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2025年大学数学（高等数学）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
（总共6题，每题5分，每题只有一个选项符合题意）
w1. 函数$f(x)=\frac{1}{\ln(x - 1)}$的定义域是（ ）
A. $(1, +\infty)$ B. $(1, 2)\cup(2, +\infty)$ C. $(2, +\infty)$ D. $[2, +\infty)$
w2. 当$x\to0$时，下列无穷小量中与$x$等价的是（ ）
A. $1 - \cos x$ B. $\ln(1 + x)$ C. $\sqrt{1 + x} - 1$ D. $x^2 + x$
w3. 已知函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 0 D. -2
w4. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$在点$(1, -1)$处的切线方程为（ ）
A. $y = -3x + 2$ B. $y = 3x - 4$ C. $y = -x$ D. $y = x - 2$
w5 设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a)f(b)\lt0$，则在$(a, b)$内至少存在一点$\xi$，使得（ ）
A. $f(\xi)=0$ B. $f^\prime(\xi)=0$ C. $f^{\prime\prime}(\xi)=0$ D. $f(\xi)$取得最大值或最小值
w6. 已知$\int_{0}^{1}f(x)dx = 2$，则$\int_{0}^{1}2f(x)dx$等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 1 D. 8

第II卷（非选择题 共70分）
w7. （10分）求极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}$。
w8. （15分）设函数$y = x^2\ln x$，求$y^\prime$。
w9. （15分）计算定积分$\int_{0}^{1}x^2e^x dx$。

材料：已知函数$f(x)=x^3 - 3x^2 + 2x$。
w10. （20分）
（1）（10分）求函数$f(x)$的单调区间。
（2）（10分）求函数$f(x)$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。

材料：设$F(x)=\int_{0}^{x}(t^2 - 2t + 1)dt$。
w11. （20分）
（1）（10分）求$F(x)$的表达式。
（2）（10分）求$F(x)$的极值。

答案：
w1. B
w2. B
w3. B
w4. A
w5. A
w6. B
w7. 当$x\to0$时，$\sin x\sim x$，所以$\sin 3x\sim 3x$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。
w8. 根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，$y^\prime=(x^2)^\prime\ln x + x^2(\ln x)^\prime = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x + x$。
w9. 利用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = e^x dx$，则$du = 2x dx$，$v = e^x$，$\int_{0}^{1}x^2e^x dx = [x^2e^x]_0^1 - \int_{0}^{1}2xe^x dx$，再对$\int_{0}^{1}2xe^x dx$用分部积分法，设$u = 2x$，$dv = e^x dx$，则$du = 2dx$，$v = e^x$，可得结果为$2$。
w10. （1）$f^\prime(x)=3x^2 - 6x + 2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x = 1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。单调递增区间为$(0, 1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$和$(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$，单调递减区间为$(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$。（2）$f(0)=0$，$f(2)=0$，$f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$，$f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$，最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{9}(1 - \frac{\sqrt{3}}{3})$，最小值为$-\frac{2\sqrt{3}}{9}(1 + \frac{\sqrt{3}}{3})$。
w11. （1）$F(x)=\int_{0}^{x}(t^2 - 2t + 1)dt = [\frac{1}{3}t^3 - t^2 + t]_0^x=\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x$。（2）$F^\prime(x)=x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，令$F^\prime(x)=0$，得$x = 1$。当$x\lt1$时，$F^\prime(x)\gt0$，当$x\gt1$时，$F^\prime(x)\gt0$，所以$x = 1$不是极值点，$F(x)$无极值。