弹性地基梁理论.ppt

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及,Q,作用下，梁和地基的沉陷为 ，梁与地基之间的反力为 。在局部弹性地基梁的计算中，通常以沉陷函数 作为基本未知量，地基梁在外荷载 、,Q,作用下产生变形，最终处于平衡状态，选取坐标系,xoy,，外荷载，地基反力，梁截面内力及变形正负号规定如右图所示。,10,.,1.,弹性地基梁的挠度曲线微分方程式,为建立 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 ，考察该段的平衡有：,得：,得：,化简得：,将上式对于,x,求导得：,略去二阶微量得：,（,3.2,）,（,3.3,）,（,3.4,）,11,.,如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角,Q,，弯矩,M,，剪力,Q,可按材料力学中的公式来计算，即,:,1.,弹性地基梁的挠度曲线微分方程式,此即为弹性地基梁的挠曲微分方程式,12,.,令 ，若地基梁宽度为,b,，则有,2.,对应齐次微分方程的通解,上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分方程，令式中,，即得对应齐次微分方程：,由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找四个线性无关的特解，令,并代入上式有：,或,由复数开方根公式得：,是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把,称为特征系数,，,称为换算长度。,（,3.7,）,（,3.8,）,（,3.9,）,13,.,2.,对应齐次微分方程的通解,由上式（,3.8,），分别令时,k1,2,3,时，即可得四个线性无关的特解，将其进行组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（,3.7,）的通解；,利用双曲函数关系：,且令,则有,式中,B1,、,B2,、,B3,、及,B4,均为待定积分常数,式（,3.10,）和式（,3.11,）均为微分方程（,3.7,）的通解，在不同的问题中，有各自不同的方便之处。,（,3.10,）,（,3.11,）,14,.,（一）初参数法,3.,初参数解,由式（,3.11,），再据式（,3.5,）有,（,3.12,）,式（,3.12,）中积分常数,B1,、,B2,、,B3,、,B4,的确定是一个重要环节，梁在任一截面都有四个参数量，即挠度,y,、转角 、弯矩,M,、剪力,Q,、而初始截面（,x=o,）的,四个参数 、就叫做初参数。,15,.,用初参数法计算了弹性地基梁的基本思路是，,把四个积分常数改用四个初参数来表示,，这样做的好处是,:,使积分常数具有明确的物理意义,;,根据初参数的物理意义来寻求简化计算的途径。,3.,初参数解,（二）用初参数表示积分常数,如图,3.4,所示，梁左端的四个边界条件（初参数）为,（,3.13,）,将上式代入式（,3.12,），解出积分常数得：,16,.,（,3.14,）,3.,初参数解,再将式（,3.14,）代入式（,3.12,），并注意 ，,则有,（,3.15,）,17,.,3.,初参数解,其中,、称为双曲线三角函数,，它们之间有如下微分关系：,18,.,式（,3.15,）即为,用初参数表示的齐次微分方程的,;,，,该式的一个显著优点是式中每一项都具有明确的物理意义,;,如式（,3.15,）中的第一式中，,表示当原点有单位挠度（其他三个初参数均为零）时梁的挠度方程,，,表示,原点有单位转角时梁的挠度方程,，等等；,另一个显著优点是,，在四个待定常数 、中,有两个参数可由原点端的两个边界条件直接求出，另两个待定初参数由另一端的边界条件来确定,。这样就使确定参数的工作得到了简化。表,3.1,列出了实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值。,3.,初参数解,19,.,3.,初参数解,20,.,式（,3.7,）等价于地基梁仅在初参数作用下的挠曲微分方程，式（,3.6,）等价于地基梁既有初参数作用，又有外荷载作用的挠曲微分方程，其特解项就是仅在外荷载作用下引起的梁挠度的附加项。下面根据梁上作用的各种形式荷载分别加以讨论。