2024年中考数学（湖北武汉）第三次模拟考试（含答案）.docx

2024年中考第三次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）的绝对值是（    ）
A．2024 B． C． D．
2．（本题3分）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．（本题3分）如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（    ）
A．     B．   C．   D．  
4．（本题3分）下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．P与t的函数关系式为 B．当时，
C．当时， D．p随t的增大而减小
6．（本题3分）若，则（    ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，一架飞机在空中处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．（本题3分）如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（本题3分）如图，的直径，，则弦的长为（    ）

A．3 B． C．6 D．
10．（本题3分）已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（    ）
A． B． C．或 D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）计算： ．
12．（本题3分）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快，成效显著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达18500000000美元，将“18500000000”用科学记数法可表示为 ．
13．（本题3分）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
14．（本题3分）如图，在平行四边形中，：：，则： ．

15．（本题3分）下图显示的填数幻方只填了一部分，将下列九个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等．则填“x”格中的数应是 ．

16．（本题3分）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．

18．（本题8分）如图，在△ABC中，，交边BC于点D，点E为边AC的中点，过点A作，交DE的延长线于点F，连结CF．
(1)求证：四边形ADCF是矩形；
(2)若，且，则______．

19．（本题8分）某中学为了解学生对襄阳市“文明城市创建”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于50分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：；；；；，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整．

I．收集、整理数据
七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97．
八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78 ，78，78，78，78，84， 86，88，89．
II．分析数据
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83

a

八年级
81
b
c

III．描述、应用数据
(1)补全频数分布直方图（直接在图中作答）；
(2)统计表格中_______， _______， ________；
(3)从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是______年级（填“七”或“八”）；
(4)若该中学七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为_________人．

20．（本题8分）如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且，连接交于点．

(1)如图1，若，则　 　；
(2)如图2，是延长线上一点，连接，且．
①求证：与相切；
②若的半径为，，求的长．

21．（本题8分）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．

(1)如图1，在边上画点D，使平分，再在线段上画点E，使；
(2)如图2，P是边上一点，先将绕点B逆时针旋转，得到线段，旋转角等于，画出线段，再画点Q，使两点关于直线对称．

22．（本题10分）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间也用篱笆隔开，，墙长．

(1)设，矩形的面积为y ，则y关于x的函数关系式为______，x的取值范围为______．
(2)求矩形面积的最大值，并求出此时的长；
(3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲，乙两种农作物．甲种农作物的年收入（单位：元）和种植面积（单位：）的函数关系式为；乙种农作物的年收入（单位：元）和种植面积S（单位：）的函数关系式为，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求的取值范围．

23．（本题10分）如图，四边形是正方形，点在线段上运动，平分交边于点．过作，交延长线于点，求证：

(1)①；
②；
(2)连接，若正方形的边长为4，．求的长；
(3)延长交延长线于点，若，求此时的值．

24．（本题12分）如图1，抛物线与轴相交于点，直线与轴相交于点，与抛物线有公共点．

(1)求证：直线与抛物线只有唯一的公共点；
(2)过点作轴于点，连接，证明：；
(3)如图2，直线交新抛物线于两点，连接交轴于点． 若，说明直线必过定点，并求此定点的坐标．

2024年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）的绝对值是（    ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2．（本题3分）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】①、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
②、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
③、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
④、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
符合题意的有②④，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
3．（本题3分）如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（    ）
A．     B．   C．   D．  
【答案】C
【分析】根据主视图的定义从前往后看，俯视图的定义从上往下看，即可求解．
【详解】解：A.主视图和俯视图都是矩形，故此项错误；
B.主视图是矩形，俯视图是三角形，故此项错误；
C.主视图是矩形，俯视图是圆，故此项正确；
D. 主视图是三角形，俯视图是含圆心的圆，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了主视图和俯视图的定义，理解定义，会用定义看出几何体的三视图是解题的关键．
4．（本题3分）下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的运算即可求解．
【详解】选项，，错误，不符合题意；
选项，与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
选项，，正确，符合题意；
选项，，错误，不符合题意．
故选．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项的运算，积的乘方的运算，平方差公式的运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
5．（本题3分）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）

