典型课教学（新）.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,上好,“,典型课,”,提高教学质量和效益,人民教育出版社中数室 李龙才,引言,一、概念课的教学,二、原理、定理、公式等规则课的教学,三、引言课（起始课）的教学,四、大力提高教学质量和效益,典型课,概念课,规则课,原理、定理、性质、公式等,引言课（起始课）,复习课、习题课,概念课、规则课尤其是概念课乃重中之重,引 言,2.,当前数学教学中存在的一些问题,数学教学,“,不自然,”,，强加于人，压抑了学生的数学学习兴趣；,缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的培养,不重视基本概念、核心数学思想的教学，不利于学生数学素养的提高；,重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利于数学思维能力的培养；,解题教学注重,“,题型,+,技巧,”,，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；,学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利.,3.,解决之道,搞好日常教学，特别是典型课的教学,如何上出高质量的课？,三个理解,数学、学生、教学,理解数学,:,了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等,.,理解学生、理解教学：调动学生的思维，提供抽象概括的机会,注重思想方法的引导,高质量课的根本标准：学生保持高水平的数学思维活动,.,一、关于概念的教学,习惯做法,快速给出定义,提出“准确理解”定义的注意点,例题示范（巩固、应用）,练习巩固,课堂、课后,纠正错误,“纠错教学法”,案例：高中函数概念的,“,注意事项,”,集合,A,，,B,都是数集；,任意性；,唯一性；,可以一对一、多对一，但不能一对多；,y,f,(,x,),是一个整体，不是,f,与,x,的乘积；,值域,C,=,f,(,x,)|,x,A,是集合,B,的子集；,函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定,.,结果：,在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生,“,教糊涂了,”,.,一项调查,（回收有效问卷,843,份）,问题：,函数概念的教学重点是什么？图,1,表示函数吗？,结果：,91%,的,教师把求函数的定义域、,值域（而不是理解定义域、值域的意,义）列入函数概念教学的重点；,86%,的教师,没有把让学生明确,“,函数是描,述变化规律的一种数学模型,”,作为重点；,89%,的教师,认为图,1,不能表示函数，原因是,“,其中的对应关系不确定,”,概念教学的核心,概括：以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念注：背景实例要体现当前概念的数学本质,在此过程中要体现引入新概念的必要性以及概念的合理性,接着再进行概念辨析，才有能把握,“,注意事项,”,（,1,）教师要搞清本节课的核心任务,（,2,）体现思想性、必要性,（,3,）从典型实例出发引出函数概念,目的：,加强背景，体现,“,函数模型,”,思想；,加强概念形成过程；,体现函数的本质：数集之间的对应法则；,在学生头脑中形成丰富的函数例证,.,抽象概念的学习要从具体例证开始,理解抽象概念需要具体例证的支持,案例：函数概念的处理,我们的建议,典型背景实例,归纳、概括,获得定义,（,3,）实例的选择,解析式、图象、表格,目的,形成正确的函数概念：,函数是刻画变量间依赖关系的法则；,不一定都有解析式，即,y,=,f,(,x,),可以是解析式，也可以是图，还可以是表格；,强调函数的三要素,集合对应语言,.,（,4,）归纳概括出定义,（,5,）,函数概念的辨析,以实例（正例、反例）,为载体分析关键词的含义；,反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的,高度,h,是离起点的水平距离,t,的函数吗？为什么？,离地高度,h,/cm,2,水平距离,t/,cm,1,2,6,4,5,6,1,3,4,5,3,.,.,.,.,.,正例：蚂蚁离起点的水平距离,t,是离地的高度,h,的函数吗？为什么？