,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,（一）集中荷载作用的特解项,1,、集中力作用的特解项。,如图,3.5,为一弹性地基梁，,O,端作用有初参数 、，,A,点有集中力,p,。设,y,1,为,OA,段的挠度表达式，,y,2,为,AB,段的挠度表达式，由梁上无分布荷载作用，故,OA,和,AB,段的挠曲微分方程分别为,21,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,其中式（,3.16a,）的解可用梁端初参数来表示，即,（,3.17,）,式（,3.16b,）的解可用,初参数作用下的解,y,1,与集中力,p,i,单独作用下引起的附加项叠加,，即,将式（,3.18,）代入式（,3.16b,），并注意式（,3.16a,）有,（,3.19,）,比较式（,3.16a,）和式（,3.16b,）知，式（,3.19,）解的形式与式（,3.17,）相同，不同之处是将,x,换为 ，四个初参数应解释为 处的突变挠度 ，转角 ，弯矩,，剪力 ，故有,（,3.20,）,22,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,由,A,点的变形连续条件和受力情况有,代入式（,3.20,）,并据式（3.5,）得,（,3.21,）,当 时，取特解项为零。,23,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,2,、集中力偶,mi,作用的特解项。,由,pi,作用下特解项的推导结果可知，挠度附加项形式与初参数,Q,。作用下的挠度相同，只是坐标起点与符号不同。同理，,在集中力偶,mi,作用下挠度附加项与初参数,M,。作用下挠度也具有相同的形式,，如图,3.6,所示，,Mo=Mi,，,故有,当 时，取特解项为零。,24,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,（二）分布荷载作用下的特解项,分布荷载可分解成多个集中力，按集中力求特解项，为此，在,x,截面左边，离端点的距离为,u,处取微段,du,，微段上荷载为,qdu,，此,微荷载在它右边的截面,x,处引起的挠度特解项,为（如图,3.7,）,而,x,截面以左所有荷载引起的特解项,为,（,3-23,）,下面讨论分布荷载的几种特殊情况。,25,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,1,、均布荷载,如图,3.7,，荷载均布于,ab,段，对于,oa,段显然没有附加项,，当 时，,积分限,是 ，由式（,3.23,）及式（,3.5,）有,（,3.24,）,当 时，,积分限是（,xa,、,xb,），,由式（,3.23,）及式,(3.5),有,（,3.25,）,26,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,当荷载满跨均布时，积分限是（,o,、,x,），故有,3.26,）,2,、三角形分布荷载,如图,3.8,所示，三角形荷载分布于,ab,段，有,(3.27),27,.,当 时，,积分限为,由式（,3.27,）及式（,3.5,）得,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,（,3.28,）,当 时，,积分限是,，同理得,（,3.29,）,28,.,当三角形荷载布满全跨时,，积分限是（,o,、,x,）有,（,3.30,）,3,、梁全跨布满梯形荷载的特解项。,如图,3.9,所示的地基梁在梯形荷载作用下的特解项只须把式,(3.26),与式（,3.30,）,两式叠加即可。,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,29,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,（三）弹性地基梁在 、共同作用下挠曲微分方程的通解,如图,3.10,所示的弹性地基梁，同时作用有,集中力、力偶、均布载、三角载,时，综合各种荷载的影响，就可得出挠度的一般公式，进行微分运算后，还可得出转角、弯矩及剪力的一般公式，即,30,.,4.,弹性地基梁挠曲微分方程的特解,式（,3.31,）中，,当 ，时，,pi,、,mi,两项取值为零,。,（,3.31,）,31,.,4.,弹性地基短梁、长梁及刚性梁,短梁,（又称有限长梁）（图,3.11,（,a,），当弹性地基梁的换算长度 时，属于短梁，它是弹性地基梁的一般情况。