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2025年大学逻辑学（数理逻辑研究）试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共40分）
答题要求：本卷共20题，每题2分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。

1. 下列关于命题逻辑的说法，正确的是（ ）
A. 命题逻辑主要研究命题之间的真假关系
B. 命题逻辑只关注命题的形式，不考虑其内容
C. 命题逻辑中的推理规则是基于命题的真值表推导出来的
D. 以上说法都正确

2. 以下哪个是合式公式（ ）
A. p ∧ q → r
B. p ∧ (q → r)
C. (p ∧ q) → r
D. 以上都是

3. 对于命题p：“今天是晴天”，命题q：“明天会下雨”，那么“今天是晴天且明天会下雨”可以表示为（ ）
A. p ∨ q
B. p ∧ q
C. p → q
D. p ↔ q

4. 在命题逻辑中，以下哪个是重言式（ ）
A. p ∧ ¬p
B. p ∨ ¬p
C. p → ¬p
D. ¬p → p

5. 已知p → q为真，¬p为真，则q的真值为（ ）
A. 真
B. 假
C. 不确定
D. 以上都不对

6. 下列关于谓词逻辑的说法错误的是（ ）
A. 谓词逻辑引入了个体词、谓词和量词
B. 谓词逻辑能够更精确地表达自然语言中的命题
C. 谓词逻辑中的量词只有全称量词和存在量词
D. 谓词逻辑可以处理命题之间的复杂关系

7. 设个体域为所有人的集合，F(x)表示“x是学生”，G(x)表示“x是勤奋的”，则“有的学生是勤奋的”可以表示为（ ）
A. ∀x(F(x) → G(x))
B. ∃x(F(x) ∧ G(x))
C. ∀x(F(x) ∧ G(x))
D. ∃x(F(x) → G(x))

8. 在谓词逻辑中，以下哪个公式是有效的（ ）
A. ∀x(F(x) → G(x)) ∧ ∀x F(x) → ∀x G(x)
B. ∀x(F(x) → G(x)) ∧ ∃x F(x) → ∃x G(x)
C. ∃x(F(x) → G(x)) ∧ ∀x F(x) → ∃x G(x)
D. 以上都是

9. 命题“如果一个数是偶数，那么它能被2整除”的逆否命题是（ ）
A. 如果一个数能被2整除，那么它是偶数
B. 如果一个数不是偶数，那么它不能被2整除
C. 如果一个数不能被2整除，那么它不是偶数
D. 以上都不对

10. 已知p ∨ q为真，p ∧ q为假，¬p为真，则q的真值为（ ）
A. 真
B. 假
C. 不确定
D. 以上都不对

11. 在命题逻辑中，以下哪个推理规则是正确的（ ）
A. 肯定前件式：(p → q) ∧ p → q
B. 否定后件式：(p → q) ∧ ¬q → ¬p
C. 析取三段论：(p ∨ q) ∧ ¬p → q
D. 以上都是

12. 设个体域为整数集，F(x)表示“x是奇数”，G(x)表示“x是偶数”，则“所有奇数都不是偶数”可以表示为（ ）
A. ∀x(F(x) → ¬G(x))
B. ∀x(F(x) ∧ ¬G(x))
C. ∃x(F(x) → ¬G(x))
D. ∃x(F(x) ∧ ¬G(x))

答案：1. D 2. D 3. B 4. B 5. A 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. A

第II卷（非选择题 共60分）
答题要求：请将答案写在相应的位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13. （10分）用真值表证明(p → q) ∧ (q → r) → (p → r)是重言式。

14. （10分）在谓词逻辑中，将下列命题符号化：“所有的鸟都会飞，鸵鸟是鸟，所以鸵鸟会飞 ”。

15. （10分）已知p → q为真，¬q为真，求p的真值，并说明理由。

16. （15分）材料：在一次逻辑推理比赛中，有三位选手甲、乙、丙，他们进行了如下的推理：甲说：“如果今天是星期一，那么明天是星期二。”乙说：“如果明天是星期二，那么今天是星期一。”丙说：“今天不是星期一。”已知只有一人的推理是正确的，且今天确实是星期一。请分析哪位选手的推理正确，并说明理由。

17. （15分）材料：在一个学术研讨会上，有学者提出了一个观点：“所有的科学家都是勤奋的，有些勤奋的人是成功的，所以有些科学家是成功的。”请你判断这个推理是否正确，并说明依据谓词逻辑的相关知识进行分析。

答案：
13. 列出(p → q) ∧ (q → r) → (p → r)的真值表：
|p|q|r|p → q|q → r|(p → q) ∧ (q → r)|p → r|(p → q) ∧ (q → r) → p → r)|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|0|0|0|1|1|1|1|1|
|0|0|1|1|1|1|1|1|
|0|1|0|1|0|0|1|1|
|0|1|1|1|1|1|1|1|
|1|0|0|0|1|0|0|1|
|1|0|1|0|1|0|1|1|
|1|1|0|1|0|0|0|1|
|1|1|1|1|1|1|1|1|
通过真值表可知，该公式在所有情况下都为真，所以是重言式。

14. 设F(x)表示“x是鸟”，G(x)表示“x会飞”，a表示“鸵鸟”。则命题可符号化为：(∀x(F(x) → G(x)) ∧ F(a)) → G(a)。

15. 因为p → q为真，¬q为真，根据否定后件式推理规则，可得¬p为真，所以p的真值为假。理由是在命题逻辑中，当p → q为真且¬q为真时，根据推理规则可推出¬p为真，即p为假。

16. 甲的推理正确。甲说：“如果今天是星期一，那么明天是星期二。这是一个充分条件假言命题，今天是星期一确实能推出明天是星期二，所以甲的推理正确。乙说：“如果明天是星期二，那么今天是星期一。这是一个必要条件假言命题，明天是星期二不能必然推出今天是星期一。丙说：“今天不是星期一。这与已知今天确实是星期一矛盾。所以只有甲的推理正确。

17. 这个推理不正确。设F(x)表示“x是科学家”，G(x)表示“x是勤奋的”，H(x)表示“x是成功的”。原推理可符号化为：(∀x(F(x) → G(x)) ∧ ∃x(G(x) ∧ H(x))) → ∃x(F(x) ∧ H(x))。根据谓词逻辑的推理规则，由前提只能推出存在某个勤奋的人是成功的，但不能直接得出有些科学家是成功的，所以该推理不正确。