高中数学全程复习方略圆锥曲线与方程章末总结阶段复习课共57张.pptx

第二章 章末总结/阶段复习课 圆锥曲线定义的应用圆锥曲线定义的应用【技法点拨技法点拨】圆锥曲线定义的应用技巧圆锥曲线定义的应用技巧（1 1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.（2 2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的点与两焦点连接而成的“焦点三角形焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决线的定义及解三角形的知识解决.（3 3）在抛物线中，常利用定义，以达到）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离到焦点的距离”和和“到准线的距离到准线的距离”的相互转化的相互转化.【典例典例1 1】(1)(1)一动圆与两圆：一动圆与两圆：x x2 2+y+y2 2=1=1和和x x2 2+y+y2 2-6x+5=0-6x+5=0都外切，都外切，则动圆圆心的轨迹为则动圆圆心的轨迹为()()（A A）抛物线）抛物线 （B B）双曲线）双曲线（C C）双曲线的一支）双曲线的一支 （D D）椭圆）椭圆(2)(2)（20112011辽宁高考）已知辽宁高考）已知F F是抛物线是抛物线y y2 2x x的焦点，的焦点，A A，B B是是该抛物线上的两点，该抛物线上的两点，|AF|AF|BF|BF|3 3，则线段，则线段ABAB的中点到的中点到y y轴的轴的距离为距离为()()（A A）（B B）1 1 （C C）（D D）【解析解析】(1)(1)选选C.xC.x2 2+y+y2 2=1=1是以原点为圆心是以原点为圆心,半径为半径为1 1的圆，的圆，x x2 2+y y2 2-6x+5=0-6x+5=0化为标准方程为（化为标准方程为（x-3x-3）2 2+y+y2 2=4=4，是圆心为，是圆心为A A（3,03,0），），半径为半径为2 2的圆的圆.设所求动圆圆心为设所求动圆圆心为P P，动圆半径为，动圆半径为r,r,如图，则如图，则 符合双曲线的定义符合双曲线的定义,结结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.(2)(2)选选C.C.过过A A，B B分别作准线分别作准线l的垂线的垂线ADAD，BCBC，垂足分别为，垂足分别为D D，C C，M M是线段是线段ABAB的中点，的中点，MNMN垂直准线垂直准线l于于N N，由于，由于MNMN是梯形是梯形ABCDABCD的中位的中位线，线，x xy yB BC CD DN NO OA AF FM M所以所以由抛物线的定义知由抛物线的定义知|AD|AD|BC|BC|AF|AF|BF|BF|3 3，所以，所以|MN|MN|又由于准线又由于准线l的方程为的方程为 所以线段所以线段ABAB中点到中点到y y轴的距离轴的距离为为故选故选C.C.【思考思考】解答题解答题1 1的注意问题及解答题的注意问题及解答题2 2的关键点的关键点.提示：提示：（1 1）解答题）解答题1 1应注意由双曲线的定义判断是双曲线的一应注意由双曲线的定义判断是双曲线的一支还是双曲线支还是双曲线.（2 2）解答题）解答题2 2的关键点是作出图形后再利用抛物线的定义构造的关键点是作出图形后再利用抛物线的定义构造几何图形求解几何图形求解.圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 【技法点拨技法点拨】1.1.求圆锥曲线方程的一般步骤求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定先定形，后定式，再定量式，再定量”的步骤的步骤.(1)(1)定形定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)(2)定式定式根据根据“形形”设方程的形式，注意曲线系方程的应设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mxmx2 2+ny+ny2 2=1(m=1(m0,n0,n0).0).(3)(3)定量定量由题设中的条件找到由题设中的条件找到“式式”中待定系数的等量关中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小系，通过解方程得到量的大小.2.2.求椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条件件(如已知如已知a a，b b，c c，e e中的任意两个中的任意两个)和一个定位条件和一个定位条件(对称轴对称轴、焦点或准线等焦点或准线等)对于双曲线要注意双曲线对于双曲线要注意双曲线 与渐近线与渐近线 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为为 一一般般地地，与双曲，与双曲线线 有有共同共同渐渐近线的双近线的双曲曲线方程线方程是是3.3.求抛物线标准方程求抛物线标准方程需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知一个定形条件（即已知p p）4.4.几个注意点几个注意点（1 1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如双曲线有如双曲线有c c2 2=a=a2 2+b+b2 2，椭圆有，椭圆有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2.