函数的最大值与最小值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.3函数的最大值与最小值,一、复习引入,如果在x,0,附近的左侧 f,/,（x）0,右侧f,/,(x)0,那么,f(x,0,)是极大值;,如果在x,0,附近的左侧 f,/,(x)0 ,那么,f(x,0,)是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充,分条件.极值只能在函数的,导数为零且在其附近左右两侧的导数异号,时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x,0,处连续时,判别f(x,0,)是极大(小)值的方法是:,二、新课函数的最值,x,X,2,o,a,X,3,b,x,1,y,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间a，b上的最大值、最小值吗？,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,f(x,1,)、f(x,3,),f(x,2,),f(b),f(x,3,),问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x,3,)是最小值，而f(b)是最大值呢？,三、例题选讲,例1,:求函数y=x,4,-2x,2,+5在区间-2,2上的最大值与最小,值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,x,-2,(-2,-1),-1,(-1,0),0,(0,1),1,(1,2),2,y,-,0,+,0,-,0,+,y,13,4,5,4,13,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的,步骤,如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的,极值是,在局部范围内讨论问题,是一个,局部概,念,而函数的,最值,是对整个定义域而言,是在整体范围,内讨论问题,是一个,整体性的概念,.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内,的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极,值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(,4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.,延伸1,:设 ,函数 的最,大值为1,最小值为 ,求常数a,b.,解:令 得x=0或a.,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,x,-1,(-1,0),0,(0,a),a,(a,1),1,f(x),+,0,-,0,+,f(x),-1-3a/2+b,b,-a,3,/2+b,1-3a/2+b,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0),f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b,=1.,又f(-1)-f(a)=(a+1),2,(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1),=-1-3a/2+b=-3a/2,所以,求下列函数在给定区间上的最大值与最小值,练习,1,练习,2,:求函数f(x)=2x,3,+3x,2,-12x+14在区间-3,4上的最,大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,3,下列说法正确的是(),A.函数的极大值就是函数的最大值,B.函数的极小值就是函数的最小值,C.函数的最值一定是极值,D.在闭区间上的连续函数一定存在最值,4,.函数,y,=,f,(x,)在区间,a,b,上的最大值是,M,，最小值是,m,若,M,=,m,则,f,(,x,)(),A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能,A,A,5.函数,y,=2,x,3,3,x,2,12,x,+5在0，3上的最小值是_.,6.函数,f,(,x,)=sin2,x,x,在 ,上的最大值为_；,最小值为_.,7.将正数,a,分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分,成_和_.,-15,四,、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的,最值的步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未,必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值,和f(a)、f(b)放在一起比较.,四、实际应用,1.实际问题中的应用.,在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的,最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.,在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.,在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.,这里所说的也适用于开区间或无穷区间.,满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.,例1:在边长为60cm的正,方形铁皮的四角切去相等,的正方形,再把它的边沿虚,线折起(如图),做成一个无,盖的方底箱子,箱底边长为,多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积,V(x)=x,2,h=(60 x,2,-x,3,)/2(0 x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=,16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm,3,.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径,应怎样选取,才能使所用的材料最省?,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2,rh+2,r,2.,由V=,r,2,h,得 ,则,令 ,解得 ,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,例2:如图,铁路线上AB段长,100km,工厂C到铁路的,距离CA=20km.现在要,在AB上某一处D,向C修,一条公路.已知铁路每吨,千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料,从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?,B D A,C,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=,km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令 ,在 的范围内有,唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的,最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离,不超过15千米时,所选D点与B点重合.,练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆,锥体并且体积最大的圆柱体的高h.,答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3,时,圆柱体的体积最大.,2.与数学中其它分支的结合与应用.,x,y,例1:如图,在二次函数f(x)=,4x-x,2,的图象与x轴所,围成的图形中有一个,内接矩形ABCD,求这,个矩形的最大面积.,解:设B(x,0)(0 x2),则,A(x,4x-x,2,).,从而|AB|=4x-x,2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积,为:S(x)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0 x0得x=1.,而01时,所以x=1是f(x)的极小值点.,所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.,从而当x0时f(x),1恒成立,即:,成立.,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的,最值的步骤:,(1)求f(x)在(a,b)内的极值;,(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个,是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未,必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不,要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值,和f(a)、f(b)放在一起比较.,3.应用问题要引起重视.,(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、,不等式的证明及解法中有广泛的作用。,(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内,存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有,唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函,数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很,有用.,六、作业,