指数型对数型函数模型的应用实例.ppt

第,2,课时 指数型、对数型,函数模型的应用实例,2003,年,5,月,8,日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于,5,月,19,日初步完成了第一批成果，并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要,.,分析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离,1,天，就医人数将增加,1000,人左右；若外界输入,1000,人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数,100,人左右；若,4,月,21,日以后，政府不采取隔离措施，则高峰期病人人数将达,60,万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。,例,1.,按复利计算利息的一种储蓄，本金为,a,元，每期利率为,r,，设本利和为,y,，存期为,x,，写出本利和,y,随存期,x,变化的函数式。如果存入本金,1000,元，每期利率,2.25%,，试计算,5,期后的本利和是多少？,复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为,P,，每期利率为,r,，本利和为,y,存期为,x,则复利函数式为,y=p(1+r),x,.,思路分析,解：,1,期后本利和为,：,2,期后本利和为,：,x,期后，本利和为,：,将,a=1000,元，,r=2.25%,，,x=5,代入上式：,由计算器算得：,y=1117.68,（元）,其中,t,表示经过的时间，表示,t,0,时的人口数，,r,表示人口的年平均增长率,.,例,2.,人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在,1798,年，英国经济学家马尔萨斯（,T.R.Malthus,1766-1834),就提出了自然状态下的人口增长模型：,年份,1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,1958,1959,人数万人,55196,56300,57482,58796,60266,61456,62828,64563,65994,67207,下表是,1950,1959,年我国的人口数据资料：,(1),如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到,0.0001,），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符,;,（,2,）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到,13,亿,?,解,:,（,1,）,设,1951,1959,年的人口增长率分别为,于是,1951,1959,年期间,我国人口的年均增长率为,由,可得,1951,的人口增长率为,同理可得，,根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象,.,令,则我国在,1950,1959,年期间的人口,增长模型为,由图可以看出,所得模型,与,1950,1959,年的实际人口数据基本吻合,.,所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在,1950,年后的第,39,年,(,即,1989,年,),我国的人口就已达到,13,亿,.,由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力,.,（,1,）将,y=130000,代入,由计算器可得,（,2,）海拔为,h,米处的大气压强为,0.5066(10,5,Pa),，,求该处的海拔,h,（,c,k,为常量）,y=ce,kx,在海拔,5(km),处的大气压强为,0.5683(10,5,Pa),，,在海拔,5.5(km),处的大气压强为,0.5366(10,5,Pa),，,（,1,）问海拔,6.712(km),处的大气压强约为多少？,（精确到,0.0001),y,与,x,之间的函数关系式是,是,y(10,5,Pa),，,练习,:,科学研究表明：在海拔,x(km),处的大气压强,解：,(1),把,x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366,代入函数表达式,y=ce,kx,，得：,把,x=6.712,代入上述函数式，得,0.4668(10,5,Pa),答：,6.712(km),高空的大气压强为,0.4668(10,5,Pa).,(2),由,1.01,e,-0.115x,=0.5066,答,:,该处的海拔为,6(km),解得,x=6(km),例,3,以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表,身高,(,cm),体重,(kg),60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,6.13,7.90,9.99,12.15,15.02,17.50,26.86,20.92,31.11,38.85,47.25,55.05,根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高,ykg,与身高,xcm,的函数关系？试写出这个函数的解析式,若体重超过相同身高男性体重平均值的,1.2,倍为偏胖，低于,0.8,倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高,175 cm,体重,78 kg,，他的体重是否正常？,分析：,(1),根据上表的数据描点画出图象（如下）,(2),观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数,y=,a,b,x,来近似反映,.,解：,将已知数据输入计算机，画出图像；,如果取其中的两组数据（,70,，,7.90,）（,160,，,47.25,）,根据图像，选择函数,进行拟合,代入函数,由计算器得,从而函数模型为,将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系,所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为,将,x=175,代人,得,有计算器计算得,y,63.98,，,所以，这个男生体重偏胖,由于,点评：,函数拟合与预测的步骤：,能够根据原始数据、表格,绘出散点图；,通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线,如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的,利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据,因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了,根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式,为常数,),，,已知四月份该产品的产量为,1.37,万件，,请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。,练习：,某工厂今年,1,月、,2,月、,3,月生产某产品分别为,1,万件、,1.2,万件、,1.3,万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量,y,与月份,x,的关系，模拟函数可选用二次函数或,解：,设二次函数为：,由已知得,所以,当,x=4,时，,又对于函数,由已知得：,所以,当,x=4,时，,由四月份的实际产量为,1.37,万件,选用函数 作模拟函数较好。,（,2,）利用待定系数法，确定具体函数模型；,1.,利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法,:,（,3,）对所确定的函数模型进行适当的评价；,（,1,）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；,（,4,）根据实际问题对模型进行适当的修正,.,2.,本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程,.,勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。,