2025年七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习附答案.doc

七年级数学试卷整式乘法与因式分解易错压轴解答题专题练习(附答案)

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．某同学运用若干张正方形纸片进行如下操作：
（1）从边长为a正方形纸片中减去一种边长为b小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最终把剪成两张纸片拼成如图2等腰梯形，这一过程所揭示公式是________.

（2）先剪出一种边长为a正方形纸片和一种边长为b正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b长方形纸片，如图3，最终把剪成四张纸片拼成如图4正方形.这一过程你能发现什么代数公式？

（3）先剪出两个边长为a正方形纸片和一种边长为b正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一种长方形？
假如可以，请画出草图，并写出对应等式.假如不能，请阐明理由.

2．[数学试验探索活动]
试验材料既有若干块如图①所示正方形和长方形硬纸片.

试验目：
用若干块这样正方形和长方形硬纸片拼成一种新长方形，通过不一样措施计算面积，得到对应等式，从而探求出多项式乘法或分解因式新途径.
例如，选用正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一种如图②长方形，计算它面积，写出对应等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.
问题探索：
（1）小明想用拼图措施解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2 ， 那么需要两种正方形纸片________张，长方形纸片________张；
（2）选用正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一种如图③长方形，计算图③面积，并写出对应等式；
（3）试借助拼图措施，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼图形画在虚线方框3内.
3．若一种数能表达成某个整数平方形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数.例如：0＝02 ， 1＝12 ， 4＝22 ， 9＝32 ， 16＝42 ， 25＝52 ， 36＝62 ， 121＝112….
（1）若28+210+2n是完全平方数，求n值.
（2）若一种正整数，它加上61是一种完全平方数，当减去11是另一种完全平方数，写出所有符合正整数.
4．（探究）如图1，边长为a大正方形中有一种边长为b小正方形，把图1中阴影部分拼成一种长方形（如图2所示）

（1）通过观测比较图2与图1中阴影部分面积，可以得到乘法公式________.（用含a，b等式表达）

（2）（应用）请应用这个公式完毕下列各题：
①已知4m2＝12+n2 ， 2m+n＝4，则2m﹣n值为________.
②计算：2﹣×.________
（3）（拓展）计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12.
5．【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反变形.怎样把二次_一项式ax2+bx+c进行因式分解呢?我们已经懂得，(a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2.反过来，就得到：a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
我们发现，二次项系数a分解成a1a2 ， 常数项c分解成c1c2 ， 并且把a1 ， a2 ， c1 ， c2 ， 如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1 ， 假如a1c2+a2c1值恰好等于ax2+bx+c一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1 ， c1位于图上一行，a2 ， c2位于下一行.
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而协助我们把二次三项式分解因式措施，一般叫做“十字相乘法”.
例如，将式子x2-x-6分解因式详细环节为：首先把二次项系数1分解为两个因数积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数积，即-6=2×（-3)；然后把1，1，2，-3按图②所示摆放，按对角线交叉相乘再相加措施，得到1×(-3)+1×2=-1，恰好等于一次项系数-1，于是x2-x-6就可以分解为(x+2)(x-3).

（1）请同学们认真观测和思考，尝试在图③虚线方框内填入合适数，并用“十字相乘法”分解因式：x2+x-6=________.
（2）【理解与应用】
请你仔细体会上述措施，并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
Ⅰ.2x2+5x-7=________；
Ⅱ.6x2-7xy+2y2=________ .
（3）【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f有关x，y二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解.如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，假如mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
Ⅰ.分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4=________ .
Ⅱ.若有关x，y二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24 可以分解成两个一次因式积，求m值.________
Ⅲ.已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1，请写出一组符合题意x，y值.________
6．观测下列一组等式，然后解答背面问题
，
，
，

（1）观测以上规律，请写出第 个等式：________ 为正整数）．
（2）运用上面规律，计算：
（3）请运用上面规律，比较 与 大小．
7．效学活动课上老师准备了若干个如图1三种纸片，A种纸片是边长为a正方形，B种纸片是边长为b正方形，C种纸片是长为b，宽为a长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2大正方形．

