2025年大学（逻辑学）数理逻辑期末试题及答案.doc

2025年大学（逻辑学）数理逻辑期末试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
答题要求：本部分共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。

1. 以下关于命题逻辑中合式公式的说法，正确的是（ ）
A. 单个命题变项不是合式公式
B. 若A是合式公式，则(¬A)也是合式公式
C. 若A和B是合式公式，则(A∧B→)是合式公式
D. 合式公式的定义与命题的真假有关

2. 在谓词逻辑中，下列哪个表达式是正确的（ ）
A. ∀x(F(x)→G(x))→∃x(F(x)∧G(x))
B. ∃x(F(x)∧G(x))→∀x(F(x)→G(x))
C. ∀x(F(x)∧G(x))→∃x(F(x)→G(x))
D. ∃x(F(x)→G(x))→∀x(F(x)∧G(x))

3. 对于逻辑联结词“→”，其真值表中当p为假，q为真时，p→q的值为（ ）
A. 真
B. 假
C. 不确定
D. 有时真有时假

4. 下列哪个公式是重言式（ ）
A. p∧¬p
B. p∨¬p
C. p→¬p
D. ¬p→p

5. 在自然推理系统中，若要证明A→B，可采用的规则是（ ）
A. 肯定前件式
B. 否定后件式
C. 附加前提证明法
D. 以上都可以

6. 设个体域为自然数集，F(x)表示“x是偶数”，G(x)表示“x是奇数”，则下列命题为真的是（ ）
A. ∀x(F(x)∨G(x))
B. ∃x(F(x)∧G(x))
C. ∀x(F(x)→G(x))
D. ∃x(G(x)→F(x))

第II卷（非选择题 共70分）

（一）填空题（共10分）
答题要求：本部分共2题，每题5分。请将正确答案填在横线上。

1. 命题公式(p∧q)→r的成真赋值为____________________。

2. 在谓词逻辑中，量词的辖域是指______

（二）简答题（共20分）
答题要求：本部分共2题，每题10分。简要回答问题。

1. 简述逻辑联结词“∧”“∨”“¬”的含义及真值表。

2. 说明自然推理系统中推理规则的作用。

（三）证明题（共20分）
答题要求：本部分共2题，每题10分。写出详细的证明过程。

1. 证明：(p→q)∧(q→r)→(p→r)

2. 已知个体域为整数集，F(x,y)表示“x大于y”，证明：∀x∃yF(x,y)→∃y∀xF(x,y)不成立。

（四）分析题（共10分）
答题要求：本部分共1题，10分。阅读以下材料，回答问题。
材料：在一次逻辑推理比赛中，有三位选手甲、乙、丙，他们分别进行了如下推理：
甲：如果今天下雨，那么地面会湿。今天下雨了，所以地面湿了。
乙：只有努力学习，才能取得好成绩。我取得了好成绩，所以我努力学习了。
丙：要么是A队赢，要么是B队赢。A队没赢，所以B队赢了。

请分析甲、乙、丙三人的推理分别运用了什么逻辑推理规则，并判断其推理是否正确。

（五）应用题（共10分）
答题要求：本部分共1题，10分。阅读以下材料，回答问题。
材料：某公司要从赵、钱、孙、李、周、吴六位员工中挑选若干人出国考察。已知：
（1）赵、钱两人中至少去一人；
（2）赵、周不能同时去；
（3）钱、孙两人中去一人
（4）孙、李两人中同去或同不去；
（5）若周去，则赵、李也同去；
（6）吴不去则李不去。

请根据上述条件，分析该公司可能的人员选派方案。

答案：
第I卷
1. B
2. B
3. A
4. B
5. D
6. A

第II卷
（一）填空题
1. 000、001、010、011、100、101、110、111
2. 量词后面紧接着的公式

（二）简答题
1. “∧”表示合取，当且仅当p、q都为真时，p∧q为真，其余为假；“∨”表示析取，当且仅当p、q都为假时，p∨q为假，其余为真；“¬”表示否定，p为真时¬p为假，p为假时¬p为真。真值表略。

2. 推理规则用于保证从前提推出结论的过程具有逻辑性和有效性，使得推理结果是可靠且符合逻辑规律的。

（三）证明题
1. 证明：
1. 假设(p→q)∧(q→r)为真。
2. 由合取命题的性质可得p→q为真且q→r为真。
3. 已知p，根据p→q，由肯定前件式可得q。
4. 再由q及q→r，根据肯定前件式可得r。
5. 所以(p→q)∧(q→r)→(p→r)。
2. 证明：
1. ∀x∃yF(x,y)表示对于任意整数x，都存在整数y使得x大于y。
2. ∃y∀xF(x,y)表示存在整数y，使得对于任意整数x都有x大于y，这显然是不可能的。
3. 例如当x = 1时，不存在一个固定的y使得对于所有整数x都满足x大于y。所以∀x∃yF(x,y)→∃y∀xF(x,y)不成立。

（四）分析题
甲运用了肯定前件式，推理正确。因为前提“如果今天下雨，那么地面会湿”和“今天下雨了”，符合肯定前件式规则，能得出“地面湿了”的结论。
乙运用了肯定后件式，推理正确。前提“只有努力学习，才能取得好成绩”和“我取得了好成绩”, 符合肯定后件式规则，能得出“我努力学习了” 的结论。
丙运用了不相容选言推理的否定肯定式，推理正确。前提 “要么是A队赢，要么是B队赢”和“A队没赢”，符合该推理规则，能得出“B队赢了”的结论。

（五）应用题
1. 由条件（1），赵、钱至少去一人，有三种情况：赵去钱不去、钱去赵不去、赵钱都去。
- 若赵去钱不去，由（2）周不能去，由（3）孙去，由（4）李去，由（5）矛盾，此情况不成立。
- 若钱去赵不去，由（3）孙不去，由（4）李不去，由（6）吴不去，此情况不成立。
- 若赵钱都去，由（2）周不去，由（3）孙不去，由（4）李不去，由（6）吴不去，此情况不成立。
2. 所以可能的选派方案有：赵钱孙李去，周吴不去；赵钱李去，孙周吴不去；赵钱去，孙李周吴不去。