函数的奇偶性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课题导入,观察它们有什么样的特征？,鹦鹉螺壳,我们发现上面几个图形和函数图象都具有对称性，有的关于直线对称，有的关于点呈中心对称，有的有特殊的对称性，那么在我们数学领域里，我们会研究函数图象的某对称性！,1.3.2 奇偶性,教学目标,理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性,.,知识与技能,过程与方法,通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想,情感态度与价值观,通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力,教学重难点,重点,难点,函数的奇偶性及其几何意义,.,判断函数的奇偶性的方法与格式,.,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,观察下图图像有什么共同的特征呢？,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,这两个函数的图像都关于,y,轴对称,f(x,)=x,2,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,0,1,4,9,1,4,9,相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,0,1,2,3,1,2,3,由此得到,f(-x,)=(-x),2,=x,2,，即,f(-x,)=,f(x,),由此得到,，即,f(-x,)=,f(x,),从,函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？,即相应两个函数值相同,对于,R,内任意的一个,x,，都有,f(-x,)=(-x),2,=x,2,=,f(x,),，这时我们称函数,f(x,)=x,2,为,偶函数,.,函数的奇偶性的定义,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内的任意一个,x,，,都有,f(-x)=f(x),那么称函数,y=f(x),偶函数,.,知识要点,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,-1,-2,-3,观察下图图像有什么共同的特征呢？,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,-1,-2,-3,f(x,)=x,两个函数的图像都关于原点对称,.,f(x,)=x,x,-3,-2,-1,0,12,3,0,-1,-2,-3,1,4,9,f(x,)=x,3,x,-3,-2,-1,0,1,2,3,0,-1,-8,-27,1,8,27,相应的两个函数值对应表是如何体现这些特点的呢？,由此得到,f(-x,)=-x=-,f(x,),，即,f(-x,)=-,f(x,).,由此得到,f(-x,)=-x,3,=-,f(x,),即,f(-x,)=-,f(x,).,当自变量,x,取一对相反数时，相应的函数值,f(x,),也是一对相反数,.,从,函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？,对于,R,内任意的一个,x,，都有,f(-x,)=-x=-,f(x,),，这时我们称函数,f(x,)=x为,奇函数,.,函数的奇偶性的定义,一般地，如果对于函数,f(x),的定义域内的任意一个,x,，,都有,f(-x,)=-,f(x,),那么称函数,y=f(x),奇函数,.,知识要点,1,、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的,整体性质,.,2,、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个,x,，,则,x,也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,注意,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,-2,-3,o,3,-2,2,2,1,-1,1,3,2,1,f(x,)=x,奇偶函数图象的性质,:,奇函数的图象关于原点对称,.,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数,.,偶函数的图象关于,y,轴对称,.,反过来,如果一个函数的图象关于,y,轴对称,那么这个函数为偶函数,.,知识要点,奇偶函数图象的性质可用于：,判断函数的奇偶性,.,简化函数图象的画法,.,注意,（,1,）判断函数 的奇偶性,.,（,2,）如图是函数 图像的一部分，能否根据,f(x,),的奇偶性画出它在,y,轴左边的图像吗？,y,x,0,（,1,）奇函数,（,2,）根据奇函数的图,像关于原点对称,例,1,说出下列函数的奇偶性,:,偶函数,奇函数,奇,函数奇,函数,f(x)=x,4,_ f(x)=x,-1,_,f(x)=x _,奇,函数,f(x)=x,-2,_,偶函数,f(x)=x,5,_,f(x)=x,-3,_,结论：一般的，对于形如,f(x)=x,n,的函数，,若,n,为偶数，则它为偶函数,.,若,n,为奇数，则它为奇函数,.,例,2,判断下列函数的奇偶性：,解：,(1),因为 所以,f(x,),是奇函数,.,因为,f(-x,)=|-x|+1=|x|+1=,f(x,),所以,f(x,),是偶函数,.,因为 ，所以,f(x,),是偶函数,.,判断奇偶性，只需验证,f(x,),与,f(-x,),之间的关系,.,所以就谈不上与,f(-3),相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性,.,（,5,）函数的定义域为,-3,3),故,f(3),不存在，同上可知函数没有奇偶性,.,故函数没有奇偶性,.,解：（,4,）当,x=-3,时，由于,，故,f(3),不存在，,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。