,（,6,）函数概念的精致化,核心：进一步加深对,“,数集之间的对应法则,”,的理解,再次与初中函数的,“,变量说,”,进行比较,三种表示法,基本初等函数模型,函数拟合,案例：函数单调性定义的“注意事项”,大家能说说吗？,函数性质的讨论,加强研究方法的引导,变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质,.,现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值,这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小,这就是我们要研究的函数性质,“,单调性”“最大值”“最小值”,.,高中阶段接触的函数性质：,函数的增与减（单调性）,重点,函数的最大值、最小值,函数的增长率、衰减率,函数增长（减少）的快与慢,函数的零点,函数（图象）的对称性（奇偶性）,函数值的循环往复（周期性）,案例：函数的单调性,加强几何直观、数形结合,“,三步曲,”,观察图象，描述变化规律（上升、下降）,结合图、表，用自然语言描述变化规律（,y,随,x,的增大而增大或减小），在此过程中，也体现了必要性；,用数学符号语言描述变化规律,单调性小结,体现思想性,如何研究函数，即研究什么,.,体现必要性,通过,“,数学实例,”,加强概念形成过程,抽象概括出本质特征,辨析,以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；,精致化（后续学习）,与奇偶性等函数其他性质的联系，进一步研究基本初等函数的单调性，用导数工具研究初等函数的单调性,另一类案例,直线与平面垂直的定义,先让通过实例，如电线杆与他在地面上的影子之间的位置关系，让学生,“,直观感受,”,这种位置关系，给出定义，把主要精力放在对,“,合理性,”,的认识上，通过正、反例理解定义的关键词,.,必须向学生交待清楚：用,“,说得清道得明,”,的几何关系（即,“,直线与直线垂直,”,）来定义,“,无法说清,”,的几何关系（即,“,直线与平面垂直,”,）是化归的方法，一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可,.,概念教学的基本环节,适度体现思想性与必要性,典型丰富的具体例证,属性的分析、比较、综合；,概括共同本质特征得到概念的本质属性；,下定义（准确的数学语言描述）；,概念的辨析,以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；,用概念作判断的具体实例,形成用概念作判断的具体步骤；,概念的,“,精致,”,建立与相关概念的联系,.,函数奇偶性的教学,急功近利的做法,（,1,）给出函数,y,=,x,2,和,y,=,x,的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图象各有什么特点？,（,2,）给表格并提问：数量关系上有何特征？,（,3,）能否描述一下函数,y,=,x,2,的特征？,学生的回答：对于,y,=,x,2,，当,x,取任意数时,y,都取正数；函数图像关于,y,轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；,（4,）对于定义域内任意一个,x,，是否都有,f,(,x,),f,(,x,),？,（,5,）能否描述一下偶函数的定义？,“,一个函数打天下”，缺乏概括的基础,.,注重概括过程的做法,典型、丰富的例证,不止一个：,y,=,x,2,，,y,=|,x,|,，,y,=,x,2,2,；,从观察图象、概括共同特征入手；,列表，从数的角度描述特征；,形、数对照,从形到数,用函数符号语言描述特征；,概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织,建立相关知识的联系,.,概念教学还应揭示蕴含的思想方法,案例：曲线与方程,高中观摩课,忽视引入概念的必要性,从已学直线的方程出发，平铺直叙，学生不知目的，也不易理解,忽视与已有知识的联系性（直线的方程、圆的方程、函数与图象）,对这个概念在解析几何中的作用认识不足,本质上没有真正理解数学,对概念本身理解不到位,另一种上法,引例,ABC,的顶点分别是,A,（,2,，,3,），,B,(,4,，,0),，,C,（,4,，,0,），求,BC,边上中线的方程,由此引发学生的思考与讨论,生：,BC,边上的中线的方程是,3,x,2,y,0,师：都是这个结果吗？,该生或其他学生：还有,x,0,，,2,师：凭什么说“,BC,边上中线的方程”就是“,3,x,2,y,0,，,x,0,，,2,”，而不是“,3,x,2,y,0,”呢？