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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,概率论练习题,概率运算,从自然数,1,，,2,，,.,N,中任取三个数，求以下事件的概率：,（,1,）第一次取的数恰好小于,K,而后两次取的数均大于,K,。,（,2,）其中有一个数恰好小于,K,而另两次取的数均大于,K,。,（这里,1 K N,）,解：（,1,）所求的概率为,（,2,）所求的概率为,概率运算,10,人标号,1,，,2,，,.,10,，随机任选五人，观察其号码，,求以下事件的概率：,（,1,）最小号码是,5,。（,2,）最大号码是,5,。（,3,）中间号码是,5,。,解：（,1,）所求的概率为,（,2,）所求的概率为,（,3,）所求的概率为,把,6,个小球随机投入,6,个盒子内，设球和盒均可识别，,求前三个盒当中有空盒的概率。,概率运算,解：设 表示：“第 个盒是空的”，则有：,所求概率为,:,概率运算,4,红球,6,黑球,试验,1.,从中任取,5,个。,试验,2.,从中无放回依次取,5,个。,试验,3.,从中有放回依次取,5,个。,A,：恰有三个红球。,分别就试验,1,、,2,、,3,求,A,的概率。,解：对试验,1,，,对试验,2,，,对试验,3,，,其实试验,1,与,2,是,同一试验，可证：,概率运算,10,件产品中有,2,件次品，,8,件正品，从中无放回任取,3,件求以下三个事件的概率：,A,：三件全是正品；,B,：三件中恰有一件正品；,C,：三件中至少有一件正品；,解：,概率运算,对,200,件产品作抽样检查，不合格的条件是被查的,10,件中,至少有,1,件次品。若该批产品的次品率是,5%,，问产品被接,收的概率。,故，,P,产品被接收,解：,该批产品的次品率是,5%,，即其中有,10,件是次品。,P,产品被接收,当抽样方式是有放回抽样，或产品量很大时作无放回抽样，,才可视为重复独立试验。,概率运算,甲、乙两船都要停靠在同一码头，它们可能在一昼夜的,任意时刻到达码头，停靠的时间分别为,1,小时和,2,小时。,求两船相遇的概率。,解：以 表示甲船到达码头的时间，,表示乙船到达码头的时间。,当,（甲先到）,或,（乙先到）时，两船可相遇。,所示的概率为：,设 分别在以下条件下求,（,1,）,A,与,B,互不相容，,（,2,）,（,3,）,解：,（,1,）,A,与,B,互不相容，即：,所以：,（,2,）,（,3,）,概率运算,概率运算,设,A,1,，,A,2,同时发生则,A,发生，证明：,证明：因为,所以,命题得证。,概率运算,掷两颗骰子，设事件,=“,点数之和为,5”,，则,在一个随机现象中有两个事件,A,和,B,，则事件,A-B,指的是,（）,（,A,）,A,发生且,A,中的,B,不发生。,（,B,）,A,发生且,B,发生。,（,C,）,A不发生且,B,发生。,（,D,）,A,发生或,B,不发生。,A,条件概率、相互独立事件,设,求,解：,由,得,条件概率、相互独立事件,设 ，试证：,证明：,证明：,设 且 ，,试证,条件概率、相互独立事件,设某批产品中有,36%,是一等品，,54%,是二等品，,10%,是三,等品，今从产品中任选一件，发现其非三等品，求它是二,等品的概率。,解：设 表示“它是 等品”,则所求为,条件概率、相互独立事件,一批产品中有,90%,是正品，,10%,是次品。由于测试有误差，,正品中有,98%,被测出是正品，而有,2%,被误测成次品，同样，,次品中有,95%,被测出是次品，而有,5%,被误测成正品。问检验出是正品的产品确是正品的概率是多少？,解：设,A,表示“该产品是正品”，,B,表示“该产品被测出是正品”。,则,所求的概率为：,条件概率、相互独立事件,自一工厂的产品中进行重复抽样检查，共取,200,件样品，,检查结果发现其中有四件废品，问我们能否相信此工厂,所说的废品率不超过,0.5%,？,解：假设工厂的废品率为,0.5%,，,则从,200,件产品中发现,4,件废品的概率是：,根据人们在长期实践中总结出来的一条原理：概率很小的,事件在一次试验中几乎是不可能发生的（概率论上称为,小概率,的实际不可能性原理,）。若工厂的废品率确为,0.5%,，则检查,200,件产品出现,4,件废品是一概率很小的事件，现在它竟然在一次试,验中就出现了，令人怀疑工厂给出的废品率的准确性。,条件概率、相互独立事件,在四次重复独立试验中，,A,至少出现一次的概率为,0.59,，,问在一次试验中,A,出现的概率是多少？,条件概率、相互独立事件,解：设一次试验中,A,出现的概率,由题设：,得：,设每,100,个男人中有,5,个色盲，而每,10000,个女人中有,25,个色盲。今从人群中任选一人，发现其是色盲，求此人是,女性的概率（假定人群中男女比例相同）。