不定积分-(公式大全).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第5章 不定积分,5.1 原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分,通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数,yf(x)出发，去求它的导数f(x),那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发，,反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?,定义,已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。,.,例1 求下列函数的一个原函数：,f(x)2x f(x)cosx,解：(x,2,)2x,x,2,是函数2x的一个原函数,(sinx)cosx,sinx是函数cosx的一个原函数,这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数,的原函数不是唯一的。,例如在上面的中，还有(x,2,1)2x，,(x,2,1)2x,所以 x,2,、x,2,1、x,2,1、x,2,C(C为任意常数),都是函数f(x)2x的原函数。,.,定理5.1,设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，,C是一个任意常数，那么，,F(x)C也是f(x),在该区间I上,的原函数,f(x),该在区间I上的全体原函数可以表示,为F(x)C,证明：,F(X)CF(x)(C)f(x),F(x)C也是f(x)的原函数,略这说明,函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它,就有无穷多个原函数,，,它们都可以表示为F(x)C的,形式。,定义5.2,函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，,记作f(x)dx，,其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积,分变量。,求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，,因此，f(x)dxF(x)C,其中C是任意常数，叫做积分常数。,.,例2 求下列不定积分,x,5,dx sinxdx,解：,是x,5,的一个原函数,cosx是sinx的一个原函数,.,二、不定积分的几何意义,设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线yF(x),称为f(x)的一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把曲,线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分,的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲,线族。,例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。,解：设所求曲线为yf(x)，则f(x)2x，,故yx,2,C，,曲线过点(1,0)以x1、y0代入得01,2,C，,解得C1，,因此，所求曲线为yx,2,1。,.,三、基本积分公式,由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本,求导公式反推，可得基本积分公式,dxxC x,dx (-1),e,x,dxe,x,C,sinxdxcosxC cosxdxsinxC,sec,2,xdxtanxC csc,2,xdxcotxC,.,说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数,的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。,注意,不能认为 arcsinxarccosx，他们之间,的关系是 arcsinx2arccosx,.,四、不定积分的性质,f(x)dxf(x),该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，,所得结果仍为f(x),F(x)dxF(x)C,该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，,所得结果与F(x)相差一个常数C,kf(x)dxkf(x)dx(k为常数),该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以,提到积分号的前面,f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx,该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于,这两个函数的不定积分的和或差,.,五、基本积分公式的应用,例7 求(9x,2,8x)dx,解：(9x,2,8x)dx9x,2,dx8xdx,33x,2,dx42xdx3x,3,4x,2,C,例11 求3,x,e,x,dx,.,5.2 不定积分的计算,一、直接积分法,对被积函数进行简单的恒等变形后直接用,不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定,积分的方法称为直接积分法。,运用直接积分法可以求出一些简单函数的,不定积分。,.,.,一、第一换元法(凑微分法),如果被积函数的自变量与积分变量不相同，,就不能用直接积分法。,例如求cos2xdx，被积函数的自变量是2x，,积分变量是x。