,生：,3,x,2,y,0,表示一条直线而“,BC,边上的中线”是一条线段应该有范围,师：对这里的“曲线”指什么？“,BC,边上的中线”，它是一条线段而方程,3,x,2,y,0,表示一条直线，并不是这一条线段,“方程”不仅指“等式”，还包括变量的取值范围！方程也有“定义域”,为什么说“方程,3,x,2,y,0,，,x,0,，,2,”就成了“,BC,上的中线”的方程了呢？它们到底是一个什么关系？,生：“,BC,上的中线”上的点的坐标都能够满足这个方程,师：有其他的点的坐标满足这个方程吗？,生：没有,师：反过来呢？,生：以方程“,3,x,2,y,0,，,x,0,，,2,”的解为坐标的点都在“,BC,边上的中线”吗,师：有没有在其他地方的呢？,生：没有,师：这样一来，“,BC,边上的中线”这条“曲线”（我们把线段也说成曲线）与方程“,3,x,2,y,0,，,x,0,，,2,”就建立了一种关系这种关系就是，,BC,边上的中线这条线段上的坐标都满足方程，而以方程“,3,x,2,y,0,，,x,0,，,2,”的解为坐标的点都在“,BC,边上的中线”上,意图：,以一个,典型的、,简单的例子为载体,，,解剖一个,“,麻雀,”,，让学生体验,“,曲线,”,与,“,方程,”,之间的关系,丰富实例，增强体验,回答下列问题：,（,1,）在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是什么？为什么？,（,2,）你能够说明为什么以,C,（,a,，,b,）为圆心，,r,为半径的圆的方程是（,x,a,）,2,+,（,y,b,）,2,=,r,2,吗？,意图：,以学生熟悉的事例体验“曲线”与“方程”之间,的,关系，为抽象、概括做准备,概括曲线与方程的概念,方程,f,（,x,，,y,）,0,（代数）要能够称为曲线,C,（几何）的方程，需要满足什么样的条件？,（概念建立的合理性）,方程,f,（,x,，,y,）,0,（代数）要能够称为曲线,C,（几何）的方程，需要满足条件：,（,1,）曲线,C,上的点的坐标都是方程,f,（,x,，,y,）,0,的解；,（,2,）以方程,f,（,x,，,y,）,0,的解为坐标的点都在曲线,C,上,在此基础上，给出定义,精致化,在直角坐标系中：,几何,代数,点,M,坐标（,x,，,y,）,（一一对应）,动（点,M,规则运动）（,x,，,y,相互约束）,曲线,C,方程,f,（,x,，,y,）,0,点,M,（,x,，,y,）在曲线,C,上,坐标（,x,，,y,）满足方程,f,（,x,，,y,）,0,用集合的语言认识曲线与方程的关系,设集合,C,=,M,|,点,M,在曲线,C,上,；集合,F,=,（,x,，,y,）,|,f,（,x,，,y,）,=0,条件（,1,）即,C,F,；条件（,2,）即,F,C,合起来即,C,=,F,即：,只有当曲线,C,上的点构成的集合与方程,f,（,x,，,y,）的解为坐标的点构成的集合完全一致时，曲线,C,才能称为方程,f,（,x,，,y,）的曲线，方程,f,（,x,，,y,）才能称为曲线,C,的方程,进而初步揭示出在解析几何中的地位与作用,后续再来探讨“函数及其图象”和“曲线与方程”的关系,案例：,定积分概念的引入,着重揭示定积分的思想方法和求解问题的一般步骤,（,1,）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方法：在每个局部小范围内,“,以直代曲,”,“,以不变代变,”,和逼近的思想事实上，这就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法,（,2,）给出求解这类问题的一般步骤,“,四步曲,”,：分割、近似代替、求和、取极限,曲边梯形的面积,问题的引出（必要性）,如何求由抛物线,y=x,2,与直线,x=1,y=0,所围成的平面图形部分的面积,S,？