（2 2）“求轨迹方程求轨迹方程”和和“求轨迹求轨迹”是两个不同概念，是两个不同概念，“求轨求轨迹迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌指掌.【典例典例2 2】(1)(1)已知点已知点P(3P(3，-4)-4)是双曲线是双曲线渐近线上的一点，渐近线上的一点，E E，F F是左、右两个焦点，若是左、右两个焦点，若 则双则双曲线方程为曲线方程为()()（A A）（B B）（C C）（D D）(2)(2)（20112011新课标全国高考）在平面直角坐标系新课标全国高考）在平面直角坐标系xOyxOy中，椭圆中，椭圆C C的中心为原点，焦点的中心为原点，焦点F F1 1，F F2 2在在x x轴上离心率为轴上，离心率为 过过F F1 1的直的直线线l交交C C于于A A，B B两点，且两点，且ABFABF2 2的周长为的周长为1616，那么，那么C C的方程为的方程为_【解析解析】(1)(1)选选C.C.不妨设不妨设E E（-c,0-c,0），），F F（c,0c,0），则），则（3+c,-43+c,-4）（3-c,-43-c,-4）=25-c=25-c2 2=0=0，所以，所以c c2 2=25.=25.可排除可排除A A、B.B.又由又由D D中双曲线的渐近线方程为中双曲线的渐近线方程为 点点P P不在其上，排除不在其上，排除D,D,故选故选C.C.(2)(2)设椭圆方程为设椭圆方程为因为离心率为因为离心率为所以所以解得解得 即即a a2 22b2b2 2.又又ABFABF2 2的周长为的周长为ABAB+AFAF2 2+BFBF2 2AFAF1 1+BFBF1 1+BFBF2 2+AFAF2 2（AFAF1 1+AFAF2 2）+（BFBF1 1+BFBF2 2）2a2a2a2a4a4a，所以所以4a4a1616，a a4 4，所以，所以所以椭圆方程为所以椭圆方程为答案：答案：【想一想想一想】解答题解答题1 1的方法有哪些？解答题的方法有哪些？解答题2 2的关键点是什么？的关键点是什么？提示：提示：（1 1）解答题）解答题1 1可利用排除法，也可利用待定系数法直接可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解求解.（2 2）解答题）解答题2 2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长转化为与长轴长2a2a的关系的关系.圆锥曲线的性质及应用圆锥曲线的性质及应用【技法点拨技法点拨】圆锥曲线性质的求解方法圆锥曲线性质的求解方法椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素近线以及几何元素a a，b b，c c，e e之间的关系等之间的关系等1 1离心率离心率求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a a，b b，c c有有关的关系式关的关系式.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：（1 1）代入法就是代入公式）代入法就是代入公式 求离心率；（求离心率；（2 2）列方程法就）列方程法就是根据已知条件列出关于是根据已知条件列出关于a,b,ca,b,c的关系式，然后把这个关系式的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于整体转化为关于e e的方程，解方程即可求出的方程，解方程即可求出e e值值.2.2.范围范围解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x,yx,y的范围的范围.常用方法也有两个常用方法也有两个.（1 1）解不等式法，即根据题设）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；（2 2）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围数的值域即为待求量的取值范围.3.3.最值最值圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等形面积等.研究的常见途径有两个：（研究的常见途径有两个：（1 1）利用平面几何中的最）利用平面几何中的最值结论；（值结论；（2 2）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值等式知识求最值.建立建立“目标函数目标函数”，借助代数方法求最值，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围要特别注意自变量的取值范围.【典例典例3 3】（20112011福建高考）设圆锥曲线福建高考）设圆锥曲线C C的两个焦点分别为的两个焦点分别为F F1 1，F F2 2，若曲线，若曲线C C上存在点上存在点P P满足满足|PF|PF1 1|F|F1 1F F2 2|PF|PF2 2|443232，则曲线，则曲线C C的离心率等于的离心率等于()()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选A.A.设设|F|F1 1F F2 2|2c(c0)2c(c0)，由已知由已知|PF|PF1 1|F|F1 1F F2 2|PF|PF2 2|432432，得得 且且|PF|PF1 1|PF|PF2 2|，若圆锥曲线若圆锥曲线C C为椭圆，则为椭圆，则2a2a|PF|PF1 1|PF|PF2 2|4c4c，离心率离心率若圆锥曲线若圆锥曲线C C为双曲线，为双曲线，则则 离心率离心率【归纳归纳】解答本题的注意点解答本题的注意点.提示：提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解椭圆及双曲线定义的理解.