2025年历年备战中考数学易错题汇编一元二次方程组练习题附详细答案.doc

历年备战中考数学易错题汇编-一元二次方程组练习题附详细答案

一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s速度从点A、C同步出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过2s时P、Q两点之间距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过多长时间P、Q两点之间距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q停止而停止移动，试探求通过多长时间△PBQ面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表达出PQ长度，运用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出有关x方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cmPE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴通过2s时P、Q两点之间距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴通过s或sP、Q两点之间距离是10cm；
（3）连接BQ．设通过ys后△PBQ面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
考点：一元二次方程应用．

2．某建材销售企业在第一季度销售两种品牌建材共126件，种品牌建材售价为每件6000元，种品牌建材售价为每件9000元.
（1）若该销售企业在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售种品牌建材多少件？
（2）该销售企业决定在第二季度调整价格，将种品牌建材在上一种季度基础上下调，种品牌建材在上一种季度基础上上涨；同步，与（1）问中最低销售额销售量相比，种品牌建材销售量增长了，种品牌建材销售量减少了，成果第二季度销售额比（1）问中最低销售额增长，求值.
【答案】（1）至多销售品牌建材56件;(2)值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售品牌建材件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售品牌建材件.
根据题意，得，
解这个不等式，得，
答：至多销售品牌建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，品牌建材70件，
根据题意，得
，
令，整理这个方程，得，

解这个方程，得，
∴（舍去），，
即值是30.
【点睛】
本题考察了一元二次方程和一元一次不等式应用，解答本题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

3．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s速度向C点移动．假如P、Q两点同步出发，通过几秒后△PBQ面积等于4cm2？

【答案】通过2秒后△PBQ面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q点移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE有关t体现式，代入面积公式，即可得出答案．
【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设通过t秒后△PBQ面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：通过2秒后△PBQ面积等于4cm2．
【点睛】
本题考察了一元二次方程运用，注意对所求值进行检查，对于不合适值舍去．

4．计算题 
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等实数根，求m值．
【答案】（1）；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式运算法则和运算次序，先算括号里面，再算除法，注意因式分解作用；
（2）根据一元二次方程根鉴别式求解即可.
详解：（1）÷（1+）
=
=
=x+1，
当x=时，原式=+1=
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题重要考察了分式混合运算和一元二次方程根鉴别式，关键是熟记分式方程运算次序和法则，注意通分约分作用.

5．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣，x2=．
【解析】
试题分析：运用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=．
点睛：此题重要考察了一元二次方程解法，解题关键是认真观测一元二次方程特点，然后再从一元二次方程解法：直接开平措施、配措施、公式法、因式分解法中合理选择即可.

6．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得

开平方，得
，或
解得

7．有关x方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0两个根，记S=++ x1+x2，S值能为2吗？若能，求出此时k值．若不能，请阐明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）S值能为2，此时k值为2．
【解析】
试题分析：（1） 本题二次项系数为(k－1)，也许为0，也许不为0，故要分状况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和形式，代入数值计算即可．
试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=有一种解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不管k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S值为2
∴S值能为2，此时k值为2．
考点：一元二次方程根鉴别式；根与系数关系．

8．某商场一种商品进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品持续两次下调相似百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品利润达到510元，且更有助于减少库存，则商品应降价2.5元．
【解析】
【分析】
（1）设每次降价百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后百分率，40元 降至 32.4元 就是方程等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 510 元利润，且更有助于减少库存则每件商品应降价 y 元，由销售问题数量关系建立方程求出其解即可
【详解】
解：（1）设每次降价百分率为 x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品持续两次下调相似百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降百分率为10%；
（2）设每天要想获得 510 元利润，且更有助于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得

解得：＝1.5，＝2.5，
∵有助于减少库存，∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品利润达到 510 元，且更有助于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边平衡条件，这种价格问题重要处理价格变化前后平衡关系，列出方程，解答即可．

