《基本不等式(一)》.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,基本不等式,2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,问2：,RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积和是S=,问1：,在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=,，,问3：,S与S有什么样的关系？,从图形中易得，,s s,即,探究1,探究2,问题1：,s,S,有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即,a=b,时正方形EFGH缩为一个点，这时有,形的角度,数的角度,当,a=b,时,a,2,+b,2,2ab=(ab),2,=0,结论：,一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立,此不等式称为,重要不等式,探究2,问题2,：,当 a,b为任意实数时，成,立吗？,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果,也可写成,a,0 ,b,0,当且仅当 a=b 时“”号成立,此不等式称为,基本不等式,探究3,概念,算术平均数,几何平均数,(1)两个正数的算术平均数,不小于,它们的几何平 均数.,(2)两个正数的等差中项,不小于,它们的等比中项.,已知 都是正数，试探究：,（1）如果积 是定值P，和 是否有,最小值,？若有，那么当 时，最小值为：,（2）如果和 是定值S，积 是否有,最大值,？若有，那么当 时，最大值为,探究5,例1：,（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10,.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,强调：,两个正变量,积为定值,，则,和有最小值,，当且仅当两值相等时取最值。,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则,2（x+y）=36,x+y =18,矩形菜园的面积为xym,2,=18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m,2,强调：,两个正变量,和为定值,，则,积有最大值,，当且仅当两值相等时取最值。,一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立,重要不等式,:,类 比 联 想 推 理 论 证,当且仅当 a=b 时“”号成立,此不等式称为,基本不等式,当且仅当 a=b 时“”号成立,此不等式称为,基本不等式,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小,和定积最大,强调：,求最值时要考虑不等式是否能取到“”,不等式,a,2,b,2,2ab与 都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者,a,、b可为任意实数，后者要求,a,、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.,例2:,某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m,3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:,水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.,根据题意,有:,由容积为4800m,3,可得:3xy=4800,因此 xy=1600,由基本不等式与不等式的性质,可得,即,当x=y,即x=y=40时,等号成立,所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,1.两个不等式,（1）,（2）当且仅当a=b时，等号成立,注意：,1.,两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。,2.公式的正向、逆向使用的条件以及,“,=,”,的成立条件。,2.不等式的简单应用：主要在于,求最值,把握,“七字方针”,即,“一正，二定，三相等”,课堂小结,