高中数学极限.doc

高中数学极限、数学归纳法
一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)
1．(精选考题·江西高考) (1＋＋＋…＋)＝(　　)
A. B. C．2 D．不存在
解析： (1＋＋＋…＋)＝＝.
答案：B
2．设函数f(x)＝(x＋1)2(x－2)，则 等于(　　)
A．6 B．2
C．0 D．－6
解析：∵＝＝3x－3，
∴ ＝－6.
答案：D
3．已知函数f(x)＝在x＝1处连续，则f－1(3)等于(　　)
A．0 B．1
C．－ D.
解析：∵函数f(x)在x＝1处连续，∴f(1)＝ ＝4.又当x＝1时，f(1)＝a＋1，∴a＝3.当x＞1时，令＝3，得x＝0或1，不满足题设．当x≤1时，令3x＋1＝3，得x＝，满足题设．∴f－1(3)＝.
答案：D
4．用数学归纳法证明＋＋…＋>时，由n＝k到n＝k＋1，不等式左边的变化是(　　)
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加，两项，同时减少一项
D．以上结论均错
解析：n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，
故增加，两项，减少一项．
答案：C
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝ (　　)
A. B.
C. D.
解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝an(n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，
∴a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.
猜想an＝.
答案：B
6．设a，b满足 ＝－1，则 等于(　　)
A．1 B.
C. D.
解析依题意得a＝2，
＝
＝ (x－b)＝2－b＝－1，因此b＝3.故
＝ ＝ ＝.
答案：C
二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)
7．设a＝ ，则1＋a＋a2＋a3＋…＝________.
解析：∵a＝ ＝
＝ ＝，
∴1＋a＋a2＋a3＋…＝2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝在点x＝0处连续，则a＝________.
解析：由题意得f(x)＝ (x2－1)＝－1，f(x)＝acosx＝a，由于f(x)在x＝0处连续，因此a＝－1.
答案：－1
9．已知logab＞1(0＜a＜1)，则 ＝________.
解析：logab＞1,0＜a＜1得0＜b＜a，
∴ ＝ ＝－1.
答案：－1
三、解答题(本大题共3个小题，共46分)
10．(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n.
(1)求 ；
(2)证明：＋＋…＋＞3n.
解：(1)因为 ＝
＝ (1－)＝1－ ，
＝ ＝，
所以 ＝.
(2)证明：当n＝1时，＝S1＝6＞3；
当n＞1时，＋＋…＋＝＋＋…＋
＝(－)·S1＋(－)·S2＋…＋[－]Sn－1＋·Sn＞＝·3n＞3n.
综上知，当n≥1时，＋＋…＋＞3n.
11．(本小题满分15分)已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a3＝2an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，….
试用数学归纳法证明：an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…；
证明：①当n＝3时，a3＝2＝a1＋2，所以等式成立；
②假设当n＝k≥3时等式成立，即ak＝ak－2＋2.
而由题设有ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)．
由ak－2是非负整数，得ak＝ak－2＋2≠0，
∴ak＋1＝ak－1＋2，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合①②得：对任意正整数n≥3，
都有an＝an－2＋2.
12．(本小题满分16分)在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an，Sn，Sn－成等比数列．
(1)求a2，a3，a4并推出an的表达式，
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
解：∵an，Sn，Sn－成等比数列，
∴S＝an(Sn－)(n≥2)①
(1)由a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋a2代入①得a2＝－，
由a1＝1，a2＝－，S3＝＋a3代入①得a3＝－.
同理可得a4＝－，由此可推出
an＝.
(2)证明：①当n＝1、2、3、4时，由(1)知猜想成立，
②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，
ak＝－成立．
故S＝－·(Sk－)，
∴(2k－3)(2k－1)S＋2Sk－1＝0，
∴Sk＝，Sk＝－(舍)．
由S＝ak＋1·(Sk＋1－)得
(Sk＋ak＋1)2＝ak＋1(ak＋1＋Sk－)，
∴＋a＋＝a＋－ak＋1，
∴ak＋1＝，
即n＝k＋1时，命题也成立．
由①②知an＝
对一切n∈N*成立．

1． (＋)等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：∵＋＝
＝＝＝，
∴ (＋)＝ ＝＝2.
答案：B
2．函数f(x)＝在点x＝1和x＝2处的极限值都是0，而在点x＝－2处不连续，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)
A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1,2)
解析：由已知得：f(x)＝，则f(x)＞0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．
答案：C
3．设常数a＞0，(ax2＋)4的展开式中x3的系数为，则li (a＋a2＋a3＋…＋an)＝________.
解析：∵Tr＋1＝Ca4－rx8－，令8－＝3，得r＝2，∴x3的系数为Ca2＝6a2＝，则a＝，
∴li (a＋a2＋a3＋…＋an)＝＝1.
答案：1
4．(精选考题·上海高考)将直线l1：x＋y－1＝0，l2：nx＋y－n＝0，l3：x＋ny－n＝0(n∈N*，n≥2)围成的三角形面积记为Sn，则Sn＝________.

解析：如图所示，
由得
则直线l2、l3交于点A(，)．
Sn＝×1×＋×1×－×1×1＝－，
Sn＝ (－)＝ －＝1－＝.
答案：
5．对于数列{xn}，满足x1＝，xn＋1＝；函数f(x)在(－2,2)上有意义，f(－)＝2，且满足x，y，z∈(－2,2)时，有f(x)＋f(y)＋f(z)＝f()成立．
(1)求f()的值；
(2)求证：{f(xn)}是等比数列；
(3)设{f(xn)}的前n项和为Sn，求li .
解：(1)由x＝y＝z＝0⇒3f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0，
令z＝0，得f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
再令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
则f(－x)＝－f(x)．
所以f()＝f()＋f()＋f()＝3f()
＝－3f(－)＝－6.
(2)证明：由x1＝，结合已知可得
0＜xn＋1＝＝≤＜2；
由f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＋f(xn)＝3f(xn)，
得＝3，即{f(xn)}是以－6为首项，以3为公比的等比数列，且f(xn)＝－2×3n.
(3)由Sn＝＝＝3×(1－3n)，
得 ＝ ＝ ＝－.