A．P与t的函数关系式为 B．当时，
C．当时， D．p随t的增大而减小
【答案】C
【分析】
求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，
设解析式为，
∵过点，
∴，
∴解析式为，故A选项正确，不合题意，
当时，，故B选项正确，不合题意，
当时，，故C选项不正确，符合题意，
∵
∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式．
6．（本题3分）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵，且由题意可得，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等式，完全平方公式，分式求值，熟练掌握等式的性质 ,完全平方公式变形是解题的关键．
7．（本题3分）如图，一架飞机在空中处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】在中，，则的正弦值是的对边与斜边的比值，即可得出的长度．
【详解】解：由题意得，米，
在中，，
∴，
∴（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，需结合三角函数的定义进行求解．
8．（本题3分）如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出．
【详解】解：由作法得垂直平分AD，
，，，
平分，
，
，
∴四边形为菱形，
，
，
，
，
，
解得：，
．
故选：B．
9．（本题3分）如图的直径，，则弦的长为（    ）

A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查圆周角定理和等边三角形的性质．连接，，根据圆周角定理，易求得，由此可得出是等边三角形，已知了圆的直径，即可求出的长．
【详解】
解：连接，，

，，
，，
是等边三角形；
．
故选：A
10．（本题3分）已知点，，，在二次函数的图象上，若，，，四个数中有且只有一个数大于0，则a的取值范围为（    ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】先求出，同理：，，，根据，，，四个数中有且只有一个数大于0，列不等式组，或者，问题随之得解．
【详解】根据题意有
同理：，，，
∵，，，四个数中有且只有一个数大于0，
∴，或者，
解得：，或者，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及不等式的知识，正确求出，，，值，根据题意列出不等式组，是解答本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（本题3分）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（本题3分）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快，成效显著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达18500000000美元，将“18500000000”用科学记数法可表示为 ．
【答案】1.85×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】将“18500000000”用科学记数法可表示为=1.85×1010.
故答案为1.85×1010
【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
13．（本题3分）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
【答案】4
【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【详解】解：∵产品的抽样合格率为，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
14．（本题3分）如图，在平行四边形中，：：，则： ．

【答案】

【分析】根据四边形是平行四边形，可得，，所以，再根据相似三角形判定可知，从而可求．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，

∴
∵
∴
，

故答案是．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出的值．
15．（本题3分）下图显示的填数幻方只填了一部分，将下列九个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等．则填“x”格中的数应是 ．

【答案】8
【详解】将未填各空格标注字母，如下图．

九个已知数的乘积是．
所以，每行、每列、每条对角线上三个数的乘积等于64．
因为乘积等于64，所以从第二列和第三行分别得到．
由此得到，a，c，e，f分别是，，2，4中的某个数．
考虑第一行的乘积，得．
这样一来，x只可能是1或8．
考虑到对角线的乘积，得．
若，则，不可能．
唯一可能是．
故答案为：8．
这时的填法是

16．（本题3分）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据题意可得，从而得到a，b异号，但无法判断c的符号，故①错误；根据题意可得，再由，可得，故②正确；根据题意可得，可得这四个根的和为12，故③正确；④分两种情况讨论，可得④错误．
【详解】解：①∵对称轴为直线，
∴，即，
∴a，b异号，
∴，
∵无法判断c的符号，
是错误的，故①错误；
②由题意知：，
．
，
．
，
，
，
，
．故②正确．
③，
，
当时，，
当时，，
这四个根的和为12，故③正确；
④（i）当时，若随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
的整数值有4个，
，
，
（ii）时，若随x的增大而减小，
，
的整数值有4个，
，
，
综上所述：或，，故④错误．
三、解答题本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题8分）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
【答案】不等式组的解集为：－4＜x≤3，不等式组的最小整数解为－3
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式组的所有整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞－4，
将不等式①，②的解集在数轴上表示为：