,(1),先求定义域，看是否关于原点对称,.,(2),再判断,f(-x,)=-,f(x,),或,f(-x,)=f(x),是否恒成立,.,用定义判断函数奇偶性的步骤：,知识要点,例,3,：判定下列函数是否为偶函数或奇函数,.,解：,（,1,）对于函数,f(x,)=5x,，其定义域为,（,-,，,+,）,对于定义域中的每一个,x,都有,f(-x,)=-5x=-,f(x,),所以函数,f(x,)=5x,为奇函数,.,（,2,）对于函数 的定义域为,:,（,-,，,+,）,对于定义域中的每一个,x,，都有,且,所以函数 既不是奇函数也不是偶函数,.,（,3,）对于函数 的定义域为,xx0,对于定义域中的每一个,x,，都有,所以函数 是奇函数,.,（,4,）对于函数,f(x,)=3,的定义域为,（,-,，,+,）,对于定义域中的每一个,x,，都有,f(-x,)=3=,f(x,),，所以函数,f(x,)=3,是偶函数,.,奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数,（,5,）,f(x,)=0.,（,5,）对于函数,f(x,)0,的定义域为,（,-,，,+,）,对于定义域中的每一个,x,，都有,f(-x,)=0=,f(x,)=-,f(x,),，所以函数,f(x,)=0,既是偶函数也是奇函数,.,根据奇偶性,函数可划分为四类,:,1.,一次函数,y=,kx+b,是奇函数吗？,2.,反比例函数是奇函数吗？,3.,二次函数一定是定义在,R,上的偶函数吗？,4.,函数的定义域对函数有没有影响？,5.,有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出一例？,6.,有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举出一例？,课后思考一下，做一做吧！,例,4,判断函数 是否具有奇偶性？,解：当,a=0,时，此时函数,f(x,),为奇函数,.当,a0,时，,此时,f(x,)=,f(-x),f(x,)=-,f(x,),都不能在定义域内恒成立，即函数 既不是奇函数也不是偶函数,.,例,5,已知函数,y=,f(x,),是定义在,R,上奇函数，当,求（,1)f(-1),；,(2),若,t0,求,f(t,).,1,、两个定义：对于,f(x),定义域内的任意一个,x,如果都有,f(,x)=-f(x),f(x),为奇,函数,如果都有,f(,x)=f(x),f(x),为偶函数,2,、两个性质：,一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称,一个函数为偶函数 它的图象关于,y,轴对称,课堂小结,3.,判断函数奇偶性的步骤和方法：,先看定义域是否关于原点对称，,然后在找,f(x),与,f(-x),间的关系,4.,奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：,奇,+,奇,=,奇 偶,+,偶,=,偶,奇,X,奇,=,偶 偶,X,偶,=,偶,5.,已知函数性质，求其它区间上函数的解析式,课堂练习,1.,判断函数 的奇偶性,.,解,:,定义域为,R,f(x),为奇函数,.,解,(1),4-x,2,0,|x+2|1,-2x2,x-1,且,x-3,-2x 2,且,x-1,定义域为,-2,-1)(-1,2,2.,判断函数,的奇偶性,（,1,）求函数的定义域；,（,2,）判断函数的奇偶性,（,2,）,且,f(x,)-,f(x,),，所以说此,函数既不是奇函数也不是偶函数,o,y,x,3.,已知函数,y=f(x),是偶函数，它在,y,轴右边的图象如图，画出,y=f(x),在,y,轴左边的图象,.,4.,已知函数,f(x,),既是奇函数又是偶函数,.,求证：,f(x,)=0,证明：因为,f(x,),既是奇函数又是偶函数,所以,f(-x,)=,f(x,),且,f(-x,)=-,f(x,),所以,f(x,)=-,f(x,),所以,2f(x)=0,即,f(x,)=0.,这样的函数有多少个呢？,有无数个，因为,f(x,),只是解析式的特征，若改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：,f(x,)=0,x-3,3,，与,f(x,)=0,x-1,1.,5.,判断函数,f(x,)=,kx+b,的奇偶性,解：当,b=0,时，,f(-x,)=-,f(x,),则,f(x,),是奇函数；,当,b0,时，,f(x,)-,f(x,),且,f(-x)f(x,),所以说,f(x,),不是奇函数也不是偶函数,.,教材习题答案,1.,（,1,）函数 的定义域为,R,，因为对于定义域中的每一个,x,，都有,所以此函数为偶函数,.,（,2,）函数 的定义域为,R,，因为对于定义域中的每一个,x,，都有,所以此函数为奇函数,.,（,3,）函数 的定义域为,x,x,0,，因为对于定义域中的每一个,x,，都有,所以此函数为奇函,（,4,）函数 的定义域为,R,，因为对于定义域中的每一个,x,，都有,所以此函数为偶函数,2.,略,.,