,解决问题的关键（思想方法）,通过回顾求一种特殊的曲边形,圆的面积的过程，通过类比启发学生得到解决问题的思想方法,局部小范围内,“,以直代曲,”“,以不变代变,”,和逼近的思想,解决问题的,“,四步曲,”,第一步,分割,把区间,0,1,等分成,n,个小区间，原来的曲边梯形就被分成,n,个小曲边梯形,第二步,近似代替,在每个小区间上进行近似代替，,“,以直代曲,”,，求出每个小曲边梯形面积的近似值（用左段点处的函数值）,第三步,求和,求出所有这些近似值的和，就得到原来的曲边梯形面积的近似值,第四步,取极限,对曲边梯形面积的近似值取极限得到曲边梯形的面积,通过图形可以看出，随着分割越来越细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积；通过数值表可以使学生能够定量地看出，随着区间等分数,n,的增大，曲边梯形的面积趋向于常数 ,设置,“,探究,”,栏目，先用右端点处的函数值进行近似代替，求出曲边梯形的面积，再借助几何直观（可利用信息技术手段）得出面积的一般表达式：,变速直线运动的路程,类比求曲边梯形面积的过程，从函数值与物理意义两方面分析、解决问题,.,得到结果后，,再从反方向上推断出该路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而为给出定积分的几何意义作铺垫,教学中应选择关键探究栏目,让学生抽象概括出共性，,引入定积分概念,提供抽象概括的机会,.,回归概念解决问题,关注用导数本质及其几何意义解决问题,二、原理、定理、公式等规则课的教学,通常做法,快速给出原理、定理、公式,给出注意事项,重心放在应用原理、定理、公式解题，往往侧重题型、侧重解题结果,造成讲过的不一定会做，没讲过的一定不会做,没有发展性,2010,年北京理科卷,15,：已知函数：,（,）求 的值；,（,）求 的最大值和最小值,.,数学归纳法,关键：帮助学生,“,理解,”,数学归纳法的原理,;,具体做法：通过实例,(,生活中、数学中,),，,引导学生,“,归纳”出数学归纳法的原理,.,结果：利用数学归纳法证明简单数学命题时，知道怎么做，为什么这么做，有效避免生搬硬套,.,一个数学问题（需要探索新的证明方,）,“,对于数列,a,n,，已知,a,1,1,，,a,n,+1,（,n,1,，,2,，,），通过对,n,=1,，,2,3,4,前,4,项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为,a,n,”,逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明,n,取所有正整数都成立,“,多米诺骨牌,”,全部倒下的原理,使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：,第一块骨牌倒下；,任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,两个条件的作用：,条件：奠基；条件：递推关系,利用,“,多米诺骨牌,”,原理证明这个数学猜想（经历利用合情推理提出猜想,逻辑推理进行证明）,数学归纳法的原理：,（归纳奠基,）：命题对,n,=,n,0,成立,(,n,0,为使猜想成立的最小的正整数,),；,（归纳递推）：命题若对,n,=,k,成立，则对,k,1,也成立（,k,n,0,）,学生普遍存在的问题：,为什么第二步能在假设下进行证明？,第二步实际上是证明一个命题：,“,假设,n=k,（,kn,0,）时命题成立，证明当,n=k,1,时命题也成立,”,其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递,.,案例：距离公式,点到点的距离,特殊情形,实际是可以看成数轴上两点间的距离；,一般情形，构造直角三角形，转化为：已知两直角边，求斜边,.,两类情况的统一表示,.,不仅得出公式本身，还蕴含着解决问题的思路的引导,.,点到直线的距离,一般思路：转化为两点间的距离,求法,1,（自然思路）：作垂线（其方程易求），求垂足的坐标（可求），求给定的点与垂足的距离,.,第,2,3,步很复杂,易想不易计算,在解决解析几何问题时经常遇到,.,上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，交点坐标和线段长度就都很好求了,从两点间距离公式的推导过程得到启示,根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，将,|P,0,Q|,放到一个直角三角形中求解,.,两种方法：,面积法；,利用直角三角形中的边角关系（涉及三角函数）,不仅得出公式本身，还蕴含着解决问题的思路、策略的引导,不要求证明的定理,案例：直线与平面垂直的判定定理,关键,:,设计反映定理核心的系列探究活动,发现定理,直观操作、直观感知,探讨本质特征,猜想判定定理；,理性思辨,让三角形纸板转起来，符合直线与平面垂直的定义；,给出定理；,揭示思想方法,.,规则课教学小结,原理教学的重心放在,“,抽象概括,”,出原理上,定理教学,结果：使学生掌握定理包含的条件和结论，掌握定理的证明方法,.,进而掌握定理间的关