（1）请用两种不一样措施求图2大正方形面积．
措施1：________，
措施2：________；
（2）观测图2，请你写出代数式：（a+b）2 ， a2+b2 ， ab之间等量关系________；
（3）根据（2）题中等量关系，处理如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab值；
②已知（-a）2+（a-）2=5，求（-a）（a-）值．
8．假如一种正整数能表达为两个持续奇数平方差，那么我们称这个正整数为“友好数”，如8=32-12 ， 16=52-32 ， 24=72-52 ， 因此，8，16，24这三个数都是“友好数”．
（1）在32，75，80这三个数中，是友好数是________；
（2）若200为友好数，即200可以写成两个持续奇数平方差，则这两个持续奇数和为________；
（3）小鑫通过观测发现以上求出“友好数”均为8倍数，设两个持续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“友好数是8倍数”这个结论与否符合题意．
9．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现运用图①中三种材料各若干可以拼出某些图形来解释某些等式，例如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ．

（1）图③可以解释为等式：________．
（2）图④中阴影部分面积为________．观测图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间等量关系是________．
（3）如图⑤，小明运用7个长为b，宽为a长方形拼成如图所示大长方形；
①若AB＝4，若长方形AGMB面积与长方形EDHN面积差为S，试计算S值（用含a，b代数式表达）
②若AB为任意值，且①中S值为定值，求a与b关系．
10．若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2值；
解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，
因此（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，
请仿照上面措施求解下面问题

（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2值；
（2）已知正方形ABCD边长为x，E，F分别是AD，DC上点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分面积．
11．借助图形直观，感受数与形之间关系，我们常常可以发现某些重要结论．
初步应用

（1）①如图1，大长方形面积可以当作4个小长方形面积之和，由此得到多项式乘多项式运算法，则________（用图中字母表达）
②如图2，借助①，写出一种我们学过公式：________（用图中字母表达）
（2）深入探究
仿照图2，构造图形并计算（a+b+c）2
（3）拓展延伸
借助以上探究经验，处理下列问题：
①代数式（a1+a2+a2+a3+a4+a5）2展开、合并同类项后得到多项式项数一共有________项；
②若正数x、y、z和正数m、n、p，满足x+m=y+n=z+p=t，请通过构造图形比较px+my+nz与t2大小（画出图形，并阐明理由）；
③已知x、y、z满足x+y+z=2m，x2+y2+z2=2n，xyz=p，求x2y2+y2z2+x2z2值（用含m、n、P式子表达）
12．提出问题：“周长一定长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”
探究发现：如图所示，小敏用4个完全相似、邻边长度分别为a、b长方形拼成一种边长为（a+b）正方形（其中a、b和不变，但a、b数值及两者大小关系都可以变化）.仔细观测拼图，我们发现，假如右图中间有空白图形F，那么它一定是正方形

（1）空白图形F边长为________；
（2）通过计算左右两个图形面积，我们发现（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间存在一种等量关系式.
①这个关系式是________；
②已知数x、y满足：x+y＝6，xy＝ ，则x﹣y＝________；
问题处理：
问题：“周长一定长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”
①对于周长一定长方形，设周长是20，则长a和宽b和是________面积S＝ab最大值为________，此时a、b关系是________；
②对于周长为L长方形，面积最大值为________.
活动经验：
周长一定长方形，当邻边长度a、b满足________时面积最大.

【参照答案】***试卷处理标识，请不要删除

一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题

1．（1）
（2）a2+b2+2ab=(a+b)2
（3）解：能拼成长方形.
如图.（不止一种）画图对得分.

等式： 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) .
（等式左右两边互换不扣分）
解析： （1）
（2）
（3）解：能拼成长方形.
如图.（不止一种）画图对得分.

等式： .
（等式左右两边互换不扣分）
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2 ， 图1阴影部分面积为S2= ， 根据展开前后图形面积相等得到S1=S2 ， 因此  ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4面积S4=(a+b)2,由于图4为图3四个图形拼成，因此S3=S4 ， 即 ；
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出长方形面积S=(a+b)(2a+b)，由于画出长方形为图5六个图形拼成，因此S5=S， 即  .
2．（1）3；3
（2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b
∴面积S=（a+3b）（a+b）
又∵大长方形由三个大正方形，一种小正方形和四个小长方形构成
∴面积S=a2+4ab+3b2
∴a2

解析： （1）3；3
（2）解：∵大长方形长为a+3b，宽为a+b
∴面积S=（a+3b）（a+b）
又∵大长方形由三个大正方形，一种小正方形和四个小长方形构成
∴面积S=a2+4ab+3b2
∴a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）
（3）解：∵由2b2+5ab+2a2可知
大长方形由两个小正方形和两个大正方形以及五个长方形构成，如图
∴2b2+5ab+2a2=（2b+a）（b+2a）.

