大学（数学与应用数学）高等数学基础2026年阶段测试题及答案.doc

大学（数学与应用数学）高等数学基础2026年阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填入括号内）
1. 函数$f(x)=\frac{1}{x - 2}$的定义域是（ ）
A. $x\neq2$ B. $x\gt2$ C. $x\lt2$ D. $x\geq2$
2. 当$x\to0$时，下列函数中与$x$等价的无穷小是（ ）
A. $\sin2x$ B. $1 - \cos x$ C. $\ln(1 + x)$ D. $e^x - 1$
3. 已知函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0 + h)-f(x_0 - h)}{h} =$（ ）
A. 2 B. 4 C. 0 D. 1
4. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$的拐点是（ ）
A. $(0,1)$ B. $(1, - 1)$ C. $(2, - 3)$ D. $(3,1)$
5. 函数$f(x)=\int_{0}^{x}t^2dt$，则$f^\prime(1) =$（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 设$f(x)$是连续函数，且$\int_{0}^{1}f(x)dx = a$，则$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}f(x)f(y)dy =$（ ）
A. $a^2$ B. $\frac{a^2}{2}$ C. $a$ D. $\frac{a}{2}$
7. 向量$\vec{a}=(1,2, - 1)$，$\vec{b}=(2, - 1,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b} =$（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 平面$2x + 3y - z = 0$的法向量是（ ）
A. $(2,3, - 1)$ B. $(2,3,1)$ C. $( - 2, - 3,1)$ D. $( - 2,3,1)$
9. 幂级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 微分方程$y^\prime + 2y = 0$的通解是（ ）
A. $y = Ce^{-2x}$ B. $y = C\sin2x$ C. $y = C\cos2x$ D. $y = Ce^{2x}$

二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）
1. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 1, & x\leq0 \\ 2x, & x\gt0\end{cases}$，则$f(f(-1)) =$______。
2. $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x} =$______。
3. 函数$y = x^3 - 3x$在区间$[ - 2,2]$上的最大值是______。
4. $\int_{0}^{1}e^xdx =$______。
5. 已知向量$\vec{a}=(m,2,1)$，$\vec{b}=(2,n, - 2)$相互垂直，则$mn =$______。

三、判断题（总共5题，每题2分，请判断下列命题的真假，在括号内填“√”或“×”）
1. 若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增，则$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$内恒成立。（ ）
2. 若$f(x)$是奇函数，则$\int_{ - a}^{a}f(x)dx = 0$（$a\gt0$）。（ ）
3. 两个向量的数量积大于0，则这两个向量夹角为锐角。（ ）
4. 幂级数$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nx^n$在收敛区间内绝对收敛。（ ）
5. 微分方程$y^{\prime\prime}+y = 0$的解是周期函数。（ ）

四、简答题（总共3题，每题10分，请简要回答下列问题）
1. 简述函数极限的定义，并举例说明如何利用定义证明函数极限。
2. 请说明罗尔定理的条件和结论，并举例说明其应用。
3. 如何求多元函数的偏导数？请结合一个具体例子进行说明。

五、计算题（总共3题，每题10分，请写出详细的计算过程）
1. 求函数$y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$的导数。
2. 计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx$。
3. 已知向量$\vec{a}=(1,1, - 1)$，$\vec{b}=(2, - 1,1)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角。

答案：
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4. B
5. A
6. B
7. A
8. A
9. A
10. A

二、填空题
1. 5
2. 3
3. 2
4. $e - 1$
5. 0

三、判断题
1. ×
2. √
3. ×
4. √
5. √

四、简答题
1. 函数极限定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\epsilon$（无论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0\lt|x - x_0|\lt\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|\lt\epsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限。例如证明$\lim\limits_{x\to1}(2x + 1)=3$，按定义找到合适的$\delta$即可。
2. 罗尔定理条件：函数$f(x)$满足在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$。结论：在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=0$。应用：如$f(x)=x^2 - 2x + 1$在$[0,2]$上，验证满足条件，可得$f^\prime(x)=2x - 2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x = 1\in(0,2)$。
3. 求多元函数偏导数时，对某一变量求偏导，将其他变量视为常数。例如$z = x^2y + 3y^2$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$时，把$y$看作常数，得$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$；求$\frac{\partial z}{\partial y}$时，把$x$看作常数，得$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2 + 6y$。

五、计算题
1. 对$y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$使用除法求导公式$(u/v)^\prime=(u^\prime v - uv^\prime)/(v^2)$，$u = x^2 + 1$，$u^\prime = 2x$，$v = x - 1$，$v^\prime = 1$，则$y^\prime=\frac{2x(x - 1)-(x^2 + 1)\times1}{(x - 1)^2}=\frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}=\frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$。
2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1 - \cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin\pi-(0 - \frac{1}{2}\sin0))=\frac{\pi}{4}$。
3. 先求$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2 + 1\times(-1)+(-1)\times1 = 0$，设夹角为$\theta$，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^