直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线【技法点拨技法点拨】1.1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组的讨论，即联立方程组 通过消去通过消去y(y(也可以消去也可以消去x)x)得到得到x x的方程的方程axax2 2bxbxc c0 0进行讨论进行讨论.这时要注意考虑这时要注意考虑a a0 0和和a0a0两种情况，对两种情况对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0a0，0 0外，外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情此时直线与双曲线、抛物线属相交情况况).).2.2.中点弦问题的常规处理方法中点弦问题的常规处理方法(1)(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；中点坐标公式进行求解；(2)(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)(3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项一个端点的坐标，而后消去二次项.3.3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法利用弦长公式求解：直线利用弦长公式求解：直线l:y=kx+b:y=kx+b与圆锥曲线交于与圆锥曲线交于A A（x x1 1,y,y1 1）、）、B B（x x2 2,y,y2 2），则弦长为），则弦长为(1)(1)当斜率当斜率k k不存在时，可求出交点坐标，直接利用两点间距离不存在时，可求出交点坐标，直接利用两点间距离公式求解公式求解.(2)(2)利用圆锥曲线的定义求解：求经过圆锥曲线的焦点的弦的利用圆锥曲线的定义求解：求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和求解长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和求解.【典例典例4 4】已知中心在坐标原点已知中心在坐标原点O O的椭圆的椭圆C C经过点经过点A A（2 2，3 3），且），且点点F F（2 2，0 0）为其右焦点）为其右焦点.（1 1）求椭圆）求椭圆C C的方程；的方程；（2 2）是否存在平行于）是否存在平行于OAOA的直线的直线l，使得直线，使得直线l与椭圆与椭圆C C有公共点，有公共点，且直线且直线OAOA与与l的距离等于的距离等于4 4？若存在，求出直线？若存在，求出直线l的方程；若不存的方程；若不存在，说明理由在，说明理由.【解析解析】（1 1）依题意，可设椭圆）依题意，可设椭圆C C的方程为的方程为且可知左焦点为且可知左焦点为FF（-2,0-2,0）.从而有从而有 解得解得又又a a2 2=b=b2 2+c+c2 2,所以所以b b2 2=12,=12,故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为（2 2）不存在）不存在.假设存在符合题意的直线假设存在符合题意的直线l，其方程为，其方程为由由 得得3x3x2 2+3tx+t+3tx+t2 2-12=0,-12=0,因为直线因为直线l与椭圆与椭圆C C有公共点，有公共点，所以所以=（3t3t）2 2-43-43（t t2 2-12-12）0,0,解得解得另一方面，由直线另一方面，由直线OAOA与与l的距离的距离d=4d=4可得可得从而从而由于由于 所以符合题意的直线所以符合题意的直线l不存在不存在.【归纳归纳】本题考查了哪几种能力？解题中容易忽视的地方是什本题考查了哪几种能力？解题中容易忽视的地方是什么？么？提示：提示：本题主要考查了运算求解能力、推理论证能力，解题中本题主要考查了运算求解能力、推理论证能力，解题中容易忽略容易忽略0,0,而导致出错而导致出错.分类讨论思想分类讨论思想【技法点拨技法点拨】分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想，实际上是分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整化整为零，各个击破，再积零为整”的策略的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论论.【典例典例5 5】椭圆的中心是坐标原点，长轴在椭圆的中心是坐标原点，长轴在x x轴上，离心率轴上，离心率已知点已知点 到这个椭圆上点的最远距离为到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方求这个椭圆方程，并求椭圆上到点程，并求椭圆上到点P P的距离为的距离为 的点的坐标的点的坐标.【解析解析】设椭圆方程为设椭圆方程为由由a a2 2=b=b2 2+c+c2 2得得a=2b,a=2b,故椭圆方程可化为故椭圆方程可化为 设设M M（x,yx,y）是椭圆上任意一点，则是椭圆上任意一点，则x x2 2=4b=4b2 2-4y-4y2 2.-byb-byb（讨论（讨论 与与-b,b-b,b间的关系），间的关系），若若 则当则当 时，时，若若 则当则当y=-by=-b时，时，矛盾矛盾.综上所述综上所述b=1,b=1,故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为:时，时，椭圆上到椭圆上到P P点的距离为点的距离为 的点有两个，分别为的点有两个，分别为【思考思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的？