2024年中考数学（山西）第三次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第三次模拟考试（山西卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．这是2024年3月某日的气温实施预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差值为（    ）

A． B． C． D．
2．国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）
A．   B． C．   D．  
3．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（   　）
（1）
（2）
（3）  
（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
4．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（    ）

A． B．
C． D．
5．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
6．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（    ）
A． B． C． D．
7．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ）

A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
8．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（    ）

A．6 cm B．8 cm
C． D．
9．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：
甲公司
一星期内送出的前瓶牛奶，每瓶牛奶元，此后，每多送一瓶每瓶多元．
乙公司
底薪元．此外，每送出一瓶牛奶将额外有元．
小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是（  ）
A． B．
C． D．
10．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（    ）mm．

A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果是 ．
12．如图所示，未来公园的广场背景墙上有一系列用灰砖和白砖铺成的图案，图①有1块灰砖，8块白砖；图②有4块灰砖，12块白砖；以此类推．若某个图案中有49块灰砖，则此图案中有 块白砖．

13．“中国古村看吕梁，吕梁景点甲天下”．在“我可爱的家乡”主题班会中，老师准备了A“九曲黄河第一镇”碛口古镇，B“三晋第一名山”北武当山，C“群峰环列同卦象”的卦山D“中国佛教净土宗”发源地悬中寺，这四个特色古村的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同学从中随机抽取一张不放回，乙同学再从剩下的照片中随机抽取一张，然后甲、乙根据抽取的照片对古村作相关介绍．则两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的概率是 ．

14．如图，已知的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为 ．

15．如图是一张菱形纸片，点E，F分别在边上，将纸片分别沿着与折叠，使D与B落在对角线上点G处，若恰好，则 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
小刚的解题过程如下：

第一步
第二步
．第三步
请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是①__________（写出用字母a，b表示的乘法公式）；
小颖说他的步骤中有错误，并指出第②_______步出现了错误；
请用小刚的思路给出这道题的正确解法．
17．（7分）【调查活动】
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，
随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少．
【交流质疑】
小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．
(1)【问题解决】
聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
(2)【解后反思】
以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？
18．（8分）为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图②所示．
图表①

几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75

(1)图②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
(2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
(3)张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
19．（8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西临县文峰塔，塔为楼阁式塔，塔基是用当地山上石头，细凿成石块砌成，塔身为砖结构，塔八角九级，每级四个窗口，十字对开，可谓八面来风。登塔远眺，县城风光一览无余，湫川风景尽收眼底。某综合与实践小组开展了测量文峰塔塔身的高度项目化学习活动，活动报告如下：
项目主题
测量文峰塔塔身的高度
活动目的
经历项目化活动过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题，运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测工具
示意图

测量步骤
如图：（1）利用测角仪在塔底D处测得文峰塔顶点A的仰角为；
（2）利用测角仪在塔底C处测得的文峰塔顶点A的仰角为；
（3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为2m（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为2m），
利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）
请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身的高度．（结果取整数．参考数据：）
20．（9分）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．
【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：．
小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决．

(1)【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______；
(2)【尝试应用】
如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________；
(3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值．
21.（8分）项目化学习
为提高学生的劳动技能和实践水平，某学校经过多方努力，准备用栅栏围建一块的劳动实践基地，并向全校发布了基地设计方案征集公告．为此，九年级（1）班开展了“我为创建劳动实践基地建言献策”的项目化学习．在进行“任务一：规划实践基地形状”时，“智慧小组”欲将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．这样的设计合理吗？也就是，是否存在满足学校所给条件的矩形呢？该小组的同学们积极思索，想到了如下解决方法：
【问题解决】
慧慧的思路是：利用一元二次方程解决．假设存在这样的矩形，设矩形的其中一条边长为，根据题意，可得到一个一元二次方程，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．
敏敏的思路是：利用函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得，，满足要求的可以看作是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内的交点坐标．于是，可以通过看函数图象中是否有这样的交点确定矩形的存在性．

(1)请你分别按照以上两位同学的思路解决问题：是否存在满足学校所给条件的矩形？
(2)在解决问题（1）的过程中，你获得什么启示？（写出一点即可）
22．（12分）综合与实践
【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．

【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．
请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求的长．
23．（13分）综合与探究：
如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若．求的值；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于点．点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