系，能应用定理解决问题,.,过程：发现和提出猜想，并通过推理论证获得定理,.,其中关键是引导学生发现条件与结论之间的联系，进而发现证明方法,.,通过简单应用，及时巩固，加深对定理的理解,.,公式教学,公式的背景和应用（来龙去脉），推导，辨析，,联系（如余弦定理与勾股定理）,原理、定理、公式中（推导过程中）蕴含着解决问题的思路、策略,案例：归纳推理,归纳推理的一般步骤：,对某类事物的部分对象,(,有限的资料,),进行观察、分析、整理；,提出猜想；,检验猜想,!,教学中得出归纳推理含义不到位,例观察下面等式：,0+1=1,，,1+8=2+3+4,，,8+27=5+6+7+8+9,，,27+64=10+11+12+13+14+15+16,，,由上面等式，你能归纳得出什么猜想？,一线教研员、教师提供的方案,分析：可以按第一个等式，第二个等式，,，第,n,个等式的顺序依次观察，观察时，要考虑前后等式中的联系，观察等式序号与等式内各数之间存在的关系,找出规律，得出一般性的猜想,.,解：,等式左边是一个奇数与一个偶数的和，右边是奇数个连续自然数的和；,奇数与偶数的和等于奇数个连续自然数的和；,左边第,1,项,=(,序号,1),3,，第,2,项,=,序号,3,，右边第一项,=,序号，是,(2,序号,-1),个连续自然数的和,.,我们修改后的呈现方式,分析：,按第,1,个等式，第,2,个等式,的顺序依次观察，观察的主要目的是考察等式中的数、项数与等式序号之间的关系,.,可以发现，各等式左边的数在变化，但总是两项；右边的数在变化，但都是连续自然数的和，且项数是（,2,序号,-1,）,.,若观察,0+1=1,后，认为等式的规律是：左边第,1,项,=,序号,-1,，左边第,2,项,=,序号，右边,=,序号，但观察,1+8=2+3+4,后，发现第,2,个等式不满足这个规律，于是把第,1,、第,2,个等式综合起来进行修正可以发现，对第,1,、第,2,个等式均有：,等式的左边满足：,第,1,项,=(,序号,1),3,，第,2,项,=,序号,3,；,等式的右边满足：,第,1,项,=(,序号,1),+1,，后面的项依次加,1,，直到最后一项,=,序号,经检验，这个规律对第,3,，第,4,个等式依然成立于是，我们猜想等式满足的规律为：在第,n,个等式中，,左边,=,（,n-1,）,3,+n,3,，,右边,=,（,n-1),+1+,（,n-1),+2+,+n,.,解：将各已知等式改写为：,0,3,+1,3,=1,2,，,1,3,+2,3,=(1,2,+1)+(1,2,+2)+(1,2,+3),2,3,+3,3,=(2,2,+1)+(2,2,+2)+(2,2,+3)+(2,2,+4)+(2,2,+5).,猜想第,n,个等式是：,(n-1),3,+n,3,=(n-1),2,+1+(n-1),2,+2+,+,(n-1),2,+2n-1,=(n,2,-2n+2)+(n,2,-2n+3)+,+n,2,反思、小结,：,（1,）归纳推理的一般进程为：根据部分已知信息提出猜想，用其他已知信息检验猜想、修正猜想，再用已知信息检验新猜想，想得出猜想,.,(2),猜想中，运用函数的思想,.,（,3,）得出猜想后，应有对猜想进行检验、证明的意识如对本例中得出的猜想，可以给出证明如下：,所以等式成立，即猜想是一个真命题,.,三、引言课（起始课）教学,章引言（起始课）,引言是全章的起始、序曲，是全章内容的引导性材料，具有先行组织者的重要作用,.,好的引言，对于,加强基本思想教学、培养发现和提出问题,的能力等都有重要作用,.,引言的主要内容,1.,本章内容的引入,.,借助适当的问题情境（实际的或数学内部的）引入本章内容，体现必要性,.,2.,本章内容的概述,.,使学生了解本章内容的概貌,.,3.,本章方法的引导,.,使学生了解本章的主要数学思想方法和学习（研究）方法,.,章引言的教学要设置恰当的过程,宜粗不宜细,案例：,数系的扩充与复数的引入,必要性：,由数学内部的矛盾,x,2,1,0,在实数集中无解,，产生,认知冲突，引发数的范围进行扩充的必要性，从而引入虚数的概念，,进而,建立复数的概念,思路的引导（思想方法的 