初一数学教学的思想与方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,整体把握数学教学,提升学生数学素养,“,立德树人,”是教育的根本任务,育人目标是教育的核心目标，,数学教育育人目标的核心是学生的,数学素养的提升,。,抽象能力，逻辑推理，数学建模,几何直观，运算能力，数据分析,数学育人目标如何落实到课堂教学中？,在深化课堂教学改革中，要坚持以学生的发展为本，从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，完整地体现好数学的科学性、工具性、价值理性和人文性这些特质，使课堂教学成为一个融数学知识、技能、方法、思想和精神于一体的整体，全面发挥数学的育人功能。,数学是一个整体。数学的整体性体现在数与代数、图形与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上（纵向联系、横向联系）。,要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原理的抽象过程、数学知识的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路”。,认识和研究一个数学对象，一般要经历“背景材料概念与表示性质联系和应用”的过程。,一、,突出运算和运算律的作用，归纳地学习,“,数与代数,”,的内容。,代数的根源在于运算,各种代数问题中，我们总是运用各种,代数运算,（如加法、乘法等）来分析量与量的代数关联。,解决问题的过程中，则要用代数,运算,去表示现实事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题,“,代数化,”,后再加以解决。,从代数式（符号代表数,从处理单个数到处理一类问题）、方程（符号代表未知数,数量关系到等量关系）到函数（符号代表变数,从变化过程中考察规律）是一个不断深入的过程，这是看问题角度的变化。,代数运算具有一系列普遍成立的运算律，包括加法、乘法的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数中广泛能用且简单有力的代数基本工具，,运算律是整个代数学的基础,。,运算过程中，,运算律,的普遍性让我们可以有效地分析所给问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。,各种式（整式、分式、根式等）的运算,用运算律进行,“,等价变换,”,；,比如在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算。,与几何问题的研究从“几何直观”出发不同,，,在代数问题的学习中，,归纳法是一种常用且有用的基本方法,。,这里的归纳，既包括“归纳发现”，也包括“归纳证明”。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特殊到一般，归纳地发现具有某种共有特性的事物，归纳地定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特性。,代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到的。,基于上述认识，对于“数与代数”的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数问题的基本方法。,例,1,：数式通性,“数式通性”是研究数（有理数、实数）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。,由于字母表示数，因此数的运算法则、运算律和运算性质在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。,同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所以对“未知数”也成立，因此可以有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数化未知为已知。,数式通性,整式,数式通性,分式,数式通性,二次根式,解方程中的算理,等式的性质,解简单方程,分配律,合并同类项,等式的性质,移项,分配律,去括号,等式的性质,去分母,等式的性质,运算中的不变性,运算律,充分注意“有理数”的基础地位和作用，有理数的运算不仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（数,运算和逆运算,运算律,大小关系）也提供了研究一个代数对象的基本思路。,在进行式的内容的教学时，要重视数式通性”，加强与数的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，注意阐述“从数到式”的研究内容和方法。,解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等式的性质、运算律）以及基本思路（通过恒等变形，把方程逐步化为,x,a,的形式）,二元一次方程组,差异在,“,元,”,。因此，将,“,二元,”,转化为,“,一,元,”,就能使,“,新方程,”,转化为,“,旧方程,”,，,解,二元一次方程组,关键问题,如何,消元,。,具体怎么消元,代入、加减。,例,2,：方程解法的研究,重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本策略,李庆老师提的的问题,解一元一次方程的基本思路是什么？每遇到一种新的形式的方程，我们都是如何处理的？,这个方程组与之前我们研究的方程有什么区别？你能将它转化为我们熟悉的方程吗？,这一方程组是之前的篮球比赛问题中列出的，这一问题我们也可以列一元一次方程解决，通过两种方法的对比，对你解二元一次方程组有何启发？,这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法,.,在利用代入消元法解二元一次方程组的过程中，主要有哪些步骤？其中的关键步骤是什么？,一元二次方程,差异在,“,次数,”,。因此，将,“,二次,”,降为,“,一次,”,就能使,“,新方程,”,转化为,“,旧方程,”,，,解一元二次方程的关键问题,如何降次。,从特殊到一般、从具体到抽象,直接开平方,解,x,2,=25,，推广到求方程,x,2,=p,，,对,p,0,，,p,0,和,p,0,三种情况进行讨论,。,分析变式,(,x,+3),2,=5,的解决过程,，,给出,(,x,+3),2,=5,的等价形式,x,2,+6,x,+4=0,，并表示将,x,2,+6,x,+4=0,转化为,(,x,+3),2,=5,的过程，最后归纳出“,配方法,”,；,讨论通过配方将一元二次方程转化为,(,x,+,n,),2,=,m,的形式后的解，再次经历分类讨论过程,。