分类讨论解题的一般步骤是怎样的？提示：提示：分类讨论解题的一般步骤为：分类讨论解题的一般步骤为：确定分类标准及对象；确定分类标准及对象；进行合理地分类；进行合理地分类；逐类进行讨论；逐类进行讨论；归结各类结果归结各类结果.1.1.方程方程2x2x2 2-5x+2=0-5x+2=0的两个根可分别作为的两个根可分别作为()()（A A）一椭圆和一双曲线的离心率）一椭圆和一双曲线的离心率（B B）两抛物线的离心率）两抛物线的离心率（C C）一椭圆和一抛物线的离心率）一椭圆和一抛物线的离心率（D D）两椭圆的离心率）两椭圆的离心率【解析解析】选选A.A.方程方程2x2x2 2-5x+2=0-5x+2=0的两个根分别为的两个根分别为 又由椭圆离又由椭圆离心率大于心率大于0 0小于小于1 1，双曲线离心率大于，双曲线离心率大于1 1，抛物线离心率等于，抛物线离心率等于1 1可可得，选得，选A.A.2.2.椭圆椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦点，则有相同的焦点，则a a的值的值是是()()（A A）2 2 （B B）1 1 （C C）（D D）3 3【解析解析】选选B.B.因椭圆因椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦有相同的焦点，所以有点，所以有0 0a a2 2且且4-a4-a2 2=a+2=a+2得得a a2 2+a-2=0+a-2=0，得，得a=1.a=1.3.3.求过定点求过定点A A（-5,0-5,0）且与圆）且与圆x x2 2+y+y2 2-10 x-11=0-10 x-11=0相外切的动圆的相外切的动圆的圆心轨迹是圆心轨迹是()()（A A）（B B）（C C）（D D）【解析解析】选选B.xB.x2 2+y+y2 2-10 x-11=0-10 x-11=0化为标准形式是（化为标准形式是（x-5x-5）2 2+y+y2 2=3636，则圆心为，则圆心为B B（5,05,0）,半径为半径为6 6，设动圆的圆心为，设动圆的圆心为M M（x,yx,y），），则当两圆外切时，有则当两圆外切时，有MBMB=6+=6+MAMA，则，则MBMB-MAMA=6=6符合双曲线定义，符合双曲线定义，M M为双曲线左支，其中为双曲线左支，其中2a=6,2c=102a=6,2c=10，则，则b=4b=4，所以双曲线方程为所以双曲线方程为4.4.（20122012新课标全国高考）等轴双曲线新课标全国高考）等轴双曲线C C的中心在原点，焦的中心在原点，焦点在点在x x轴上，轴上，C C与抛物线与抛物线y y2 2=16x=16x的准线交于的准线交于A A，B B两点，两点，|AB|=|AB|=则则C C的实轴长为的实轴长为()()（A A）（B B）（C C）4 4 （D D）8 8【解析解析】选选C.C.设双曲线的方程为设双曲线的方程为 抛物线的准抛物线的准线为线为x=-4x=-4，且，且 故可得故可得 将点将点A A坐坐标代入双曲线方程得标代入双曲线方程得a a2 2=4=4，故，故a=2a=2，故实轴长为，故实轴长为4.4.5.5.已知椭圆中心在原点，一个焦点为已知椭圆中心在原点，一个焦点为 且长轴长是短且长轴长是短轴长的轴长的2 2倍，则该椭圆的标准方程是倍，则该椭圆的标准方程是_【解析解析】依题意，得依题意，得 2a2a2 22b2b，即，即a a2b2b，又，又a a2 2b b2 2c c2 2，解之得，解之得a a4 4，b b2.2.椭圆标准方程为椭圆标准方程为答案：答案：6.6.设双曲线：设双曲线：的焦点为的焦点为F F1 1，F F2 2，离心率为，离心率为2 2，则，则双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是_._.【解析解析】由已知双曲线的离心率为由已知双曲线的离心率为2 2得得,解得解得a a2 2=1=1，代入双曲线方程代入双曲线方程 中得，中得，所以渐近线方程为所以渐近线方程为 答案：答案：7.7.直线直线l：y=kx+1y=kx+1与曲线与曲线C:C:交于交于M M，N N两点，当两点，当MNMN 时，求直线时，求直线l的方程的方程.【解析解析】由由 消去消去y y得（得（1+2k1+2k2 2）x x2 2+4kx=0+4kx=0，解得，解得x x1 1=（x x1 1，x x2 2分别为分别为M M、N N的横坐标）的横坐标）,由由MNMN=解得解得k=1k=1，代入，代入y=kx+1y=kx+1得得x+y-1=0 x+y-1=0或或x-y+1=0 x-y+1=0，综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是x+y-1=0 x+y-1=0或或x-y+1=0.x-y+1=0.8.8.已知椭圆已知椭圆 和双曲线和双曲线 有公共的焦点有公共的焦点.（1 1）求双曲线的渐近线方程）求双曲线的渐近线方程;（2 2）直线）直线l过焦点且垂直于过焦点且垂直于x x轴，若直线轴，若直线l与双曲线的渐近线围与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为成的三角形的面积为 求双曲线的方程求双曲线的方程.【解析解析】（1 1）依题意，有）依题意，有3m3m2 2-5n-5n2 2=2m=2m2 2+3n+3n2 2，即即m m2 2=8n=8n2 2，即双曲线方程为，即双曲线方程为故双曲线的渐近线方程是故双曲线的渐近线方程是即即（2 2）不妨设渐近线）不妨设渐近线 与直线与直线l:x=c:x=c交于点交于点A A、B B，则，则 解得解得c=1.c=1.即即a a2 2+b+b2 2=1=1，又，又双曲线的方程为双曲线的方程为