所以，不等式组的解集为：－4＜x≤3，
所以，不等式组的最小整数解为－3．
【点睛】考查了一元一次不等式组的解法，分别解不等式，找出解集的公共部分即可．

18．（本题8分）如图，在△ABC中，，交边BC于点D，点E为边AC的中点，过点A作，交DE的延长线于点F，连结CF．
(1)求证：四边形ADCF是矩形；
(2)若，且，则______．

【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用ASA证明，进而先判断四边形ADCF是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形可证得结论．
（2）根据正切函数假设未知数，利用勾股定理表示出未知数之间的关系，根据对应的面积公式建立比值即可．
【详解】（1）证明：

点E为边AC的中点

（对顶角相等）
（ASA）

四边形ADCF是平行四边形．

四边形ADCF是矩形．
（2）解：
设
，且由（1）得四边形ADCF是矩形

在中，
即
化简得：

【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及几何图形面积的比值，熟知矩形的判定定理以及不同图形对应的面积公式是解决本题的关键．
19．（本题8分）某中学为了解学生对襄阳市“文明城市创建”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于50分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：；；；；，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整．

I．收集、整理数据
七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97．
八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78 ，78，78，78，78，84， 86，88，89．
II．分析数据
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83

a

八年级
81
b
c

III．描述、应用数据
(1)补全频数分布直方图（直接在图中作答）；
(2)统计表格中_______， _______， ________；
(3)从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是___年级（填“七”或“八”）；
(4)若该中学七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为_________人．
【答案】(1)见解析；
(2)87；78；78
(3)七
(4)300

【分析】（1）根据七年级测试成绩在组的有8人，补全频数直方图；
（2）根据七年级测试成绩中87分的最多，得到七年级测试成绩的众数是87分，根据八年级学生测试成绩在A组的有2人，在B组的有2人，在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89，得到在C组的有7人，根据2+2+7=11，得到八年级学生测试成绩的中位数是78分，根据E组学生有5人，C组中78分的有6人，得到八年级学生测试成绩的众数是78分；
（3）根据表中的平均数，中位数，众数，方差，七年级的这些数据都好于八年级的，得到测试成绩较好且比较整齐的是七年级；
（4）用300乘以七年级D组E组所占比率，200乘以八年级D组E组所占比率，取和即得．
【详解】（1）解：七年级测试成绩在组的有人，
补全直方图如图所示；
；
（2）解：∵七年级测试成绩中87分的最多，
∴七年级测试成绩的众数是87分，
∵八年级学生测试成绩在A组的有：（人），
在B组的有：（人），
在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，7878，84，86，88，89
∴在C组的有7人，
∴，
∴第10位与第11位学生的成绩位于C组的最后2位，成绩都是78分，
∴八年级学生测试成绩的中位数是78分，
∵E组学生有：（人），C组中78分的有6个，
∴八年级学生测试成绩的众数是78分，
∴；
故答案为：87；78；78；
（3）解：
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
83

87

八年级
81
78
78

∵表中七年级的的平均数，中位数，众数，方差都优于八年级的，
∴测试成绩较好且比较整齐的是七年级，
故答案为：七；
（4）（人）．
故答案为：300．
【点睛本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数和众数，解决问题的关键是熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图的特点，频数分布直方图的补全方法，中位数和众数的定义与计算方法，根据平均数，中位数，众数和方差做判断，用样本频数估计总体频数．
20．（本题8分）如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且，连接交于点．

(1)如图1，若，则　 　；
(2)如图2，是延长线上一点，连接，且．
①求证：与相切；
②若的半径为，，求的长．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角，得到，再利用等弧所对的圆周角相等，得到，然后利用三角形外角的性质，即可求出的度数；
（2）①连接，根据等边对等角的性质，得出，再利用，得到，即可证明结论；
②根据等边对等角的性质，得出，再利用三角形内角和定理，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到，，即可求出的长．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
，

，
故答案为：；
（2）解：①如图，连接，
，
，
，
，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；

②，
，
，
，
，
，，
，
由①知，，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键．
21．（本题8分）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图．

