弹性中心法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,All Rights Reserved,.,*,7.7用弹性中心法计算对称无铰拱,一、弹性中心,为了简化计算，采用以下两项简化措施：,第一选取对称的基本结构,力法方程简化为两组独立的方程，即,F,P,F,P,A,B,A,B,对称轴,X,1,X,3,X,2,X,2,All Rights Reserved,.,第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数,d,12,和,d,21,也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程：,F,P,F,P,A,A,B,B,K,EI,=,C,C,x,y,y,y,sO,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,O,All Rights Reserved,.,下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的。,第一步,，把原来的无铰拱换成带刚臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可以相互代替。,F,P,F,P,A,A,B,B,K,EI,=,C,C,x,y,y,y,s,O,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,O,第二步,，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端,O,处切开。,All Rights Reserved,.,第三步,，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点,O,的位置。,副系数,d,12,的算式如下：,F,P,A,B,EIC,O,F,P,A,B,K,C,x,y,y,y,s,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,O,All Rights Reserved,.,式中，,y,S,为刚臂长度；,j,为截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。,x,x,x,y,y,y,y,y,s,K,K,K,X,1,=1,X,1,=1,X,2,=1,X,2,=1,X,3,=1,X,3,=1,x,j,All Rights Reserved,.,令,d,12,=,d,21,=0，便可得到刚臂长度,y,S,为,为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/,EI,的图形，则d,s,/,EI,代表此图中的微面积，而上式就是计算这个图形面积的形心计算公式。,由于此图形的面积与结构的弹性性质,EI,有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为,弹性中心,。,如果求出,y,S,，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图带刚臂的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法就称为,弹性中心法,。,y,s,x,y,y,ds,O,弹性中心,All Rights Reserved,.,二、荷载作用下,力法方程简化为式,当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高,f,l,/5且拱顶截面高度,h,c,l,/10时，还需考虑轴力对,d,22,的影响。即,All Rights Reserved,.,All Rights Reserved,.,由力法方程算出多余未知力,X,1,、,X,2,和,X,3,后，即可用隔离体的平衡条件或内力叠加公式参见单位未知力引起的内力表达式求得,弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。,All Rights Reserved,.,【例7-14】试用弹性中心法计算图示圆拱直墙刚架的弯矩,M,A,和,M,C,。设,EI,=常数。,解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因为,由于荷载对称，故反对称力,X,3,=0,q,q,R,R,A,B,Cd,s,q,d,s,q,d,s,sin,q,q,d,s,cos,q,q,q,q,d,s,d,x,d,y,d,s,x,y,y,s,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,基本体系,All Rights Reserved,.,(1)求弹性中心位置,q,q,R,R,A,B,C,d,s,q,d,s,q,d,s,sin,q,q,d,s,cos,q,q,q,q,d,s,d,x,d,y,d,s,x,y,y,s,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,基本体系,All Rights Reserved,.,(2)计算系数和自由项,由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为,1）在,X,1,=1作用下,直曲杆段,2）在,X,2,=1作用下,曲杆段,直杆段,q,q,d,s,d,x,d,y,d,s,x,y,y,s,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,基本体系,X,2,=1,y,s,y,All Rights Reserved,.,3）在荷载作用下,曲杆段,直杆段,据此，可求得系数和自由项为,q,q,q,q,y,s,y,R,M,P,M,P,(曲杆段),(直杆段),q,All Rights Reserved,.,All Rights Reserved,.,(3)求多余未知力,X,1,和,X,2,(4)根据叠加公式，求得,All Rights Reserved,.,三、温度变化时的计算,无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图示对称无铰拱的外侧温度升高,t,1，内侧温度升高,t,2。力法计算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图所示。由于温度变化对称于,y,轴，因此有,X,3=0，力法方程简化为,x,x,y,s,f,l,/2,l,/2,y,y,+t,1,+t,1,+t,2,+t,2,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,基本体系,All Rights Reserved,.,分别把 、和 、代入式（f），得,于是有,这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力,X,2,。当温度升高时，,X,2,为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，,X,2,为反方向使拱截面内产生拉力。对于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使拱产生裂缝。,All Rights Reserved,.,混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的温度线膨胀系数为,a,=0.00001，而一般混凝土的收缩率,a t,约为0.025%，相当于温度均匀下降25。若拱体的混凝土是分段分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降1015。,All Rights Reserved,.,四、支座移动时的计算,力法方程为,式中自由项为,x,x,y,y,l,/2,l,/2,f,a,a,b,b,q,q,y,s,X,1,X,1,X,2,X,2,X,3,X,3,基本体系,All Rights Reserved,.,求出各单位多余力作用于基本结构时与支座位移相应的支座反力，代入得,X,1,=1,X,2,=1,X,3,=1,1,0,0,1,0,1,0,l,/2,f-y,s,All Rights Reserved,.,于是有,All Rights Reserved,.,与其它超静定结构一样，无铰拱由于温度变化和支座移动引起的内力也与拱的,绝对刚度,有关，且成正比，拱的刚度愈大，由于温度变化或支座移动所引起的自内力也愈大,All Rights Reserved,.,