概率统计—第四章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,协方差及相关系数,矩、协方差矩阵,1,.,1.,数学期望,引例,1,分赌本问题,(,产生背景,),A,B,两人赌技相同,各出赌金,100,元,并约定先胜三局者为胜,取得全部,200,元,。,由于出现意,外情况,，,在,A,胜,2,局,B,胜,1,局时,不得不终止赌博,。,如果要分赌金,该如何分配才算公平,?,一、数学期望的概念,2,.,A,胜,2,局,B,胜,1局,前三局,:,后二局,:,把已赌过的三局,(,A,胜,2,局,B,胜,1,局,),与上述结果相结合，,即：,A,、,B,赌完,5,局，并且,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,胜,分析,假设继续赌两局,则结果有以下四种情况,:,A A,A,B,B,A,B B,A,胜,B,负,A,胜,B,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,A,胜,B,负,B,胜,A,负,B,胜,A,负,3,.,因此,A,能“,期望,”得到的数目应为,而,B,能“,期望,”得到的数目为,在赌技相同的情况下,A,B,最终获胜的可能性大小之比为,4,.,因而,A,期望所得的赌金即为,X,的“,期望,”值，它,等于,即为,X,所有,可能值与其概率之积的累加,。,若设随机变量,X,为,“,在,A,胜,2,局,B,胜,1,局的前提下,继续赌下去,A,最终所得的赌金,”,则,X,所取可能值为：,其概率分别为,:,5,.,设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击,90,次,(,命中的环数是一个随机变量,),。射中次数记录如下：,引例,2,射击问题,试问,：,该射手,平均,命中环数是多少,?,命中环数,k,命中次数,频率,6,.,解：,平均射中环数,随机变量,Y,表示“射手射中的环数”,加权平均,7,.,平均射中环数,频率随机波动,随机波动,随机波动,稳定值,“,平均射中环数”的稳定值,射中环数的可能值与其概率之积的累加,Y,的,“数学期望”,8,.,离散型随机变量的数学期望,定义,4.1.1,9,.,分赌本问题,A,期望所得的赌金即为,X,的数学期望,射击问题,“,平均射中环数,”的稳定值,应为随机变量,Y,的数学期望,10,.,关于定义的两点说明,（,1,）,E(X),是一个实数,而非变量,它是一种,加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,也称,均值,。,（,2,）,级数的绝对收敛性,保证了级数的值不随级数各项次序的改变而改变。之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量,X,所有,可能取值的平均,它不应随可能值的排列次序而改变。,11,.,例4.1.1,（射击问题）,甲、乙两个射手，他们射击的分布律分别为,问：哪个射手技术更好？,甲射手,乙射手,12,.,例,4.1.2,（彩票发行）,某一彩票中心发行彩票,10,万张,每张,2,元。设头等奖,1,个,奖金,1,万元；二等奖,2,个,奖金各,5,千元；三等奖,10,个,奖金各,1,千元；四等奖,100,个,奖金各,100,元；五等奖,1000,个,奖金各,10,元。已知每张彩票的成本费为,0.3,元，试计算彩票发行单位的创收利润。,解：,X,表示“每张彩票的中奖额”，,X,的分布律为,每张彩票平均能得到的奖金为,E(X)=0.5,元,13,.,例,4.1.3,（候车时间）,按规定，某车站每天,8:009:00,，,9:0010:00,都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，并且到站的事件都相互独立，其规律为,一旅客,8:20,到车站，求他候车时间的数学期望。,到站时刻,概率,关键是求出候车时间,T,的分布律,14,.,例,4.1.4,（分组验血）,在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此需要抽验,N,个人的血，可用两种方法进行：,(i),将每个人的血分别取验，这需要检验,N,次。,(ii),按,k,个人一组进行分组，把,k,个人抽来的血混合之后检验，如果这组混合血液呈阴性反应，就说明,k,个人的血都呈阴性反应，这样只需化验一次；若呈阳性，则再对,k,个人的血分别化验，这样需要化验,k+1,次。,假设每个人化验呈阳性的概率为,p,，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当,p,较小时，选取适当的,k,，按第二种方法可以减少化验次数，并说明,k,取什么值的时候最适宜。,15,.,解：,X,表示按第二种方法，组内每人需要化验血的次数,16,.,若取,p=0.1,则当,k=4,时,对应的,f(k),取到极小值,最适宜,.,17,.,例,4.1.5,（泊松分布）,设,X,服从指数为,的泊松分布，求,X,的数学期望。