(1)如图1，在边上画点D，使平分，再在线段上画点E，使；
(2)如图2，P是边上一点，先将绕点B逆时针旋转，得到线段，旋转角等于，画出线段，再画点Q，使两点关于直线对称．
【答案】(1)见详解
(2)见详解

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转性质、等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设小正方形的边长为，，得出是等腰三角形，连接，与网格的顶点交于点M，结合三线合一性质，连接与的交点为点D，得出平分，根据网格性质，得证，则，根据网格性质，得出，故．
（2）先根据将绕点B逆时针旋转，得到线段，旋转角等于，得出是等腰三角形，是的角平分线，结合等腰三角形的三线合一，得出，作出，连接交于一点，然后连接点P与该点，交于一点，即为点Q，
【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：

22．（本题10分）如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（无需篱笆）的矩形菜园，并且中间也用篱笆隔开，，墙长．

(1)设，矩形的面积为y ，则y关于x的函数关系式为______，x的取值范围为____．
(2)求矩形面积的最大值，并求出此时的长；
(3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲，乙两种农作物．甲种农作物的年收入（单位：元）和种植面积（单位：）的函数关系式为；乙种农作物的年收入（单位：元）和种植面积S（单位：）的函数关系式为，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)矩形面积的最大值为72 ，此时的长为12m；
(3)

【分析】
（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围；
（2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案；
（3）设矩形的面积为a，两种农作物的总年收入为w元，列得总收入的函数解析式，由此得到，解得，再求出， 求出当时，当时，的值，即可得到．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴矩形的面积，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），
∵，
∴抛物线开口向下，
令，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y最大值为，
此时的长为m；
（3）设矩形的面积为a，两种农作物的总年收入为w元，
∴，
依题意，，
解得，
∵，且，
∴随着a的增大而减小，
∴当时，有最小值为（m），
当时，有最小值为（m），
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，一次函数的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键．
23．（本题10分）如图，四边形是正方形，点在线段上运动，平分交边于点．过作，交延长线于点，求证：

(1)①；
②；
(2)连接，若正方形的边长为4，．求的长；
(3)延长交延长线于点，若，求此时的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)
(3)

【分析】（1）①由四边形是正方形，得到，，根据，即可证明；②先由，得，则；
（2）作于点，先证明，则，得到，再证明，得，求得，则，得到，即可求得，；
（3）在上取一点，连接，使，先证明，得，即可求得，则，设，则，，即可求得的值为．
【详解】（1）①∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，作于点，

则，
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，在上取一点，连接，使，

则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24．（本题12分）如图1，抛物线与轴相交于点，直线与轴相交于点，与抛物线有公共点．

(1)求证：直线与抛物线只有唯一的公共点；
(2)过点作轴于点，连接，证明：；
(3)如图2，直线交新抛物线于两点，连接交轴于点． 若，说明直线必过定点，并求此定点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)直线恒过定点

【分析】（1）联立直线和抛物线，得到，求解即可；
（2）连接，根据题意求得点和的坐标，根据解析式求得两点坐标，得到线段的长度，从而得到，得到，即可求证；
（3）设，，联立直线和抛物线，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积表示出、的解析式，得到两点坐标，再根据，得到的关系，即可求解．
【详解】（1）证明：联立直线和抛物线可得
，即
解得，即直线与抛物线只有唯一的公共点；
（2）证明：连接，如下图：

将代入可得，，即
由题意可得，
将代入可得，即
将代入可得或，即
则，，，
∴，，即
又∵
∴，
∴
∴；
（3）解：设，，联立直线和抛物线可得
，可得
由根与系数的关系可得：，，

将代入可得
解得或
即
设直线为，将、代入，解得
即，可得，
同理可得，
∵
∴，即
可得，化简可得：，即
将代入可得，，即
即直线恒过定点．
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合，涉及了待定系数法求解析式，一元二次方程判别式与根的关系，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，因式分解法求解一元二次方程，综合性比较强，难度较大，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关知识，注意计算．