【解析】【解答】（1）∵（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2；
∴拼图需要两个小正方形，一种大正方形和三个小长方形
∴需要3个正方形纸片，3个长方形纸片.
【分析】（1）根据多项式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可发现矩形有两个小正方形，一种大正方形和三个小长方形.（2）正方形、长方形硬纸片一共八块，面积等于长为a+3b，宽为a+b矩形面积.因此a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）（3）正方形、长方形硬纸片共9块，画出图形，面积等于长为a+2b，宽为2a+b矩形面积，则2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）
3．（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2 ，
∴若28＝a2 ， 210＝b2 ，
则a＝24 ， b＝25 ， 2n＝2ab＝210 ， 解得：n＝10
若28＝a2

解析： （1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2 ，
∴若28＝a2 ， 210＝b2 ，
则a＝24 ， b＝25 ， 2n＝2ab＝210 ， 解得：n＝10
若28＝a2 ， 210＝2ab，
因此b＝25 ，
则2n＝b2＝210 ，
解得：n＝10，
若210＝a2 ， 28＝2ab，
因此b＝22 ，
则2n＝b2＝24 ，
解得：n＝4，
因此n＝4或n＝10；
（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2 ， x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数），
则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，
故a+b）（a﹣b）＝72，
由于a+b与a﹣b同奇偶，
故 或 或者 ，
当 时,
解得： ，
∴x＝b2+11＝60；
当 时，
解得： ，
∴x＝b2+11＝300；
当 时，
解得： ，
∴x＝b2+11＝20.
因此所有符合正整数是20、60或300.
【解析】【分析】（1）直接运用a²+2ab+b²=(a+b) ²,分别使每一项与公式对应即分3种状况求出n值即可；（2）根据题意，设正整数为x,则x+61=a²,x-11=b²,进而得出有关a,b等式，再分别讨论求出答案即可.
4．（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

（2）3；解2﹣×
＝2﹣（+1）×（﹣1）
＝2﹣（2﹣1）
＝2﹣20
解析： （1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）3；解：2﹣×
＝2﹣（+1）×（﹣1）
＝2﹣（2﹣1）
＝2﹣2+1
＝1
（3）解：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
＝（100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+…+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1）
＝100+99+98+97+…+4+3+2+1
＝5050
【解析】【解答】解：（1）探究：图1中阴影部分面积a2﹣b2 ， 图2中阴影部分面积（a+b）（a﹣b），
因此，得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.
（2）应用：①由4m2＝12+n2得，4m2﹣n2＝12
∵（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2
∴2m﹣n＝3
故答案为3.
【分析】探究：将两个图中阴影部分面积分别表达出来，建立等式即可；
应用：①运用平方差公式得出（2m+n）•（2m+n）＝4m2﹣n2 ， 代入求值即可；②可将×写成（+1）×（﹣1），再运用平法差公式求值；
拓展：运用平方差公式将1002﹣992写成（100+99）×（100﹣99），以此类推，然后化简求值.
5．（1）(x+3)(x-2)
（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)
（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵有关x，y二元二次式x2+7xy-18y2-
解析： （1）(x+3)(x-2)
（2）(x-1)(2x+7)；(2x-y)(3x-2y)
（3）(x+2y-1)(3x-y+4)；解：如图，

∵有关x，y二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式积，
∴存在其中1×1=1，9×(-2)=-18，(-8)×3=--24；
而7=1×(-2)+1×9，-5=1×(-8)+1×3，
∴m=9×3+(-2)×(-8)=43或m=9×(-8)+(-2)×3=-78.
故m值为43或者-78.
；x=-1，y=0(答案不唯一)
【解析】【解答】（1）  将式子x 2 -x-6分解因式详细环节为：首先把二次项系数1分解为两个因数积，即1=1×1，把常数项-6也分解为两个因数积，即-6=3×（-2)；然后把1，1，3，-2按下图所示摆放，按对角线交叉相乘再相加措施，得到1×(+3)+1×(-2)=-1，恰好等于一次项系数1，于是x 2+ x-6就可以分解为(x+3)(x-2).