2024年中考第三次模拟考试（山西卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．这是2024年3月某日的气温实施预测情况，则通过预测图可知，下午5时的气温和此时气温的相对差值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数减法的应用，直接根据有理数减法的运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】下午5时的气温是，此时气温为
下午5时的气温和此时气温的相对差值为
故选D．
2．国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）
A．   B． C．   D．  
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下列是一位同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题10分，满分40分，那么他的测试成绩是（   　）
（1）
（2）
（3）  
（4）
A．40分 B．30分 C．20分 D．10分
【答案】B
【分析】本题考查了整式的乘除运算，熟练掌握整式的乘除运算法则是解答本题的关键，根据整式的乘除运算法则即可逐步判断答案．
【详解】第（1）题，，正确，得10分；
第（2）题，，原题解答错误，得0分；
第（3）题，，正确，得10分；
第（4）题，，正确，得10分；
所以这位同学的测试成绩是30分．
故选B．
4．北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（    ）

A． B．
B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查主视图．主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：B．
5．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，再利用角的和差关系可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．提倡绿色出行，新能源汽车越来越受大家青睐．某品牌新能源汽车店经销商统计了1月份到3月份的销量，该品牌新能源汽车1月份销售25辆，3月份销售36辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，根据1月份及3月份店新能源汽车的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设新能源汽车销量的月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
所以，该品牌新能源汽车销售量的月增长率为，
故选：B．
7．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（    ）

A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选A．
8．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（    ）

A．6 cm B．8 cm
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案．
【详解】解，设与相交于点O，与相交于点．

∵四边形和四边形是菱形，
∴，，，，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴的长需要缩短．
故选：D．
9．两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：
甲公司
一星期内送出的前瓶牛奶，每瓶牛奶元，此后，每多送一瓶每瓶多元．
乙公司
底薪元．此外，每送出一瓶牛奶将额外有元．
小明决定应聘当送奶员，下列正确表示两家公司的周薪计算方式的图是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查函数图象的知识，解题的关键是根据题意，判断出周薪与送奶数量的关系式，即可．
【详解】由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等于瓶是正比例函数，当送奶数量大于瓶是一次函数；
乙甲公司的周薪是送奶数量是一次函数．
∴选项A符合题意．
故选：A．
10．如图，量筒的液面A－C－B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为37mm；仰视点C（点E，C，B在同一直线），记录量筒上点E的高度为23mm，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm，则平视点C，点C的高度为（    ）mm．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．作出图形，证明是的直径，由垂径定理得，求得的直径为14，再根据三角形中位线定理结合勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于点，

∵，
∴是的直径，
由垂径定理得，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为14，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F的高度即点C的高度为，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果是 ．

【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用乘法分配律计算即可．
【详解】原式

，
故答案为：．
12．如图所示，未来公园的广场背景墙上有一系列用灰砖和白砖铺成的图案，图①有1块灰砖，8块白砖；图②有4块灰砖，12块白砖；以此类推．若某个图案中有49块灰砖，则此图案中有 块白砖．

【答案】32
【分析】本题主要考查根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出变化规律的能力，先找到规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，第n个图案中，白色瓷砖的个数为，黑色瓷砖块数为块，即可求解．
【详解】解：根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，
由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，
∴第n个图案中，白色瓷砖的个数为，
根据图形分别得出各个图形中黑色瓷砖的个数分别为1、4、9…，
由此可得出规律：第n个图形中灰色瓷砖的块数为：块，
∴某个图案中有49块灰砖，则该图案为第⑦个图案，即，
∴此图案中有白砖（块）．
故答案为：32．
13．“中国古村看吕梁，吕梁景点甲天下”．在“我可爱的家乡”主题班会中，老师准备了A“九曲黄河第一镇”碛口古镇，B“三晋第一名山”北武当山，C“群峰环列同卦象”的卦山，D“中国佛教净土宗”发源地悬中寺，这四个特色古村的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片大小及背面完全相同）．甲同学从中随机抽取一张不放回，乙同学再从剩下的照片中随机抽取一张，然后甲、乙根据抽取的照片对古村作相关介绍．则两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的概率是 ．