,解：,18,.,连续型,随机变量的数学期望,定义,4.1.2,19,.,例,4.1.6,（均匀分布）,设,XU(a,b),，求,X,的数学期望,E(X)20,.,二、随机变量函数的数学期望,21,.,推广,设,Z,是随机变量,X,和,Y,的函数,Z=g(X,Y),其中,g,是连续函数,那么,问：,已知,(X,Y),的联合概率密度,如何计算,E(X),？,22,.,例,4.1.9,设,(X,Y),的分布律为,2,0,-1/15,5,23,.,=,1,24,.,线性性质,注：性质可推广到多个随机变量的情形。,反之不成立！,25,.,例,4.1.12,（将复杂的随机变量进行分解）,设一机场巴士载有,20,位乘客，共有,10,个车站可以下车。如果到达一个车站没人下车就不停车，以,X,表示停车的次数，试求,X,的数学期望,E(X),。,解：,26解：设生产,x,件,获得的利润用随机变量,Q=Q(x),表示,那么,27,.,例,4.1.14(,竞拍问题,),设甲与其他三人参与一个项目的竞拍，价格以千美元计，价格高者获胜。若甲中标，他就将此项目以,10,千美元转让给他人。可认为其他三人的竞拍价是相互独立的，且都在,7 11,千美元之间均匀分布。问：甲应如何报价才能使获益的数学期望为最大。,G(x),概率,E(G(x),的极值问题，解得,x=37/4.,28,.,总结,数学期望,数学期望是一个实数,而非,变量,。,它,是一种,加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了,随机变量,X,取,可能值的,真正的,平均值,。,3,.,数学期望的性质,29,.,练习,:,设,X,服从参数为,p,的两点分布,Yb(n,p),Zg(p),求,E(X),、,E(Y),和,E(Z).,30,.,2.,方差,实例,有两批灯泡,其平均寿命都是,E,(,X,)=1000,小时,.,随机变量与其均值的偏离程度,方差,31,.,一、方差的定义,32,.,二、方差的计算,33,.,例,4.2.1,（离散型随机变量的方差）,设离散型随机变量,X,的概率分布是,PX=0=0.2,PX=1=0.5,PX=2=0.3,求,X,的方差,D(X).,解：根据方差的计算公式,34,.,解：根据方差的计算公式,35,.,三、方差的性质,可推广到,n,个相互独立随机变量的情形,.,36,.,切比雪夫,(Chebyshev),不等式,37,.,38,.,解,例,4.2.4,=2945/9,39,.,四、几种常用随机变量的方差,两点分布,设随机变量,X,服从参数为,p,的两点分布,那么,二项分布,设,Xb(n,p),那么,泊松分布,设,XP(),那么,40,.,分部积分！,41,.,42,.,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,43,.,总结,方差,方差是用来体现随机变量,X,取值分散程度的量,.,如果,D(X),大,表示,X,取值的分散程度大,E(X),的代表性差,;,如果,D(X),小,表示,X,取值集中E(X),的代表性好,.,2,.,方差的计算方法,44,.,3.,方差的性质,前提：,X,和,Y,相互独立！,4.,切比雪夫不等式,45,.,3.,协方差及相关系数,若随机变量,X,和,Y,相互独立,那么,若随机变量,X,和,Y,不相互独立,那么,X,和,Y,的协方差,46,.,注,:,协方差是期望值,因此上面提到的变化趋势是在,平均意义,上而言的。,一、协方差,注,:,正的协方差表示两个随机变量有相同方向的变化趋势,;,负的协方差表示两个随机变量有相反方向的变化趋势。,47,.,协方差的性质,常用计算公式,结论,:,若,X,与,Y,相互独立,则,Cov(X,Y)=0.,反之不成立！,48,49,.,二、相关系数,注,:,X,与,Y,的相关系数又称为,标准协方差,是一个无量纲的量,.,X,与,Y,不相关,50,.,注,:,不相关的意思是不线性相关,也就是不存在线性关系,但有可能存在其他函数关系,.,独立一定不相关,但不相关不一定独立,.,在概率为,1,的意义下,51,.,但,X,与,Y,不相互独立！,52,.,解：,根据协方差的定义,结论,(1),二维正态分布密度函数中的参数,代表了,X,与,Y,的相关系数,.,(2),对二维正态随机变量,(X,Y),来说,X,与,Y,相互独立,=0 X,与,Y,不相关,53,.,Z,的数学期望和方差,;,Cov(X,Z);,=0,54,.,4.,矩、协方差矩阵,55,.,说明,(4),若,XN(0,1),或,t(n),则,X,的奇数阶原点矩为零,.,56,.,定义,4.4.2,（协方差矩阵）,为,n,维随机变量的,协方差矩阵,.,57,.,58,.,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究,59,.,引入矩阵,60,.,由此可得,61,.,62,.,63,.,n,维正态随机变量的性质,64,.,线性变换不变性,65,.,作业：,P114,页第,7,、,14,、,15,、,22,、,26,、,30,、,32,、,34,题。,66,.,