（2）根据基本原理，同样得出十字交叉图：
Ⅰ.               II.

∴ 2x2+5x-7= (x-1)(2x+7),  6x2-7xy+2y2=(2x-y)(3x-2y);
（3） Ⅰ. 根据 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 分解因式基本原理得如图所示双十字交叉图：

因此 3x2+5xy-2y2+x+9y-4= (x+2y-1)(3x-y+4) ；
Ⅱ

如图：x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成(x-2y+3)(x+9y-8),或分解成：(x-2y-8)(x+9y+3),
因此m=43或-78.
III.x2+3xy+2y2+2x+3y=-1, 得 x2+3xy+2y2+2x+3y+1=0,

如图所示：得(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴ x+2y+1=0，或x+y+1=0， 或 x+2y+1=0且x+y+1=0
∴如当x=-1时，y=0,或x=3,y=-4等均可使上式成立。
【分析】（1）根据题给基本原理分步解答，即左侧相乘等于二次项，右侧相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于中间项，最终得出如图所示十字交叉成果。
（2）根据十字相乘法原理画出十字相乘图，就能得出分解因式成果。
（3）I.对于双十字相乘法，同样也模仿十字相乘法根据其基本原理，分步解答，画出双十字交叉图，根据原理验证各项系数，得出因式分解结论。
II.y项系数不定，先根据双十字相乘法画出双十字相乘图，在满足其他项系数前提下，再算m项系数。
III.先根据双十字相乘原理分解因式，要使二元二次式等于零，只要一种因式等于即可，因此符合条件答案不唯一。
6．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1
（2）解：原式
（3）解： ， ，
119+18<118+17 ，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n
解析： （1）
（2）解：原式
（3）解： ， ，
，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 个等式为 ；
故答案为：
【分析】（1）根据已知等式，可得第 个等式为 ；
（2）运用分母有理化先化简，然后根据二次根式加减计算即得；
（3）先求出 大小，从而得出结论. 
7．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+
解析： （1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴[（-a）+（a-）]2=（-a）2+（a-）2+2（-a）（a-），
即1=5+2（-a）（a-）
∴（-a）（a-）=-2．
【解析】【解答】解：措施1：S=（a+b）2 ，
措施2：S=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2 ， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab
【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解
8．（1）32；80
（2）100
（3）证明：∵ ,
∴“友好数是8倍数”这个结论是对．
【解析】【解答】解：（1）由“友好数”定义，设这两个持续奇数分别为 2n+1 ， ，
解析： （1）32；80
（2）100
（3）证明：∵ ,
∴“友好数是8倍数”这个结论是对．
【解析】【解答】解：（1）由“友好数”定义，设这两个持续奇数分别为 ， ，
则友好数可表达为： ，（其中 表达正整数）
∴“友好数”就是8正整数倍，
∴32，80是友好数，75不是友好数，且32=92-72 ， 80=212-192 ，
故答案为：32；80.（2）∵ 200，即 200，
∴ ，
∴ ， ，
∵49+51=100，
∴这两个持续奇数和为100，
故答案为：100.
分析】（1）根据“友好数”定义，设出一般状况，看友好数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是友好数；（2）用字母表达两个持续奇数与友好数，由友好数是200，列出方程，解出即得到这两个持续奇数，从而可以求得这两个持续奇数和；（3）用字母表达两个持续奇数与友好数，通过化简，可以证明结论成立．
9．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2
（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB面积与长方形EDHN面积差为S，
解析： （1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2
（2）（a﹣b）2；a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB面积与长方形EDHN面积差为S，
∴大长方形面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S，
∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；
②设AB＝m，
∴大长方形面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S，
∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），
∵若AB为任意值，且①中S值为定值，
∴3a＝b.
【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；
故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；
（ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2 ，
根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为（a﹣b）2 ， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大长方形面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②设AB=m，大长方形面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0；
10．（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，
a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=1
解析： （1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，
a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17；
（2）解：∵正方形ABCD边长为x，