【答案】
【分析】先统计出甲、乙抽取情况的组合数量，再统计出两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的数量，根据概率的公式进行计算即可．
【详解】解：总共有四张照片，
∵甲、乙两个同学抽取的组合总共有：；；；；；；；；；；，总计12种，
当甲、乙两个同学抽取的组合为和时，两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”，
∴两人恰好介绍“碛口古镇”和“北武当山”的概率为：；
故答案为：．
14．如图，已知的面积为12，结合尺规作图痕迹所提供的条件可知，的面积为 ．

【答案】4

【分析】由作图知M，N分别为的中点，利用中位线定理得出，再利用等底同高三角形面积相等得，最后利用相似比得出面积比，即可得解；
【详解】连，由作图知M，N分别为的中点，
∴，
由等底同高三角形面积相等得
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：4

15．如图是一张菱形纸片，点E，F分别在边上，将纸片分别沿着与折叠，使D与B落在对角线上点G处，若恰好，则 ．

【答案】
【分析】连接, 设 , 根据 ，可得的值， 再利用 ，得，进而解决问题.
【详解】如图, 连接,

设
，
，
，
，
，
，
∵四边形是菱形,
∴,
即,
解得,
∴,,
∴,,
∴,
设,,
则,
∵, ,
∴,
，即
整理得
，
化简得
则
解得
，
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）因式分解：．
小刚的解题过程如下：

第一步
第二步
．第三步
请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是①__________（写出用字母a，b表示的乘法公式）；
小颖说他的步骤中有错误，并指出第②_______步出现了错误；
请用小刚的思路给出这道题的正确解法．
【答案】（1）；（2）①，②二，正确解法见解析
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序，以及因式分解的方法和步骤．
（1）先将0次幂，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据平方差公式，将第二个括号进行因式分解，再提取公因式即可．
【详解】（1）解：

；
（2）解：①小刚同学第一步变形用到的乘法公式是，
故答案为：；
②第二步有错，
故答案为∶二；
这道题的正确解法如下：

．
17．（7分）【调查活动】

小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，
随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少．
【交流质疑】
小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．
(1)【问题解决】
聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
(2)【解后反思】
以上解题的过程，很好地诠释了方程在解决实际问题中的作用，这充分体现了什么数学思想？
【答案】(1)见解析
(2)方程思想
【分析】（1）问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可；
（2）这充分体现了方程思想，即可．
【详解】（1）解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设：乙校的人数为x人．根据题意可列方程：

解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
人 ，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程：

解得：
经检验，是原方程得解，且符合题意，
册                    
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
（2）解后反思：方程思想
18．（8分）为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行．
环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分；
环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分
评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示．
图表①

几何直观
推理能力
创新意识
应用意识
运算能力
模型观念
评分
85
90
90
80
70
75

(1)图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________．
(2)如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分．
(3)张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率．
【答案】(1)90；
(2)
(3)
【分析】本题考查了众数、中位数，列表法或画树状图求概率．
（1）根据众数和中位数的定义求解；
（2）根据图表①，利用加权平均数即可求解；
（3）画出树状图即可求解．
【详解】（1）解：由图表②知，90出现的次数最多，故众数为90；
中位数为：；
故答案为：90；；
（2）解：；
答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为；
（3）解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下：

共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种，
则抽到推理能力、模型观念的概率为：．
19. （8分）修建于清乾隆二年（1737年）的山西临县文峰塔，塔为楼阁式塔，塔基是用当地山上石头，细凿成石块砌成，塔身为砖结构，塔八角九级，每级四个窗口，十字对开，可谓八面来风。登塔远眺，县城风光一览无余，湫川风景尽收眼底。某综合与实践小组开展了测量文峰塔塔身的高度项目化学习活动，活动报告如下：
项目主题
测量文峰塔塔身的高度
活动目的
经历项目化活动过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题，运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测工具
示意图

测量步骤
如图：（1）利用测角仪在塔底D处测得文峰塔顶点A的仰角为；
（2）利用测角仪在塔底C处测得的文峰塔顶点A的仰角为；
（3）利用皮尺测量每个台阶的高度计算出两处台阶的高度均为2m（即点B和点C，点C和点D的垂直距离均为2m），
利用皮尺测量每个台阶的宽度及点C和点D到台阶边缘的距离计算出点C和点D的水平距离为18m（已知A、B、C、D、E均在同一平面内）
请运用所学知识，根据上表中的数据，计算文昌阁阁身的高度．（结果取整数．参考数据：）
【答案】43m
【分析】过点作于点于点，则四边形是矩形．设，则，AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
再求得，得到x+2≈1.54x(x-18)
解方程即可得到文峰塔塔身的高度．
【详解】解：过点作于点于点，如图所示，则四边形是矩形．