,解：设,A,表示“此人是女性”，,B,表示“此人是色盲,”,。,则,由贝叶斯公式，,条件概率、相互独立事件,一维随机变量,求,设,解：,一维随机变量,求设,解：,即,某车间有,5,台机床独立工作，每台机床的出故障率是,0.2,，,若能保证任何时刻至少有三台机床工作，则该车间的任务,可以完成，求该车间能完成任务的概率。,一维随机变量,解：设,X,表示同一时刻正常工作的机床数，则,该车间能完成任务的概率,一维随机变量,设,为,D,的可选区间，则,D,取 时，下列函数,可以是一随机变量的密度函数。,在 上有,一维随机变量,设 是随机变量 的分布密度，求 及,五次独立试验中事件,恰好出现两次的概率。,解：,五次独立试验中事件,恰好出现两次的概率,一维随机变量,设随机变量,X,的分布函数为：,求,A,、,B,；它的分布密度及,解：,解：,.,其它,一维随机变量,设随机变量,X,的分布函数为：,求,A,、,B,；它的分布密度及,解：,.,一维随机变量,设随机变量,X,的分布函数为：,求,A,、,B,；它的分布密度及,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度。,解：（,1,）,于是,当 时，,当 时，,别处,综上所述，,.,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度。,解：（,2,）,于是,当 时，,当 时，,别处,综上所述，,.,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度。,解：（,3,）,当 时，,当 时，,综上所述，,.,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度解：当 时，,当 时，,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度。,解：,.,当 时，,且,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度是：,求 的分布密度。,解：,.,当 时，,综上所述，,.,一维随机变量,设,X,的分布列为,则概率,设,X,服从 的泊松分布，则 约为,（）。,一维随机变量,在下列情况下求方程 有实根的概率。,（,1,）随机变量,X,服从区间,1,，,6,上的均匀分布。,（,2,）随机变量,X,服从,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,上的均匀分布。,解：方程 有实根的概率,记作,一维随机变量,设,XN(1,4),则,设某厂生产电阻器的阻值,阻值单位为 ，,已知该厂电阻器阻值的规范界限为,，则超过上限的概率可表为：,B.,;,一维随机变量,设某质量特性,USL,与,LSL,为它的上、,下规范限，不合格率 ，其中（）。,一铸件上的缺陷数,X,服从泊松分布，每铸件上的平均缺陷数,是,0.5,则：（,1,）一铸件上无缺陷的概率为（）,（,A,）,0.706,（,B,）,0.607,（,C,）,0.760,（,D,）,0.670,（,2,）一铸件上仅有一个缺陷的概率为（）,（,A,）,0.535,（,B,）,0.303,（,C,）,0.380,（,D,）,0.335,（,3,）一铸件上有多于一个缺陷的概率为（）,（,A,）,0.090,（,B0.085,（,C,）,0.095,（,D,）,0.080,B,B,A,一维随机变量,已知公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在,1%,以下来设计的。假设某城市的男子身高服从正态分布,（单位：,cm,），问车门高度应为多少？,解：记该城市的男子身高为,X,，则有,设车门高度应为,H,，由题设，有,查表得：,一维随机变量,设随机变量,X,的分布密度为,求：,解：,由 的非负性，知,一维随机变量,设一种电子管的寿命,X,（单位：,100,小时）的分布密度为,某仪器内装有三只上述电子管，求：,（,1,）该仪器工作了,15000,小时后至少有一只电子管坏了的概率。,（,2,）,X,的分布函数。,解：（,1,）设,A,表示电子管在,15000,小时内损坏。,则：,所求概率为,一维随机变量,设一种电子管的寿命,X,（单位：,100,小时）的分布密度为,某仪器内装有三只上述电子管，求：,（,1,）该仪器工作了,15000,小时后至少有一只电子管坏了的概率。,（,2,）,X,的分布函数。,解：（,2,）当 时，,当 时，,综上所述，,.,一维随机变量,设连续型随机变量,X,的分布函数为,解：,求：,设随机变量,X,与,Y,相互独立，且它们的分布律分别如下，,求,X,，,Y,的联合密度分布列。