引导）：能否像引入无理数而把有理数系扩充到实数系一样，通过引入新数扩充实数系，进而解决问题,.,激发,兴趣,：,复数是,16,世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的它在数学、力学、电学及其其他学科中都有广泛的应用复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础,介绍本章主要内容：通过解方程等具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解扩充过程，学习基本知识，感受,理性思维在数系扩充中的作用,.,由此，,学生在看书时能够,初步,体验到,“,数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样复数的引入是对数的认识的一次飞跃,”,以及这些话的深刻含义,在正文第一节课中，进一步渗透理性思维，特别是运算律的作用,案例：平面向量章引言,确定一点相对于另外一点的位置等几何背景，位移、速度、力等物理背景，指出将对它们进行抽象就是数学中的向量；,与,实数进行,类比介绍章引言，实数集合有运算、运算律等，,本章要研究向量的运算、运算律；,这时再提出平面向量这一章要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法,渗透学习、研究的套路（数学思想与方法）,数学中定义了数学对象必须要定义运算、研究运算律,.,如果没有运算，向量只是一个,“,路标,”,因为有了运算，向量的力量无限,向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系,向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用,可结合平面向量第,1,课时具体内容,课标要求：通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示,向量的定义,确定两点的相对位置等几何背景，位移、速度、力等物理背景，抽象概括出向量的概念；,向量的几何表示,与用数轴上的点表示实数类比，引出有向线段；,与实数类比发现向量这个集合中有两个特殊的元素,零向量、单位向量,.,（这里可以引申出需研究运算、运算律）,先介绍平行向量，再解决确定性（代表性）的问题,定义相等，进而介绍共线向量,案例：必修,3,“统计”章引言,引入,体现必要性与统计思想,我们生活在一个数字化时代，时刻都在与数据打交道，例如，产品的合格率、农作物的产量、商品的销售量、当地的气温、自然资源、就业状况、电视台的收视率 你知道这些数据是怎么来的吗？实际上它们是通过调查获得的 怎样调查呢？是对考察对象进行全面调查吗？例如，为了了解一批计算器的使用寿命，我们能将它们逐一测试吗？很明显，这既不可能，也没必要实践中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且许多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一个样本，通过样本来了解总体的情况进一步，从节约费用的角度考虑，在保证样本估计总体达到一定精度的前提下，样本中包含的个体数越少越好于是，如何设计抽样方法，使抽取的样本能够真正代表总体，就成为我们要关注的一个关键问题否则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会出现错误,介绍本章主要内容,那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示样本数据呢？如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征等），来推断总体的情况呢？这些正是本章要研究解决的问题,立体几何章引言（上海、江苏略）,四、,大力提高教学质量和效益,1.,“,理解数学,”,是教好数学的前提,理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源,.,理解教学内容，弄清,“,是什么,”,；,理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；,理解教学内容所反映的思想方法,.,例：概率教学中的一些错误理解,必然事件与概率为,1,等价，不可能事件与概率为,0,等价，随机事件的概率大于,0,而小于,1.,频率的稳定值就是概率的估计值,.,随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率,.,例：总体与个体的定义,学校要了解高一年级学生的身高情况，进行抽样调查，总体是（）,.,(A),全校学生,(B),全校学生的身高,(C),高一年级所有学生,(D),高一年级所有学生的身高,关于数系的扩充,要素：数集、运算,数集扩大,运算相容，保持运算律,例如：有理数系实数系；,实数系复数系,.,往往