概率统计和随机过程课件5.2随机变量的数学期望.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 随机变量的数字特征,1,定义,1,设,X,为离散型随机变量，其概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,的,数学期望,记作,E,(,X,),数学期望的定义,随机变量的数学期望,2,定义,2,设,X,为连续型随机变量,其密度函数为,若广义积分,绝对收敛，则称此积分为随机变量,X,的,数学期望,记作,E,(,X,),随机变量的,数学期望的本质,加 权 平 均,，,它是一个数不再是随机变量,3,E,(,C,)=,C,E,(,aX,)=,a E,(,X,),E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),当,X,Y,相互独立,时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,数学期望的性质,4,市场上对某种产品每年的需求量为,X,吨，,X U,2000,4000,每出售一吨可赚,3,万元,售不出去，则每吨需仓库保管费,1,万元，问,应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润,最大？,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,显然，,2000,y,4000,例,8,5,6,显然，,故,y=,3500,时，,E,(,Y,),最大，,E,(,Y,)=8250,万元,7,例,9,假设由自动线加工的某种零件的内径,X,(mm),N,(,1,).,已知销售每个零件的利润,T,(元,),与销售零件的内径,X,有如下的关系：,问平均直径,为何值时，销售一个零件的平均,利润最大？,8,解：,9,即,可以验证，,零件的平均利润最大,故,时销售一个,10,引例,甲、乙两射手各打了,10,发子弹，每发子弹,击中的环数分别为：,甲,10,6,7,10,8,9,9,10,5,10,乙,8,7,9,10,9,8,7,9,8,9,问哪一个射手的技术较好？,解,首先比较平均环数,甲,=8.4,乙,=8.4,5.2,方差,有六个不同数据,仅,有,四,个,不,同,数,据,11,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定,12,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,13,定义,若,E,(,X-E,(,X,),2,),存在，则称其为随机变,量,X,的,方差,记为,D,(,X,),D,(,X,)=,E,(,X-E,(,X,),2,),称,为,X,的,均方差,.,方差的概念,(,X-E,(,X,),2,随机变量,X,的取值偏离平均值,的情况,是,X,的函数,也是随机变量,E,(,X-E,(,X,),2,随机变量,X,的取值偏离平均 值的平均偏离程度,是一个数。,14,若,X,为离散型变量，概率分布为,若,X,为连续型，概率密度为,f,(,x,),常用的计算方差的公式：,15,证明：,16,D,(,C,)=0,D,(,aX,)=,a,2,D,(,X,),D,(,aX+b,)=,a,2,D,(,X,),特别地，若,X,Y,相互独立，则,方差的性质,17,若,相互独立，,为常数,则,若,X,Y,相互独立,对任意常数,C,D,(,X,),E,(,X C,),2,当且仅当,C=E,(,X,),时等号成立,D,(,X,),=0,P,(,X=E,(,X,)=1,称为,X,依概率,1,等于常数,E,(,X,),18,性质,1,的证明：,性质,2,的证明：,19,性质,3,的证明：,当,X,Y,相互独立时，,注意到，,20,性质,4,的证明：,当,C=E,(,X,),时，显然等号成立；,当,C,E,(,X,),时，,21,例,1,设,X P,(,),求,D,(,X,).,解,方差的计算,22,例,2,设,X B,(,n,p,),，求,D,(,X,).,解一,仿照上例求,D,(,X,).,解二,引入随机变量,相互独立，,故,23,例,3,设,X N,(,2,),求,D,(,X,),解,24,常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1,分布,p,(,1-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),25,分布,方差,概率密度,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,E,(,),N,(,2,),26,例,4,已知,X,Y,相互独立，且都服从,N,(0,0.5),求,E,(|,X Y,|).,解,故,27,例,5,设,X,表示独立射击直到击中目标,n,次为止,所需射击的次数，已知每次射击中靶的概,率为,p,，求,E,(,X,),D,(,X,).,令,X,i,表示击中目标,i-,1,次后到第,i,次击中,目标所需射击的次数，,i,=1,2,n,相互独立，且,计算？,解,28,常用,29,故,30,例,6,设,求,E,(,Y,),D,(,Y,).,解,31,32,作 业,习题五,15,，,16,，,17,33,