∴DE=x-2，DF=x-4，
设x-2=a，x-4=b，
则S正方形EMFD=ab=63，a-b=（x-2）-（x-4）=2，
那么（a+b）2=（a-b2+4ab=256，得a+b=16，
∴（x-2）2-（x-4）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=32．
即阴影部分面积是32．
【解析】【【分析】（1）设（9-x）=a，（x-4）=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表达出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
11．（1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：已知大正方形边长为a+b+c，

运用图形3面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c
解析： （1）（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：已知大正方形边长为a+b+c，

运用图形3面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（3）①15
②如图4，由图形得：px+my+nz＜t2；

③∵x+y+z=2m，
∴x2+y2+z2+2xz+2xy+2yz=4m2 ，
∵x2+y2+z2=2n，
∴2xz+2xy+2yz=4m2-2n，
∵xz+xy+yz=2m2-n，
∴（xz+xy+yz）2=x2y2+y2z2+x2z2+2x2yz+2y2xz+2z2xy=（2m2-n）2 ，
∴x2y2+y2z2+x2z2=4m4-4m2n+n22xyz（x+y+z）=4m4-4m2n+n2-2p•2m=4m4-4m2n+n2-4pm．
【解析】【解答】解：（1）①如图1，得（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，
②如图2，由②得：（a+b）2=a2+2ab+b2 ，
故答案为①（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，②（a+b）2=a2+2ab+b2；
（ 3 ）①（a1+a2）2=a12+a22…2项
+2a1a2….1项
因此一共有2+1=3项；
（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32…3项
+2a1a2+2a1a3…2项
+2a2a3…1项
因此一共有3+2+1=6项；
（a1+a2+a3+a4）2=a12+a22+a32+a42…4项
+2a1a2+2a1a3+2a1a4…3项
+2a2a3+2a2a4…2项
+2a3a4…1项
因此一共有4+3+2+1=10项；
（a1+a2+a3+a4+a5）2=a12+a22+a32+a42+a52…5项
+2a1a2+2a1a3+2a1a4+2a1a5…4项
+2a2a3+2a2a4+2a2a5…3项
+2a3a4+2a3a5…2项
+2a4a5…1项
因此一共有5+4+3+2+1=15项；
故答案为15；
【分析】（1）①根据长方形面积可得结论；②图中大正方形面积可以用正方形面积公式来求，也可把正方形提成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立；（3）①分别计算两个数平方，三个数平方，…，得出规律即可求出答案；②画图4可得结论；③先将x+y+z=2m两边同步平方得：xz+xy+yz=2m2-n，继续平方后化简可得结论．
12．（1）a﹣b
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；116 L2；a＝b
【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F边长为：a﹣b，
故答案为：a﹣b；
解析： （1）a﹣b
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b； L2；a＝b
【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F边长为：a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（ 2 ）①左图形面积为：2a×2b＝4ab，
右图形面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
即：62﹣（x﹣y）2＝4× ，
∴（x﹣y）2＝25，
∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5，
故答案为：5或﹣5；
问题处理：
解：①∵长方形周长是20，
∴2（a+b）＝20，
∴a+b＝10，则b＝10﹣a，
∴面积S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25，
∴a＝5时，S＝ab最大值为25，
此时a、b关系是a＝b，
故答案为：10，25，a＝b；
②对于周长为L长方形，
设一边长为a，则邻边长为 ﹣a，
∴面积 ；
∴面积最大值为 L2；
故答案为： L2；
活动经验：
解：周长一定长方形，当邻边长度a、b满足a＝b时面积最大；
故答案为：a＝b.
【分析】探究发现（1）由图可知：空白图形F边长为：a-b；（2）①由矩形性质得出左图形面积为：2a×2b=4ab，由正方形性质得出右图形面积为：（a+b）2-（a-b）2 ， 即可得出答案；②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；问题处理①由长方形性质得出a+b=10，面积S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函数性质即可得出答案；②由长方形性质得出面积 ；由二次函数性质即可得出答案；活动经验根据前面问题即可得出结论.