,用配方法,解,一般形式,的方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),，推导出求,根公式,。,反复经历“具体抽象”、“配方分类讨论”的过程,例,3,：类比的研究问题,函数的研究,正比例函数一次函数二次函数反比例函数,研究内容,：概念、图象、性质、应用,概念（表示）：,体现概念教学的一般过程,图象：,描点法、图象特征,性质：,从,k,(,a,)0,到,k,(,a,)0,，从具体的函数到一般函数,应用：,建立函数模型解决问题,概念教学的基本环节,概念的引入,从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；,概念属性的概括,提供,典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；,概念的明确与表示,下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；,概念的辨析,以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；,概念的巩固应用,用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；,纳入概念系统,建立与相关概念的联系。,概念教学的核心,抽象概括,：,以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；,（教学重点、突破难点的关键所在）,习惯做法,“,纠错教学法,”,快速给出定义,提出,“,准确理解,”,定义的注意点,例题示范（巩固、应用）,练习巩固,课堂、课后,函数性质的讨论,体现研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。,利用图象研究性质,特殊到一般,分类讨论、归纳汇总,三步曲,观察图象，描述变化规律（上升、下降）,结合图、表，用自然语言描述变化规律（,y,随,x,的增大而增大或减小）,用数学符号语言描述变化规律,回到解析式,函数的应用,体现模型思想,从现实生活或具体情境中抽象数学问题,起点,用,数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,关键步骤,通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义,。,例,4,：选择方案问题,明确研究的问题和解决问题的方向,问题,1,你了解表格中这些数字的含义吗？,追问,1,：如果每月的上网时间为,20,小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？,追问,2,：如果每月的上网时间为,150,小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？,通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力及理解水平，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工通过两个追问，渗透收费方式的选择与上网时间相关,。,问题,2,你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为什么？,问题,3,面对这样一个问题，我们应从哪里入手呢？,追问,1,：这个问题要我们做什么？,追问,2,：选择方案的依据是什么？,感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下需要做什么事，从而为我们后续的工作指明方向,分析问题，寻找解决问题的思路,问题,4,要比较三种收费方式的费用，需要做什么？,追问,1,：方式,C,需要多少钱？,追问,2,：方式,A,，,B,的费用确定吗？影响费用的因素是什么？,追问,3,：方式,A,，,B,的费用与上网时间,t,有什么关系？,追问,4,：怎样比较三种收费方式的费用？,（费用的构成、用适当的方式表示费用）,感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程在感知问题中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标据，设出变量或未知数，用式子表示这些数量之间关系最终把问题转化为比较一次函数大小,求解模型，解释讨论实际问题,任务,l,请把原来的问题转化为函数问题,建立变量（自变量）、费用,y,）,表示关系（列出函数解析式）,转化问题（费用比较,函数值比较）,通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题,任务,2,独立解决上面的函数问题，并进行相互交流,利用图象，信息技术工具,上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生体会根据函数图象作出整体时间分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比较，精细分析数量关系的过程,.,任务,3,请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否,让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我评价的意识,回顾解决问题的过程，进一步体会模型思想,请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己的感悟：,（,l,）在解决“选择上网收费方式”问题的过程中，经历了哪些步骤？,（,2,）,建立函数模型时经历了那些步骤？,建模是关键,（,3,）,还有那些收获？,明确起点、目标，特殊到一般，分段函数特征，数形结合,巩固应用，再解决一个问题,三、,从几何直观到推理论证，从一般到特殊地研究几何图形的性质和判定,。,图形与几何的研究内容和研究方法,研究什么,图形的性质和判定、图形间的关系,性质,组成要素之间的关系,组成要素,基本要素（边、角）和相关要素（对角线）,关系,位置关系（垂直、平行）,数量关系（相等、倍分）,判定,组成要素需要具备的条件,关系,还是性质和判定,怎么研究,研究对象一般到特殊（性质的包容性）,实验到论证,几何直观，推理,性质和判定的互逆关系,例,5,：如何研究平行四边形,章引言的教学,先行组织者的应用,对学习过的三角形的研究思路进行回顾，在此基础上构建平行四边形的研究内容和发展脉络,一般四边形,平行四边形,特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）,概念,性质,判定,研究的方法,转化为三角形、平行线等已有知识,导游图,王用华老师提的问题,前面我们已经系统的学习了三角形，你能总结一下“三角形”所研究的问题、线索及方法吗？