt

计算机数学基础,授课教师：林四海,联系方式：,TEL,：,Q Q,：,254639066,13850094922,一、数学期望的概念,二、数学期望的性质,*三、随机变量函数的数学期望,四、小结,6.2.1,数学期望及其性质,6.2,随机变量的数字特征,引例,1,分赌本问题,(,产生背景,),A,B,两人赌技相同,各出,赌金,100,元,并约定先胜三局者为,胜,取得全部,200,元,.,由于出现意,外情况,在,A,胜,2,局,B,胜,1,局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平,?,一、数学期望的概念,A,胜,2,局,B,胜,1,局,前三局,:,后二局,:,把已赌过的三局,(,A,胜,2,局,B,胜,1,局,),与上述结果,相结合,即,A,、,B,赌完五局,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况,:,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,负,A,胜,B,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,因此,A,能“,期望,”得到的数目应为,而,B,能“,期望,”得到的数目,则为,故有,在赌技相同的情况下,A,B,最终获胜的,可能性大小之比为,即,A,应获得赌金的 而,B,只能获得赌金的,因而,A,期望所得的赌金即为,X,的“,期望,”值,等于,X,的可能值与其概率之积的累加,.,即为,若设随机变量,X,为,:,在,A,胜,2,局,B,胜,1,局的前提,下,继续赌下去,A,最终所得的赌金,.,则,X,所取可能值为,:,其概率分别为,:,1.,离散型随机变量的数学期望,试问哪个射手技术较好,?,实例,1,谁的技术比较好,?,乙射手,甲射手,解,故甲射手的技术比较好,.,实例,2,发行彩票的创收利润,某一彩票中心发行彩票,10,万张,每张,2,元,.,设头等奖,1,个,奖金,1,万元,二等奖,2,个,奖金各,5,千元,;,三等奖,10,个,奖金各,1,千元,;,四等奖,100,个,奖金各,100,元,;,五等奖,1000,个,奖金各,10,元,.,每张彩票的成本费为,0.3,元,请计算彩票发行单位的创收利润,.,解,设每张彩票中奖的数额为随机变量,X,则,每张彩票平均可赚,每张彩票平均能得到奖金,因此彩票发行单位发行,10,万张彩票的创收利润为,到站时刻,概率,实例,3,解,2.,连续型随机变量数学期望的定义,解,因此,顾客平均等待,5,分钟就可得到服务,.,实例,4,顾客平均等待多长时间,?,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间,X,(,以分,计,),服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间,?,定积分的,分部积分法,例如,计算,解,:,原式,=,一般的说，如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，,可按顺序：,指数函数三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数,。将排,在前面的那类函数选作,1.,设,C,是常数,则有,证明,2.,设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,证明,例如,二、数学期望的性质,4.,设,X,Y,是相互独立的随机变量,则有,3.,设,X,Y,是两个随机变量,则有,证明,说明,连续型随机变量,X,的数学期望与离散型随机,变量数学期望的性质类似,.,解,实例,5,1.,离散型随机变量函数的数学期望,解,*三、随机变量函数的数学期望,设随机变量,X,的分布律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若,Y,=,g,(,X,),且,则有,实例,6,解,实例,7,解,因此期望所得为,四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种,加权,平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了,随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,.,2.,数学期望的性质,一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,四、小结,6.2.2,方差,1.,概念的引入,方差是一个常用来体现随机变量取值,分散程度,的量,.,实例,有两批灯泡,其平均寿命都是,E,(,X,)=1000,小时,.,一、随机变量方差的概念及性质,2.,方差的定义,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度的量,.,如果,D,(,X,),值大,表示,X,取值分散程度大,E,(,X,),的代表性差,;,而如果,D,(X,),值小,则表示,X,的取值比较集中,以,E,(,X,),作为随机变量的代表性好,.,3.,方差的意义,离散型,随机变量的方差,连续型,随机变量的方差,4.,随机变量方差的计算,(1),利用定义计算,证明,(2),利用公式计算,证明,5.,方差的性质,(1),设,C,是常数,则有,(2),设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,证明,(3),设,X,Y,相互独立,D,(,X,),D,(,Y,),存在,则,证明,推广,1.,两点分布,已知随机变量,X,的分布律为,则有,二、重要概率分布的数学期望方差,2.,二项分布,设随机变量,X,服从参数为,n,p,二项分布,(,即,),其分布律为,令 表示第,i,次试验中事件,A,发生的次数，是相互独立的，,则有,，,其中 服从同一,01,分布,。,所以有,3.,泊松分布,则有,所以,4.,均匀分布,则有,结论,均匀分布的数学期望位于区间的中点,.,5.,指数分布,则有,设,其概率密度为,结论,：指数分布的期望和方差分别为,和,6.,正态分布,则有,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,解：,三、例题讲解,例,1,于是,解,例,2,解,例,3,解,例,4,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明,.,切比雪夫不等式,得,四、小结,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散,程度的量,.,如果,D,(,X,),值大,表示,X,取值分散程,度大,E,(,X,),的代表性差,;,而如果,D,(,X,),值小,则,表示,X,的取值比较集中,以,E,(,X,),作为随机变,量的代表性好,.,2.,方差的计算公式,3.,方差的性质,4.,契比雪夫不等式,Pafnuty,Chebyshev,Born:,16 May.1821 in,Okatovo,Russia,Died:,8 Dec.1894,in St.Petersburg,Russia,契比雪夫资料,