2026下半年教师资格证（高中数学）核心考点冲刺手册.doc

2026下半年教师资格证（高中数学）核心考点冲刺手册

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第I卷（选择题 共30分）
（总共6题，每题5分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案的序号填在括号内）

w1. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$在区间$[1, +\infty)$上的单调性是（ ）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 先增后减
D. 先减后增

w2. 若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=x,1)$，且$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$x$的值为（ ）
A. -2
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$

w3. 设$A$、$B$是两个非空集合，定义$A - B = \{x|x\in A且x\notin B\}$。已知$A = \{x|x^2 - 2x - 3\gt0\}$，$B = \{x|x^2 + ax + b\leq0\}$，若$A - B = (3, +\infty)$，$A\cup B = R$，则$a + b$的值为（ ）
A. -7
B. -5
C. 5
D. 7

w4. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一条渐近线方程为$y = \frac{4}{3}x$，则双曲线的离心率为（ ）
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{3}{4}$

w5. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2a_n + 1$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（ ）
A. $a_n = 2^n - 1$
B. $a_n = 2^n + 1$
C. $a_n = 2^{n - 1}$
D. $a_n = 2^{n - 1} + 1$

w6. 已知函数$f(x)=\sin(\omega x + \varphi)$（$\omega\gt0$，$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$）的最小正周期为$\pi$，且$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$，则$f(x)$的图象的一条对称轴方程为（ ）
A. $x = \frac{\pi}{3}$
B. $x = \frac{\pi}{6}$
C. $x = \frac{\pi}{12}$
D. $x = -\frac{\pi}{12}$

第II卷（非选择题 共70分）

填空题（共20分）
（总共4题，每题5分，请将答案填在横线上）

w7. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 1, & x\leq0 \\ \log_2x, & x\gt0\end{cases}$，则$f(f(\frac{1}{8}))$的值为______。

w8. 已知椭圆$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$上一点$P$到椭圆一个焦点的距离为$3$，则$P$到另一个焦点的距离为______。

w9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$Sn = n^2 + 2n$，则$a_n$的通项公式为______。

w10. 已知函数$f(x)=x^3 - 3x^2 + 2$，则$f(x)$在区间$[-1,2]$上的最大值为______。

解答题（共20分）
（总共2题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

w11. 已知函数$f(x)=\cos^2x + \sqrt{3}\sin x\cos x$。
（1）求$f(x)$的最小正周期；
（2）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$上的最大值和最小值。

w12. 已知直线$l$过点$P(1,1)$且与圆$C:x^2 + y^2 = 4$相交于$A$、$B$两点，弦长$|AB| = 2\sqrt{3}$。
（1）求直线$l$的方程；
（2）求圆心到直线$l$的距离。

材料分析题（共15分）
阅读以下材料，回答问题。

材料：在高中数学教学中，数列是一个重要的内容。数列不仅与函数等知识有着紧密的联系，还在实际生活中有广泛的应用。比如，在银行存款利息计算、人口增长预测等方面都能用到数列知识。已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2a_n + 1$。

w13. （5分）求数列$\{a_n\}$的通项公式，并说明求解过程中用到的方法。

w14. （10分）请结合材料，谈谈数列在实际生活中的应用，并举例说明。

教学设计题（共15分）
w15. 请设计一份关于“等比数列”的教学教案，要求包含教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程以及教学反思。

答案：
w1. B
w2. A
w3. A
w4. A
w5. A
w6. C
w7. 0
w8. 7
w9. a_n = 2n + 1
w10. 2
w11. （1）f(x)=\frac{1 + \cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}，最小正周期T=\pi。（2）当x\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]时，2x+\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]，f(x)最大值为\frac{3}{2}，最小值为0。
w12. （1）当直线斜率不存在时，方程为x = 1，满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y - 1 = k(x - 1)，利用弦长公式求出k = 0，直线方程为y = 1。所以直线l方程为x = 1或y = 1。（2）圆心到直线x = 1距离为1，到直线y = 1距离为1。
w13. 由a_{n + 1} = 2a_n + 1得a_{n + 1}+1 = 2(a_n + 1)，所以数列{a_n + 1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a_n + 1 = 2^n，即a_n = 2^n - 1。用到了构造法。
w14. 数列在银行存款利息计算中，如复利计算。设本金为a_0，年利率为r，存期为n年，则n年后本息和a_n = a_0(1 + r)^n。在人口增长预测方面，若初始人口为a_1，年增长率为p，经过n年后人口数a_n = a_1(1 + p)^n。
w15. 教学目标：理解等比数列概念，掌握通项公式等。教学重难点：重点是等比数列定义和通项公式，难点是通项公式推导。教学方法：讲授法、讨论法等。教学过程：导入通过实例引入，讲解定义通项公式等，练习巩固。教学反思：反思教学方法是否得当，学生掌握情况等。