,长梁,：无限长梁（图,3.11,（,b,）、半无限长梁（图,3.11,（,c,）当换算长度 时，属于长梁；若荷载作用点距梁两端的换算长度均 时，可忽略该荷载对梁端的影响，这类梁称为无限长梁；若荷载作用点仅距梁一端的换算长度 时，可忽略该荷载对这一端的影响，而对另一端的影响不能忽略，这类梁称为半无限长梁，无限长梁可化为两上半无限长梁。,刚性梁,（,3.11,（,b,），当换算长度 时，属于刚性梁。这时，可认为梁是绝对刚性的，即,EI,或,20,。,上节的结果，能直接用于计算各种几何尺寸及弹性特征值 的弹性地基等截面直梁。在工程实践中，经计算比较及分析表明，可根据不同的换算长度 ，将地基梁进行分类，然后采用不同的方法进行简化。通常将弹性地基梁分为三种类型。,弹性地基梁的分类32,.,长梁、短梁和刚性梁的划分标准主要依据,梁的实际长度与梁和地基的相对刚度之乘积,，划分的目的是为了简化计算。事实上，长梁和刚性梁均可按上一节介绍的公式进行计算，但长梁、刚性梁与短梁相比有其自身的一些特点，较短梁相比，计算可以进一步简化。,33,.,1.,长梁的计算,（一）无限长梁作用集中力,Pi,的计算,如图,3.12,所示，梁上作用有集中力,Pi,，由于力作用点至两端点均满足 ，故把梁看作无限长梁。又因梁上分布荷载 ，为便于分析，现采用梁挠曲方程齐次解式的形式，即,由条件 ；又由对称条件知：考虑地基反力与外载,Pi,的平衡条件：,式（,3.10,）可写为,（,3.32,）,34,.最后可得无限长梁右半部分的挠度、转角、弯矩及剪力：,1.,长梁的计算,（,3.33,）,其中,对于梁的左半部分，只需将式（,3.33,）中,Q,和,改变符号即可。,35,.,（二）无限长梁在集中力偶,mi,作用下的计算,如图,3.13(a),所示无限长梁，作用集中力偶，,尽管,mi,作用点并不一定在梁的对称截面上，但只要,mi,作用点到两端满足 ，则,mi,作用点，就可看作是梁的对称点，因而,可把梁分为两根半无限长梁,（图,3.13(b),、（,c,）,),。梁对称截面上的,反对称条件为,36,.,代入式（,3.10,）得,A1=A2=A3=0,及 ，最后得无限长梁右半部分的变形及内力为：,3.34,）,对于左半部分，只需将上式中,y,与,M,变号即可。,（二）无限长梁在集中力偶,mi,作用下的计算,37,.,（三）半无限长梁作用初参数的计算,如图（,3.14,）所示的半无限长梁，梁端作用,有初参数，因 ，故可借助挠曲方程齐次解的结果，为了方便分析，采用式（,3.11,）的形式：,由 代入上式得,故有,B1=-B3,，,B2=-B4,38,.,再由 得,最后得,（,3.35,）,如梁端作用有初参数 、，则可得 、与 、之间的关系为,（三）半无限长梁作用初参数的计算,39,.,（四）半无限长梁在梯形荷载作用下的计算,如图,3.15,所示的半无限长梁，作用分布荷载,q,、,q,，挠曲方程为式,（,3.7,）。容易验证，是式（,3.7,）的一个特解，故在,梯形分布荷载作用,下半无限长梁任一截面的变形与内力为：,40,.,2.,刚性梁的计算,如图,3.16,所示的则性梁，梁端作用有初参数 和 ，并有梯形分布的荷载作用，显然，,地基反力也呈梯形分布,，,按静定梁的平衡条件，可得刚性梁的变形与内力为：,（,3.37,）,41,.,5.,算例,例题,3.1,如图,3.17,所示，两端自由的弹性地基梁，长,l=4m,，宽,b=0.2m,，,EI=133310,3,N,m,2,，地基的弹性压缩系数,K=4.010,4,kN/m,3,求梁,1,、,2,及,3,截面的弯矩。,42,.,解：,（,1,）判断梁的类型,考虑集中载距右端为,1m,，故属短梁。,（,2,）计算初参数,据式（,3.31,）中,M,、,Q,表达式为,43,.,将各数值代入后得,（,3,）计算各截面的弯矩,44,.,例题,3.2,已知弹性地基梁,DE,，长度,l,及弹性特征系数 为已知，作用荷载如图,3.18,所示，如果 ，试求截面的挠度 、转角 、弯矩 及剪力 。,45,.,解,：,（,1,）由于 ，故为无限长梁,。,（,2,）求出每一荷载单独作用下地基梁的内力和变形，然后再叠加得出地基梁总内力和总变形。应当注意，对于集中力作用情况，要分清所求截面是作用点左边，还是右边，如所求截面在作用点左边，则需将所求得的相应项改变符号。,由式（,3.33,）和式（,3.34,）得,46,.,谢 谢,47,.,