,这时，我们可以设被积函数的自变量为u，,如果能从被积式中分离出一个因子u(x)来，,那么根据f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C,就可以求出不定积分。,这种积分方法叫做,凑微分法,。,.,讲解例题,例2 求2sin2xdx,解：设u2x，则du2dx,2sin2xdxsin2x2dxsinudu,cosuCcos2xC,注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。,解：设ux,2,1，则du2xdx,.,解：设ux,2,，则du2xdx,设ucosx，则du-sinxdx,.,当计算熟练后，换元的过程可以省去不写,。,例 求sin,3,xcosxdx,解：sin,3,xcosxdxsin,3,xd(sinx)sin,4,xC,.,二、第二换元积分法,例如，求 ，把其中最难处理的部分换,元，令 则原式 ，再反解xu,2,1，,得dx2udu，代入,这就是,第二换元积分法,。,.,(1)如果被积函数含有 ，可以用xasint换元。,(2)如果被积函数含有 ，可以用xatant换元。,.,(3)如果被积函数含有 ，可以用xasect换元。,.,以下结果可以作为公式使用：,tanxdxln|secx|C,cotdxln|cscx|C,secxdxln|secxtanx|C,cscxdxln|cscxcotx|C,.,5.3 分部积分法,一、分部积分公式,考察函数乘积的求导法则u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),两边积分得,u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx,于是有,u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx,或表示成,u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x),这一公式称为,分部积分公式,。,.,二、讲解例题,例1 求xe,x,dx,解:令 u(x)x，v(x)e,x,则原式为u(x)v(x)dx的形式,(e,x,)e,x,v(x)e,x,，,由分部积分公式有,xe,x,dxxe,x,e,x,dxxe,x,e,x,C,例2 求xcos2xdx,解：令 u(x)x，v(x)cos2x，则v(x)sin2x,于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx,xsin2x cos2xC,.,有时，用分部积分法求不定积分需要连续使,用几次分部积分公式才可以求出结果。,例5：求x,2,e,-2x,dx,解：令u(x)x,2,，v(x)e,-2x,，则v(x),于是,.,由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的,次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分,部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。,为了简化运算过程，下面介绍:,三、分部积分法的列表解法,例如：求 x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导 +积分,2x -cosx,x,2,sinxdx-x,2,cosx-2x(-cosx)dx,.,分部积分法的列表解法,例如：求 x,2,sinxdx,x,2,sinx,求导,积分,2x,-cosx,x,2,sinxdx,-x,2,cosx2xcosxdx,-x,2,cosx2xsinx,-2sinxdx,求导,积分,-sinx,-x,2,cosx2xsinx,2cosxC,求导,积分,+cosx,.,例4,：求xlnxdx,x lnx,求导 积分,1,?,这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。,把lnx放在左边用分部积分法解,：,lnx x,求导 +积分,-,.,一般原则,对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，,指数函数、三角函数应放在右边。,有些单独一个函数的不定积分也要用分部,积分法解。,例3：求lnxdx,lnx 1,求导 +积分,-x,=xlnxdx=xlnxxC,.,例6求arcsinxdx,arcsinx 1,求导 +积分,-x,例7,1,求导 积分,x,.,例8 求e,x,sin3xdx,解：e,x,sin3xdxe,x,sin3x3e,x,cos3xdx,e,x,sin3x3e,x,cos3x9e,x,sin3xdx,移项得,e,x,sin3xdx e,x,(si3nx3cos3x)C,5.4 有理函数积分法,一、有理函数的定义,有理函数是指分子、分母都是多项式的分,式函数，形如,.,二、真分式的部分分式分解,设分子的次数为n，分母的次数为m。,当nm时，该分式称为真分式；,当nm时，该分式称为假分式。,假分式可以写成多项式与真分式的和。,这里主要讲解真分式的部分分式分解。,例分解 成部分分式,解：因为分母含有(x1)的三重因式，所以设,.,等式右边通分后得,比较等式两边分子各项的系数得,1解得：1,3202,30 1,1 2,这种方法称为待定系数法,.,几种简单分式的积分法,一、,.,二、,1.当分子不含一次项时,因为分母中p,2,-4q0，所以分母可以配方成(x-m),2,+n,2,，,再进一步，还可以化成,.,.,2.,当分子含有一次项时，可将分子凑成分母的导数与另一常数之和再分别积分。,.,三、分母可以因式分解的有理函数,1.若被积函数是假分式，先把它分解成一个多项式与一个真分式之和,2.,对于真分式，先将分母因式分解，再用待定系数法化为部分分式之和,3.,对每个最简分式分别求不定积分。,.,.,再如前面举过的例子,求,.,作业,P.253 1，2，4,P.267 2(23)(25),P.273 1 8,P.279 1,4,9,.,