,解：因为,X,与,Y,相互独立，所以,X,，,Y,的联合密度分布列为,二维随机变量,设随机变量,X,与,Y,相互独立，且它们的分布密度分别如下，,求,X,，,Y,的联合密度函数。,解：因为,X,与,Y,相互独立，所以,X,，,Y,的联合密度函数为,其它,其它,其它,二维随机变量,设随机变量,X,与,Y,相互独立，且,若,则,二维随机变量,设 与 是相互独立，且它们的分布律分别如下：,求 的分布律。,二维随机变量,解：与 的联合分布列：,即,二维随机变量,解：与 的联合分布列：,得 的分布律：,解：因为,X,与,Y,相互独立，所以,X,，,Y,的联合密度分布列为,二维随机变量,设随机变量,X,与,Y,相互独立，且它们服从同一分布，,其中,X,的分布律是：,又设,求 的联合分布律。,解：X,，,Y,的联合密度分布列为,二维随机变量,的联合分布律,:,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下，,其它地方,二维随机变量,（,1,）求 ，（,2,）,求,（,3,）设 求,其中 是一常数。,解：,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下，,其它地方,二维随机变量,（,1,）求 ，（,2,）,求,（,3,）设 求,其中 是一常数。,解：,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下，,其它地方,二维随机变量,（,3,）设 求,其中 是一常数。,解：,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下，,其它地方,二维随机变量,其中 是一常数。,若要求出 ，需分以下几段：,设随机变量,X与,Y,的联合分布密度如下：,问,X,与,Y,是否相互独立？,其它,二维随机变量,解：当 时，,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下：,问,X,与,Y,是否相互独立？,其它,二维随机变量,解：,.,当 时，,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下：,问,X,与,Y,是否相互独立？,其它,二维随机变量,解：,.,故当 时，,所以,X,与,Y,非相互独立。,二维随机变量,设随机变量,X,与,Y,相互独立，下表列出了（,X,，,Y,）的联合,分布律及关于,X,，关于,Y,的边缘分布律的部分数据，试,将其余数值填入表中空白处。,解：,设随机变量,X,与,Y,的联合分布函数是：,（,1,）求常数,A,、,B,、,C,。,（,2,）求,X,、,Y,的联合概率密度。,（,3,）求关于,X,，关于,Y,的边缘分布密度。,（,4,）求,X,和,Y,的数学期望。,二维随机变量,解：（,1,）,设随机变量,X,与,Y,的联合分布函数是：,（,1,）求常数,A,、,B,、,C,。,（,2,）求,X,、,Y,的联合概率密度。,（,3,）求关于,X,，关于,Y,的边缘分布密度。,（,4,）求,X,和,Y,的数学期望。,二维随机变量,解：（,2,）,（,3,）,设随机变量,X,与,Y,的联合分布函数是：,（,1,）求常数,A,、,B,、,C,。,（,2,）求,X,、,Y,的联合概率密度。,（,3,）求关于,X,，关于,Y,的边缘分布密度。,（,4,）求,X,和,Y,的数学期望。,二维随机变量,解：（,4,）,不存在。,也不存在。,设随机变量,X,与,Y,的联合分布密度如下：,问,X,与,Y,是否相互独立？,其它,二维随机变量,解：当 时，,在其余地方，,其它,即,同理求得：,其它,因为,所以,X,与,Y,是相互独立的。,某保险公司规定，如果一年内某事件,A,发生，则公司赔,偿客户一笔款 元。该公司估算一年内,A,发生的概率为,，那么为使公司收益的期望值等于 的十分之一，该,公司应向客户收取多少保险金？,数学期望与方差,解：设应收保证金 元，则公司收益,X,的分布律是：,要使,得：,数学期望与方差,设随机变量,X,、,Y,、,Z,均服从区间,0,，,4,上的均匀分布，,求,解：因为随机变量,X,、,Y,、,Z,均服从区间,0,，,4,上的均匀分布，,所以：,从而：,若加上,X,、,Y,、,Z,相互独立的条件则可求得,数学期望与方差,甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为,X,与,Y,（单位：秒），已知,X,与,Y,分别有以下分布列（概率函数），,则有（）。,一次电话的通话时间,X,是一个随机变量（单位：分），,设,X,服从指数分布 ，则一次通话所用的平均,时间为（），标准差为（）。,4,4,数学期望与方差,证明,设,X,为连续型随机变量，且 及 均存在，,证：设,X,的分布密度为,则,命题得证。,