忽视运算与运算律,几何中的向量方法,以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论,相对地，综合法,不使用其他工具，对几何元素及其关系进行讨论,解析法,以数（代数式）和数（代数式）的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论,三种方法中，向量方法是最高形式,上升到了向量空间（线性空间），有代数结构，可以系统地使用代数工具,关于皮亚诺公理,关于正整数的五条公理：,任何一个满足下列条件的非空集合叫做正整数集合，记作,N,：,1.1,N,；,2.,若,k,N,，则有且仅有一个正整数称为,k,的后继数，记作,k,+1,，这就是说，如果,k=h,，那么,k+,1,=h+,1,；,3.,若,k,N,，则,k,+1,1,，这就是说任何一个正整数的后继数都不是,1,；,4.,若,k,N,，,h,N,，且,k,+1=,h,+1,，则,k=h,，这就是说，对于每一个正整数，只能是某一个正整数的后继数或者根本不是后继数；,2,3,4,等价于：,存在映射,f:,NN,，称为后继映射，满足：,（,1,）,对任意,k,N,，,f(k)1;,（,2,）,f,是单射,.,5.,设,M,是正整数的一个子集，且它具有下列性质：,1,M,；,若,k,M,，,则,k,+1,M,.,那么,M,是全体正整数的集合，即,M,=N.,皮亚诺公理从逻辑上给出了自然数集的严格定义；,从皮亚诺公理出发，在,N,内定义加法、乘法，,推出正整数的各种性质,.,加法满足：交换律，结合律，消去律；,乘法满足：交换律，结合律，消去律，分配律；,有序集，满足最小数原理,.,序：对任意,m,n,N,如果存在,x,N,使得,m=,n+x,则定义,m,n.,第,5,条也叫做归纳公理,，它,是数学归纳法的,依,据,：,设,P,是一个有关正整数的命题，把使,P,成立的所有正整数组成的集合记为,M,，如果要证明,P,对于所有正整数都成立，只要证明,M,=N,即可,.,根据归纳公理，首先证明,1,M,（数学归纳法中的第一步“奠基”正是进行这样的证明）；其次证明若,k,M,，,则,k,+1,M,（数学归纳法中的第二步“递推”正是进行这样的证明），这样即可得到,M,=N.,从而证明了命题,P,对于一切正整数成立,.,可以看出,，数学归纳法的两个证明步骤恰是证明这条公理所说的两个性质,.,归纳公理,也是第二数学归纳法的理论依据,.,2,提好的问题，设计自然的教学过程,问题引导学习,提好的问题，有意义、适度、恰时恰点,设计,自然的过程,体现数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程,.,核心是引导学生自己,概括出数学的本质,，使学生在数学学习过程中,保持高水平的数学思维活动,.,好的问题的关键是要引导学生独立思考,思维需要合适的问题情境；,让学生完成关键的概括活动；,要面向全体学生；,要暴露学生的思维过程,.,独立思考需要安静的环境和充分的时间,.关键点 关节点 联结点 发散点 最近发展区,度,君子之教，喻也：,道而弗牵；强而弗抑；开而弗达,.,道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思,.,和、易、以思，可谓善喻矣,.,优秀教师的教学，善于诱导,.,他对学生引导但不牵着走；严格要求但不过分施压；开导但不和盘托出,.,道而弗牵就使教与学的关系和谐；强而弗抑就使学生对学习感到快、易而不产生畏难情绪；开而弗达就可培养学生独立思考而自求答案,.,使学生做到了不畏难，感到快、易而又能独立思考，就可以说是善于诱导了,.,如何提问题,案例 不等式基本性质中的提问,不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发,.,你能回忆一下等式的基本性质吗？,考察等式的基本性质的基本思想是什么？（,“,从,运算中的角度研究,”,）,类似的，不等式有哪些基本性质呢？,类比不等式基本性质的得出过程，你认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？,案例：三角函数诱导公式的提问,你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？,的终边、,+180,的终边与单位圆交点有什么关系？你能由此得出,sin,与,sin,（,+180,）之间的关系吗？,我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？