2000全国高中数学联赛试卷.doc

2000年全国高中数学联赛试卷(第一试)
一、 选择题
1． 设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是 （　 ）
(A) {2} (B) {-1} (C) {x|x≤2} (D)
2． 设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是 （　 ）
(A) (2kp+,2kp+), kÎZ (B) (+,+),kÎZ
(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ
3． 已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 （　 ）
(A) (B) (C) 3 (D) 6
4． 给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0 （　 ）
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（　 ）
(A) (B) (C) (D)
6． 设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是 （　 ）
(A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7． arcsin(sin2000°)=__________.
8． 设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________.
9． 等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10． 在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.
11． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12． 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13． 设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.

14． 若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].

15． 已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2000年全国高中数学联赛试卷(加试)
一．（本题满分50分）
A
B
C
D
E
F
M
N
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足，且

证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．

三．（本题满分50分）
有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

2001年全国高中数学联赛试卷(第一试)

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知a为给定的实数，那么集合的子集的个数为（　　）
（A） 1　　　　（B） 2　　　（C） 4　　　（D）不确定
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;
　 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有　　（　　）　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　
（A） 0个　　 （B） 1个　　 （C） 2个　 （D） 3个
3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在
上单调递增的偶函数是　 （　 ）
（A）　y=sin|x|　（B） y=cos|x|　（C）　y=|ctgx|　（D） y=lg|sinx|

4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（　 ）
（A）k=（B）0
7．椭圆的短轴长等于　　　　　　 ．
8．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，，则z1·z2=　　　　　 ．
9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是　　　　　 ．
10. 不等式的解集为　 　　　　．
11．函数的值域为　　　　　　 ．
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有　　　　　　 种栽种方案．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设为等差数列， 为等比数列，且， ，,又．试求{an}的首项与公差．

14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．(1) 求实数m的取值范围（用a表示）；
(2) O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．

15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．

2001年全国高中数学联赛试卷(加试)
一．（本题满分50分）
如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．
求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE；
(2) OH⊥MN．

二．（本题满分50分）
设（i=1，2，…，n）且，求的最大值与最小值．

三．（本题满分50分）
将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．

2002年全国高中数学联赛试卷(第一试)
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数的单调递增区间是（　　）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　　（D）
2．若实数满足，则的最小值为（　　）
（A）2　　　　（B）1　　　　（C）　　　　（D）
3．函数　　　　（　　）
（A）是偶函数但不是奇函数　　　　（B）是奇函数但不是偶函数
（C）既是偶函数又是奇函数　　　　（D）既不是偶函数也不是奇函数
4．直线与椭圆相交于、两点，该椭圆上点，使得△的面积等于3．这样的点共有　　　（　　）
（A）1个　　　　（B）2个　　　　（C）3个　　　　（D）4个
5．已知两个实数集合与，若从到的映射使得中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有　（　　）
（A）　　　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D）
6．由曲线，，，围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为；满足，，的点组成的图形轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则　　　）
（A）
（B）　
（C）
（D）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题）
7．已知复数，满足，．若它们所对应的向量的夹角为，则　 　．
8．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的幂指数是整数的项共有　　　　个．
9．已知点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（）有
　　 　个．
10．已知是定义在上的函数，且对任意都有　
若，则　　　　　　．
11．若，则的最小值是　　　　　　　．
12．使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是　　　　　　　　．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分
13．已知点和抛物线上两点使得，求点的纵坐标的取值范围．

14．如图，有一列曲线．已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（）．记为曲线所围成图形的面积．
（1）求数列的通项公式；
（2）求．

15．设二次函数（）满足条件：
（1）当时，，且；
（2）当时，；
（3）在上的最小值为0．
求最大的（），使得存在，只要，就有．
2002年全国高中数学联赛试卷(加试)
一、（本题满分50分）
如图，在△中，，，点是外心，两条高交于点．点、分别在线段、上，且满足．求的值．

二、（本题满分50分）
实数和正数使得有三个实根，且满足
（1）；
（2）．
求的最大值．
三、（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，国教练为了考察，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．
2003年全国高中数学联赛试卷(第一试)
一． 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是（ ）
A．2046 B．2047 C．2048 D．2049
y
y
y
2．设a，b ∈ R，ab ≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（ ）
y

x
x
x
x

A B C D
3．过抛物线y2＝8（x＋2）的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．若x∈（），则y＝ 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5.已知x，y都在区间（－2，2）内，且xy＝－1，则函数u＝的最
小值是（ ）

6.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，
则四面体ABCD的体积等于（ ）

二．填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．不等式 |x| 3－2x2－4| x | + 3 < 0 的解集是______________。
8．设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=2 ：1，
则三角形PF1F2的面积等于______________。
9．已知
若AB，则实数a的取值范围是________.
10．已知a，b，c，d均为正整数，且，若a－c＝9，则
b－d ＝_______.
11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个

球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_____.
12．设M n ＝{(十进制)n位纯小数0.| ai 只取0或1（i＝1，2，…，n－1，
an=1},Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_______.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．

14．设A，B，C分别是复数Z0= a i，Z1=1/2 + bi，Z2=1+ci（其中a，b，c都是实数）
对应的不共线的三点，证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2t sin2t+Z2sin4t （t ∈ R）
与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。

15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA= a. 拆叠纸片，使圆周上
某一点A’刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A’取遍圆周
上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

2003年全国高中数学联赛试卷(加试)
一．（本题满分50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC.
求证：∠DBQ=∠PAC

二．（本题满分50分）
设三角形的三边分别是整数l，m，n，且l > m > n,已知,
其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数。求这种三角形周长的最小值。

三．（本题满分50分）
由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n =q2+q+1，t≥q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）。
2004年全国高中数学联赛试卷(第一试)
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、设锐角q使关于x的方程有重根，则q的弧度数为 ( )
A． B。 C。 D。
2、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是 ( )
A．[] B。（）C。（） D。[]
3、不等式>0的解集是 ( )
A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4）
4、设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 ( )
A．2 B。 C。3 D。
5、设三位数，若以为三条边的长可以构成一个
等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有 ( )
A． 45个 B。81个 C。165个 D。216个

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是 ( )
A． B。 C。 D。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系中，函数在一个最小正周期长的区间上的图像与函数的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。
8、设函数满足，且对任意的，都有=
，则。
9、如图，正方体中，二面角的度数是______________。
10、设是给定的奇质数，正整数使得也
是一个正整数，则=________________。
11、已知数列满足关系式
且，则的值是______。
12、在平面直角坐标系中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？
（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系中，给定三点A（0，），B（-1，0），C（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率的取值范围。

15、已知、是方程（）的两个不等实根，函数
的定义域为[，]。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明：对于，若，则
。
2004年全国高中数学联赛试卷(加试)
一、（本题满分50分）
在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相
交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，
FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求
AK的长。

二、（本题满分50分）
在平面直角坐标系中， 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在X轴上的截距为，点的横坐标为，
。
（Ⅰ）证明>>4，。
（Ⅱ）证明有，使得对都有<。

三、（本题满分50分）
对于整数≥4，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合
的任一个元子集中，均有至少3个两两互素的元素。

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