2025年大三（统计学）数理统计考核题.doc

2025年大三（统计学）数理统计考核题

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，X̅为样本均值，S²为样本方差，则下列说法正确的是（ ）
A. X̅服从正态分布N(μ,σ²/n)
B. nS²/σ²服从自由度为n-1的χ²分布
C. (X̅-μ)/(S/√n)服从自由度为n-1的t分布

D. 以上都不对
答案：A

2. 在假设检验中，显著性水平α的意义是（ ）
A. 原假设H₀成立，经检验被拒绝的概率
B. 原假设H₀成立，经检验不能被拒绝的概率
C. 原假设H₀不成立，经检验被拒绝的概率
D. 原假设H₀不成立，经检验不能被拒绝的概率
答案：A

3. 已知总体X的均值μ和方差σ²都存在，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值X̅和样本方差S²，则μ的无偏估计量是（ ）
A. X̅
B. S²
C. (X₁+X₂)/2
D. 以上都不是
答案：A

4. 对于回归直线方程ŷ = b₀ + b₁x，以下说法错误的是（ ）
A. b₁表示x每变动一个单位，ŷ的平均变动值
B. b₀是回归直线在y轴上的截距
C. 回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)
D. 回归直线方程是通过最小二乘法得到的，使得样本点到直线的垂直距离平方和最小
答案：D

5. 设X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，总体均值为μ，样本均值为X̅，则样本均值X̅的方差为（ ）
A. σ²/n
B. σ²
C. σ²/(n-1)
D. 以上都不对
答案：A

6. 在一元线性回归分析中，判定系数R²的取值范围是 ）
A. [0,1]
B. (-∞,1]
C. [0,+∞)
D. (-∞,+∞)
答案：A

7. 已知样本容量n = 16时，样本均值X̅ = 20，样本标准差S = 4，则总体均值μ的置信度为0.9置信区间为（ ）（t₀.₀₅(15) = 1.7531）
A. (18.2469,21.7531)
B. (19.7531,20.2469)
C. (18.3469,21.6531)
D. (19.6531,20.3469)
答案：A

8. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的最大似然估计量是（ ）
A. X̅
B. S²
C. 1/X̅
D. 以上都不是
答案：A

9. 在方差分析中，检验统计量F的值越大，说明（ ）
A. 组间方差越大
B. 组内方差越大
C. 因素的影响越显著
D. 因素的影响越不显著
答案：C

10. 已知总体X服从正态分布N(0,1)，X₁,X₂,X₃是来自总体X的数据，则Y = X₁²+X₂²+X₃²服从（ ）分布
A. 正态分布
B. χ²分布，自由度为1
C. χ²分布，自由度为3
D. t分布，自由度为3
答案：C

第II卷（非选择题 共70分）

（一）填空题（共15分）
答题要求：本大题共5小题，每小题3分。请将答案填写在题中的横线上。

1. 设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，样本均值X̅ = 10，样本方差S² = 4，n = 25，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________。（t₀.₀₂₅(24) = 2.0639）
答案：(9.1653,10.8347)

2. 在假设检验中，若原假设H₀为真，拒绝原假设的概率称为________________。
答案：第一类错误（或弃真错误）

3. 已知总体X的概率密度函数为f(x) = 2x, 0 < x < 1，则总体均值E(X) = ________________。
答案：2/3

4. 在一元线性回归模型y = β₀ + β₁x + ε中，ε服从________________分布。
答案：正态分布

5. 设总体X服从参数为p的0-1分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则p的最大似然估计量是________________。
答案：X̅

（二）简答题（共15分）
答题要求：本大题共3小题，每小题5分。简要回答问题。

1. 简述无偏估计量的定义。
答案：设θ̂是总体参数θ的估计量，若E(θ̂) = θ，则称θ̂是θ的无偏估计量。即无偏估计量的均值等于被估计的总体参数。

2. 简述假设检验的基本步骤。
答案：（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；（2）选择合适的检验统计量；（3）确定显著性水平α；（4）根据样本数据计算检验统计量的值；（5）根据检验统计量的值与临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决策。

3. 简述方差分析的基本思想。
答案：方差分析的基本思想是将总变异分解为各个因素的变异，通过比较各因素变异与随机误差变异的大小，来判断各因素对观测变量是否有显著影响。通过计算F统计量，比较组间方差与组内方差的比值，若F值大于临界值，则认为因素对观测变量有显著影响。

（三）计算题（共20分）
答题要求：本大题共2小题，每小题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 设总体X服从正态分布N(μ,1)（μ未知），X₁,X₂,X₃是来自总体X的样本，考虑μ的三个估计量：
θ̂₁ = (X₁+X₂)/2，θ̂₂ = (X₁+2X₂)/3，θ̂₃ = (X₁+X₂+X₃)/3。
（1）证明θ̂₁,θ̂₂,θ̂₃都是μ的无偏估计量；
（2）比较θ̂₁,θ̂₂,θ̂₃的有效性。
答案：（1）证明：E(θ̂₁) = E((X₁+X₂)/2) = (E(X₁)+E(X₂))/2 = (μ+μ)/2 = μ，所以θ̂₁是的无偏估计量；同理可证E(θ̂₂) = μ，E(θ̂₃) = μ，所以θ̂₂,θ̂₃都是μ的无偏估计量。
（2）计算方差：D(θ̂₁) = D((X₁+X₂)/2) = (D(X₁)+D(X₂))/4 = (1+1)/4 = 1/2；D(θ̂₂) = D((X₁+2X₂)/3) = (D(X₁)+4D(X₂))/9 = (1+4)/9 = 5/9；D(θ̂₃) = D((X₁+X₂+X₃)/3) = (D(X₁)+D(X₂)+D(X₃))/9 = (1+1+1)/9 = 1/3。因为D(θ̂₃) < D(θ̂₁) < D(θ̂₂)，所以θ̂₃最有效。

2. 对某地区10户家庭的月收入x（单位：千元）和月消费y（单位：千元）进行调查，得到数据如下：
(1,0.8),(2,1.5),(3,2),(4,2.5),(5,3),(6,3.5),(7,4),(8,4.5),(9,5),(10,5.5)。
求月消费y关于月收入x的线性回归方程。
答案：首先计算x̅ = (