,问题情境与提问方式,三角函数与（单位）圆有紧密联系，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系,.,圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形,.,你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角,的终边关于原点、,x,轴、,y,轴以及直线,y,=,x,对称的角与角,的关系以及它们的三角函数之间的关系？,随机抽样方法,蕴含的统计思想,简单随机抽样,介绍了抽签法后的提问与引导,提问：你认为抽签法有什么优点和缺点？当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？,引导：抽签法简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于,“,搅拌均匀,”,的状态比较容易，这时，每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性但是，当总体中的个体数较多时，将总体,“,搅拌均匀,”,就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大,作用：既加深对抽签法的理解，又能引出新的简单随机抽样方法,随机数法，同时也能感受必要性,分层抽样,探究活动：假设某地区有高中生人，初中生人，小学生人此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取的学生进行调查你认为应当怎样抽取样本？,提问引导：你认为哪些因素可能影响学生的视力？设计抽样方法时需要考虑这些因素吗？,探究新抽样方法：不同年龄阶段的学生的近视情况可能存在明显差异因此，宜将全体学生分成高中、初中和小学三部分分别抽样另外，三个部分的学生人数相差较大，因此，为了提高样本的代表性，还应考虑他们在样本中所占比例的大小,新内容,以问题情景开始，明确提出问题，引导学生的数学活动，使他们认真观察具体实例中反映的数量关系或几何特征，积极主动地开展实验与猜想、归纳与推理的活动，思考问题的本质，探究解决问题的方法，使学生通过自己的探索思维来概括数学概念，获得数学结论，多方寻求答案，解决疑问，领悟数学思想，理解数学本质,3.,关于加强联系性,加强数与数的运算的联系,一有机会就引导学生将数学新概念或结论与,“,数及其运算,”,进行类比，使学生在新概念的学习之初就有一个牢固的,“,固着点,”,几个三步曲（解析几何、数学建模、）,加强复习、小结课的教学,目标：,通过系统梳理知识体系，加强相关知识的联系，,更,准确,、,深刻,地理解,知识，提高知识的组织质量，形成良好的数学认知结构，进而提高综合运用知识解决问题的能力,.,学生,形成清晰、稳定、迁移能力强的,“,数学知识结构图,”,用体现类比、推广、特殊化等过程的,“,逻辑图,”,表现出知识之间的联系和思想方法；,在进一步明晰概念内涵的基础上，把新课中学过的概念、定理、公式等用前后一致的数学思想串联起来.,案例,三角函数中的联系性,角函数中的联系,定义：任意角,与单位圆的交点为,P,(,x,，,y,),，则,x=,cos,，,y=,sin,，对应关系明确，函数的意义直观而具体；,三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如：,（,1,）,P,(,x,，,y,),在单位圆上,|,x,|1,，,|,y,|1,，即正弦、余弦函数的值域为,1,，,1,；,（,2,）一个周角,=2,周期为,2,；,（,3,）,|,OP,|,2,=1,即,sin,2,+cos,2,=1,；,（,4,）对于圆心的中心对称性,sin(,+,)=,sin,，,cos(,+,)=,cos,；,（,5,）对于,x,轴的轴对称性,sin(,)=,sin,，,cos,(,)=,cos,；,（,6,）对于,y,轴的轴对称性,sin(,)=sin,，,cos(,)=,cos,；,（,7,）对于直线,y,=,x,的轴对称性,sin(,)=,cos,，,cos,(,)=sin,；,（,8,）,sin,的单调性,：,0,y,：,1 0 1 0,1,（,9,）圆的旋转对称性：和（差）角公式,圆的反射对称性：和（差）化积公式,课堂教学的,“,六字经,”,问题引导学习,教学重心前移,典型丰富例证,提供概括时机,保证思考力度,加强思想联系,使用变式训练,强调反思迁移,请批评指正！,谢谢！,