,类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”将要研究的问题、过程及方法吗？,平行四边形性质的研究,研究图形性质的一般过程,我们知道，图形的性质是指组成图形的要素之间的位置关系和数量关系，对于任意一个平行四边形，它的组成要素是什么？它们之间具有什么位置关系和数量关系？,通过观察、度量，我们已经发现平行四边形的对边相等、对角相等，如何证明它们？我们学过那些证明边相等和角相等的方法？,在证明平行四边形的对边相等、对角相等时，我们通过连接它的一条对角线，把平行四边形转化成了两个全等的三角形。实际上，对角线也是平行四边形的一个组成要素，那么平行四边形的对角线有什么性质呢？,把平行四边形的两条对角线都连起来，从它们的位置关系和数量关系的角度观察，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？,通过本节课的学习，你学到了平行四边形具有什么性质？这些性质有什么作用？这节课的研究思路是什么？,平行四边形的判定,三、,结合典型案例、经历统计过程、培养数据分析观念。,数据分析观念,了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息。,经历数据分析的过程,了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。,掌握数据分析的基本方法,通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。,感受到数据的随机性,例,6,：平均数与中位数、众数的统计意义,统计不是单纯的数字计算或绘图,统计意义,用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用；但平均数计算时比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响,。,众数作为一组数据的代表，它不受极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的,“,集中趋势,”,。,中位数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响，并且求法简便，是一个反映数据,“,集中趋势,”,的位置的代表值,。,平均数的特点,对于给定的,n,个数,x,1,x,n,，使得,(x,1,-b),+,+(,x,n,-b,),（离差平方和）,达到最小的,b,为,n,个数据的平均数。如果把,n,个数据看作样本，那么，样本平均,使样本的离差平方和达到最小。,利用中位数代表数据，是使,一次损失（误差绝对值的和）最小,。而我们都知道，二次函数有着很好的数学性质，所以人们,经常,选择用平均数来进行研究,。,算法理解、概念理解、统计理解。,基于以上认识，在进行“统计与概率”内容的教学时，应特别注意体现“通过统计数据探究规律”的归纳思想。注意结合解决具体实际问题的典型案例展开相关内容，并让学生亲身参与统计活动，在收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息，学会根据问题的背景选择合适的数据分析方法，通过数据的分析体验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观念，感受统计思想，逐步建立用数据说话的习惯。,四、重视综合与实践,、,积累数学活动经验,。,培养学生,应用意识,很好的载体。一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。,有助于培养学生的,创新意识,。综合与实践给学生自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供了更大的空间,。,学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。,有助于培养学生的,模型思想,。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。,综合与实践提供了这种平台。,“,综合与实践,”,的教育价值,课标第三学段要求,1,结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。,2,会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验。,3,通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。,选题,问题引领：由教师，更希望是学生提出一些有价值的、学生可以实际参与的问题或问题串。,开题,探寻解径：在教师引导下，让学生通过的分析、讲解、观察、讨论进一步明确题意，知晓相关数学知识或模型，提出比较合理、可行、有效的解决问题的思路或方案。,做题,实践操作：学生们通过自主探究、合作学习、实验操作、观察分享、推证演算等实际操作环节，真实具体地解决问题。,结题,交流评价：在老师的组织下，学生将自己或小组的解题的结果、求解过程的说明、求解过程的中学习体会和发现等报告或介绍给大家，使大家能分享成果和收获。,例,7,：设计跑道（课标解读，人教版九上）,问题引领,400m,比赛时为什么运动员的起跑点不在一条直线上？,你了解,400,米标准半圆式跑道,吗？,哪圈的长度是,400,米？直段多长,？,弯道半径是多少,？,400,米分道跑起跑线是如何画出来的？,怎么解决这个问题？,探寻解径与实践操作,查阅资料、实地测量等方式方法了解一些跑道上的数学知识,。（,跑道内圈周长,400,米，弯道半径,r,为,36.5,米，每条跑道宽,d,为,1.22,米，最内圈,400m,，其长度等于最内圈非跑道侧边线向跑道侧偏移,0.30,米,那条线的长度,）,计算各分道的长度。（,第二至八道应距内侧分道线外缘,0,20,米计算,）,计算起跑线的前伸数。（只与跑道宽度有关）,场地半 径,直段长,第一分道长度,第二分道长度,第三分道长度,第四分道长度,第五分道长度第六分道长度,第七分道长度,第八分道长度,36.5,84.39,400,407.04,414.70,422.37,430.03,437.70,445.37,453.03,400,米分道跑起跑线的画法,。（,直道起跑线要垂直于各分道线。弯道起跑线，各起跑线的延长线要通过圆心。,）,交流评价,拓展延伸,（,800,米分道跑，,3000,米、,5000,米不分道跑）,数学是自然的，它的概念、原理、法则、公式、性质等，都有其内在的逻辑必然性。在教学中，为了提升学生的数学素养，需要我们整体把握数学教学，以数学知识发生发展过程的内在逻辑为基础，加强研究方法的引导，使学生不仅学会具体的数学知识和技能，更能学会如何发现和提出问题，如何思考解决问题的思路。这样，数学的育人目标才能更好地实现。,感,谢,观,看,和,聆,听,Thanks For Appreciation,