∴．
由题意，可知．BG=GE=CH=2 DH=18, ∠ADE=45°,∠ACG=57°
设，则AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4
．∵，
∴DE=AE=x+4，
∴． CG=HE=DE-DH=x-14
在中，∵，
∴，即x+2~1.54x(x-14)
解得x≈43.6．
答：文峰塔塔身的高度约为43.6m．
20．（9分）【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．
【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：．
小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决．

(1)【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______；
(2)【尝试应用】
如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________；
(3)如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案；
对于（2），平移至，根据勾股定理可得是直角三角形，进而求出，根据平行线的性质得出答案；
对于（3），平移至，根据勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根据平行线的性质得出答案．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，且，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌．
故答案为：；
（2）将平移至，
设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，，
∴，且，
∴是直角三角形，且，
∴．
∵，
∴．
故答案为：；

（3）将平移至，
设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，
∴，，，
∴是直角三角形，且，
则．
∵，
∴，
∴．

21.（8分）项目化学习
为提高学生的劳动技能和实践水平，某学校经过多方努力，准备用栅栏围建一块的劳动实践基地，并向全校发布了基地设计方案征集公告．为此，九年级（1）班开展了“我为创建劳动实践基地建言献策”的项目化学习．在进行“任务一：规划实践基地形状”时，“智慧小组”欲将基地设计为矩形，以便分割区域进行种植．这样的设计合理吗？也就是，是否存在满足学校所给条件的矩形呢？该小组的同学们积极思索，想到了如下解决方法：
【问题解决】
慧慧的思路是：利用一元二次方程解决．假设存在这样的矩形，设矩形的其中一条边长为，根据题意，可得到一个一元二次方程，通过判断方程是否有解即可确定是否存在这样的矩形．
敏敏的思路是：利用函数图象解决．假设存在这样的矩形，设矩形相邻两边长分别为，，可得，，满足要求的可以看作是反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内的交点坐标．于是，可以通过看函数图象中是否有这样的交点确定矩形的存在性．

(1)请你分别按照以上两位同学的思路解决问题：是否存在满足学校所给条件的矩形？
(2)在解决问题（1）的过程中，你获得什么启示？（写出一点即可）
【答案】(1)存在，见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程以及函数的图像性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据两种思路分别计算即可；
（2）根据题意进行总结即可．
【详解】1）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为和，
根据题意，可得，
化简，得．
在这里，，，
．
原方程有实数根．
存在满足学校所给条件的矩形．
解法二．假设存在这样的矩形，其相邻两边长分别为，，则，，
在同一直角坐标系中，的图象如下：

因为两个函数图象有交点，所以存在满足学校所给条件的矩形．
（2）解：答案不唯一，如：方程和函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是解决数学问题的一种常用思想方法；方程和函数之间有着密切的联系等．
22．（12分）综合与实践
【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．

【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．
请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证；
（2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证；
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可．
【详解】（1）证明：∵正方形
∴，
∵将沿折叠，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
在和中

∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2），选择图2进行证明．
将沿折叠，
则，∴，
∵，
∴，

∴，
∴，而E为中点，
∴，
∴．
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2，

∵，E为中点，
∴，而
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∵，
∴；
第二种情况，当点P在点H右侧，如图3，

同理可求，此时，
∵，
∴ ，
∴，
同理可得，
∴，
∴，∵，
∴．
综上所述，或．
23． （13分）综合与探究：
如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若．求的值；
（3）如图2，过点作轴交抛物线于点．点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）m的值为或；（3）点N的坐标为(，)或(，)或(，)．
【分析】（1）先求得点B、C的坐标，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）先求得，∠ABP，设直线BP交轴于E，利用待定系数法求得直线BE的解析式，解方程组即可求解；
（3）根据菱形的性质，分①当CN为对角线、②DN为对角线、③CD为对角线三种情况讨论，根据图形分别求解即可．
【详解】（1）∵一次