2024年中考数学（南通）第二次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第二次模拟考试（南通卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是    ）
A．2023 B． C． D．
2．下列运算，正确的是（   ）
A． B． C． D．
3．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
4．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（    ）

A． B． C． D．
5．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
6．若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）
A． B． C． D．
7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，设学生有x人，树苗有y棵，根据题意可列出方程组（   ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（    ）

A．5 B．8 C． D．
10．已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）
A．24 B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式 ．
12．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为 ．
13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是 ．

14．如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是 ．
15．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为

16．已知扇形的面积为，弧长为，将它围成一个圆锥，则该圆锥的高是 ．
17．如图所示，在正方形中，，点为射线上一动点，连接，取其中点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值为 ．

18．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）解方程或不等式组：
(1)
(2)解不等式组，并把解集表示在数轴上．
20．（10分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
21．（10分）在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．

(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______；
(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；
(3)随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值．
22．（10分）拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．

23．（10分）如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为求图中阴影部分的面积．
24．（12分）某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．

(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)推广销售的第三个月利润为多少？
(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
25．（13分）如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．

(1)补全图形，求的大小；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)连接G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．
26．（13分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．
（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；
（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．

2024年中考第二次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
一、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（    ）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：的相反数是2023．
故选A．
2．下列运算，正确的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；    
C. ，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，
故选：A．
5．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：延长 到点C，如图：

，
，
，
∵，
∴
，
，
故选：B．
6．若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；
C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意；
D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意．
故选：C．
7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，设学生有x人，树苗有y棵，根据题意可列出方程组（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设学生有人，树苗有棵，根据题意可列出方程组：
，
故正确．
故选：A．
8．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵关于x的不等式组
∴，得
，得
∵解集为
根据小小取小
∴
故选：C
9．如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（    ）

A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【解析】解∶因为P点是从A点出发的，A为初始点，
观察图象时，则，P从A向B移动的过程中，是不断增加的
而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，
此时，
即，，

由勾股定理得：
解得：

当点P为中点时，，
．
故选：D．
10．已知实数m，n满足，则的最大值为（    ）
A．24 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：

；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式 ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
12．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为 ．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是 ．

【答案】8
【解析】解：由题意知：入射光线与反射光线，，
又，
，
所以
即，
解得米．
故答案为：8
14．如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】9
【解析】解：设这个多边形的边数为，依题意得：
，
解得，
这个多边形的边数为9．
故答案为：9．
15．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为

【答案】
【解析】解：在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
16．已知扇形的面积为，弧长为，将它围成一个圆锥，则该圆锥的高是 ．
【答案】8
【解析】解：设母线长为R，由题意得： ，
解得．
设圆锥的底面半径为r，则，
解得：，
故圆锥的高为：，
故答案为：8．
17．如图所示，在正方形中，，点为射线上一动点，连接，取其中点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值为 ．

【答案】
【解析】解：设交于点，
由折叠的性质得，，，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴点的轨迹为直线右侧5个单位的平行线，
作关于直线的对称点，如图所示，

此时，，
则最小值为，
即最小值，
故答案为：．
18．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ．

【答案】 16 /
【解析】解：，
，
，
，
．
过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示

则．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
又∵
∴，
，，
，
，
，
，
解得．
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．解方程或不等式组：
(1)
(2)解不等式组，并把解集表示在数轴上．
【解析】（1）解：

经检验：是原方程的解；
（2）解：
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为；
在数轴上表示如图所示：

20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．
(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【解析】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；
（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
21．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．

(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______；
(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；
(3)随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值．
【解析】（1）解：（人），
（人），
，
故答案为：；
（2）解：由统计图可得平均数为本，
被调查同学阅读量的平均数为8.7本，
该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，
阅读量的中位数为（本）
（3）解：原来阅读量的众数为9本
，解得，
为正整数，
的最大值为3．
22．拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．

【解析】解：连接，作的垂直平分线，以点C为圆心，以长的一半为半径画弧交的垂直平分线于点M，如图所示，点M即为所求．

23．如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）解：直线是的切线，
理由：连接，，
∵直线l与相切于点M，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
为直径，
∴直线是的切线；
（2过点O作于点N，

∵，
∴，
即，
又∵，则，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，则，
∴图中阴影部分的面积为：．
24．某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．

(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)推广销售的第三个月利润为多少？
(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）解：设与的函数关系式，代入得

解得

将代入得
或（舍去）
；
（2）设第个月的利润为元，则

当时，，
故第个月的利润为元；
（3）由（2）知，
当时，有最大值为元，
答：第个月利润最大，最大利润为元．
25．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．

(1)补全图形，求的大小；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．
【解析】（1）解：补全图形如图1，

∵线段与关于直线对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为；
（2）解：，证明如下：
如图2，连接，，连接交于，

由对称的性质可得，，，，
∴ ，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）解：如图3，连接，，交点为，

由正方形的性质可得，，为的中点，
∴，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，
∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，
∴当三点共线时，最大，
∴，
∴最大值为．
26．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．
（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；
（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；
（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．
【解析】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵1≤x≤3，
∴k﹣1≤y≤3k﹣1，
∵函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“k属和合函数”，
∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），
∴k＝4；
当k＜0时，y随x的增大而减小，
∴3k﹣1≤y≤k﹣1，
∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），
∴k＝﹣4，
综上所述，k的值为4或﹣4；
（2）∵反比例函数y＝，k＞0，
∴在第一象限，y随x的增大而减小，
当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，
∴﹣＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，
∴a﹣b＝﹣；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，
∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，
当x＝1时，y＝2+2a，
当x＝a时，y＝a2+3，
①如图1，当a≤﹣1时，
当x＝﹣1时，有y最大值＝2﹣2a，
当x＝1时，有y最小值＝2+2a
∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，
∴k＝﹣2a，
而a≤﹣1，
∴k≥2；
②如图2，当﹣1＜a≤0时，
当x＝a时，有y最大值＝a2+3，
当x＝1时，有y最小值＝2+2a，
∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，
∴k＝，
∴≤k＜2；
③如图3，当0＜a≤1时，
当x＝a时，有y最大值＝a2+3，
当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，
∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，
∴k＝，
∴＜k≤2；
④如图4，当a＞1时，
当x＝1时，有y最大值＝2+2a，
当x＝﹣1时，有y最小值＝2﹣2a，
∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，
∴k＝2a，
∴k＞2．
综上所述，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，k的取值范围为k≥．