9．淘宝网举行“双十一”购物活动许多商家都会运用这个契机进行打折让利促销活动．甲网店销售A商品成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当日，甲网店持续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有某些淘宝商家在“双十一”购物活动当日先提高商品网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当日，乙网店先将A商品网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当日卖出A商品数量相比本来一周增长了2a%，“双十一”活动当日乙网店利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品售价为39.2元，根据原标价及通过两次降价后价格，即可得出有关x一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出a值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天网上标价为100元．
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，找准等量关系，对列出一元二次方程是解题关键．

10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：
（1）若要每天利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同步也为了提高这种文化衫认知度，商店决定在“五一”节当日开展促销活动，若销售单价在（1）中最低销售价基础上再减少m%，则日销售量可以在150件基础上增长m件，成果当日销售额达到5670元；要使销售量尽量大，求出m值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
【解析】
试题分析：（1）根据利润公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽量大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程应用；一元一次不等式应用．

11．已知有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2．
【解析】
【分析】
（1）计算鉴别式值，运用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据鉴别式意义得到结论；
（2）运用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解有关k方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝或2．
【点睛】
本题考察了根鉴别式以及等腰三角形性质，分a是等腰三角形底和腰两种状况是解题关键.

12．某产品每件成本为20元，通过市场调研发现，这种产品在未来20天内日销售量（单位：件）是有关时间（单位：天）一次函数，调研所获部分数据如下表：
时间/天
1
3
10
20
日销售量/件
98
94
80
60

这20天中，该产品每天价格（单位：元/件）与时间函数关系式为：（为整数），根据以上提供条件处理下列问题：
（1）直接写出有关函数关系式；
（2）这20天中哪一天日销售利润最大，最大销售利润是多少？
（3）在实际销售20天中，每销售一件商品就捐赠元（）给但愿工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后日销利润随时间增大而增大，求取值范围.
【答案】（1）；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）.
【解析】
【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后日销售利润，根据函数性质求a取值范围
【详解】
（1）设该函数解析式为:m=kx+b
由题意得:
解得:k=-2,b=100
∴有关函数关系式为:.
（2）设前20天日销售利润为元，由题意可知，

∵，∴当时，.
∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.
（3）由题意得：
，
∴对称轴为：，
∵每天扣除捐赠后日销利润随时间增大而增大，且，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题重要考察了二次函数应用，纯熟掌握各函数性质和图象特征，掌握处理最值问题措施是解答本题关键.

13．今年以来猪肉价格不停走高，引起了民众与区政府高度关注，当市场猪肉平均价格每 公斤达到一定单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据记录：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不停走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购置 5 公斤猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨进货价为年初排骨售价倍，按 11 月 10 日价格发售，平均一天能销售出 100 公斤，超市记录发现：若排骨售价每公斤下降 1 元，其日销售量就增长 20公斤，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元利润，为了尽量让顾客优惠应当将排骨 售价定位为每公斤多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价基础上下调 a%发售，A 超市按规定价发售一批储备排骨，该超市在非储备排骨价格不变状况下，该天两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增长了 a%，且储备排骨销量占总销量，两种排骨销售总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 值．
【答案】（1）售价为每公斤65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10售价和11月进货价，设每公斤降价x元，则每公斤利润为10-x元，日销量为100+20x 公斤，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽量让顾客优惠，对所得解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日售价为350÷5=70元/公斤
年初售价为：350÷5÷175％=40元/公斤，
11月进货价为： 元/公斤
设每公斤降价x元，则每公斤利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 公斤
则，
解得，
由于为了尽量让顾客优惠，因此降价5元，则售价为每公斤65元.
（2）根据题意可得
解得,(舍去)
因此a=35.
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，（1）中理清销售量伴随单价变化而变化数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a值.

14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．

15．将进货单价为40元商品按50元售出，能售出500件，假如该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价元，能赚得8000元利润；销售单价为元，销售量为件；每件利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检查，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
因此，要赚取8000元利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，关键看到售价和销售量关系，然后以利润做为等量关系列方程求解