数字电子技术基础全套-2.ppt

第 二 章,-,逻辑代数基础,2.1,数字电路的基础知识,2.2,逻辑代数及其运算规则,2.3,逻辑函数表示方法,2.4,逻辑函数的化简,在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是,逻辑代数,（,布尔代数,或,开关代数,）。,逻辑变量：,用字母表示，取值只有,0,和,1,。,此时，,0,和,1,不再表示数量的大小，,只代表两种不同的状态。,2.1,概述,一,、与逻辑（与运算）,与逻辑：,仅当决定事件（,Y,）发生的所有条件（,A,，,B,，,C,，,）均满足时，事件（,Y,）才能发生。表达式为：,例：开关,A,，,B,串联控制灯泡,Y,A,、,B,都断开，灯不亮。,A,断开、,B,接通，灯不亮。,A,接通、,B,断开，灯不亮。,2.2,逻辑代数中的三种基本运算,A,、,B,都接通，灯亮。,功能表,将开关接通记作,1,，断开记作,0,；灯亮记作,1,，灯灭记作,0,。可以作出如下表格来描述与逻辑关系,：,真值表,两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：,实现与逻辑的电路称为,与门,。,与门的逻辑符号：,二、或逻辑（或运算）,或逻辑：,当决定事件（,Y,）发生的各种条件,A,，,B,，,C,，,),中，只要有一个或多个条件具备，事件（,Y,）就发生。表达式为：,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,功能表,真值表,+,实现或逻辑的电路称为,或门,。,或门的逻辑符号：,Y=A+B,三、非逻辑（非运算）,非逻辑：,指的是逻辑的否定。当决定事件（,Y,）发生的条件（,A,）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：,Y,A,功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为,非门,。,非门的逻辑符号：,Y,A,常用的逻辑运算,1,、,与非运算：,逻辑表达式为：,2,、或非运算：,逻辑表达式为：,3,、异或运算：逻辑表达式为：,异或逻辑的运算规则：,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,0,4,、同或运算：逻辑表达式为：,A,B,异或和同或互为反运算,同或逻辑的运算规则：,0,0=,1,0,1=,0,1,0=,0,1,1,1=,A,0=,A,1=,A,A=,A,A=,A,A,1,0,5,、与或非运算：逻辑表达式为：,2.3,逻辑代数的基本公式和常用公式,一、基本公式,请特别注意与普通代数不同之处,1.,常量之间的关系,2.,基本公式,分别令,A=0,及,A=1,代入这些公式，即可证明它们的正确性。,亦称,非非律,3.,基本定理,利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明,AB=BA,：,求证,:,（,17,式）,A+BC=(A+B)(A+C),证明,:,右边,=(A+B)(A+C),=AA+AB+AC+BC,=A+A(B+C)+BC,=A(1+B+C)+BC,=A,1+BC,=A+BC,=,左边,课本上用真值表证明,二、常用公式,1.,A+,AB,=,2.,A+,A,B=,A,+,A,B=,A(,A,+B)=,A(,A,+B)=,注,:,红色变量被吸收掉！统称,吸收律,注,:,红色变量被吸收掉！统称,吸收律,A,A+B,A+B,AB,AB,证明,:,A+,A,B=(A+,A,),(A+B);,分配律,=1(A+B),=A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3.,A,B,+A,B,=,4.,A(A+,B,),=,证明,:,A(A+,B),=AA+AB,=A+AB,=A(1+B),=A,(A+,B,)(A+,B,)=,注,:,红色变量被吸收掉！也称,吸收律,A,A,A,5.,AB+A,C+,BC,=,证明,:,AB+A,C+BC,=AB+A,C+(A+A,)BC,=AB+A,C+ABC+A,BC,=AB(1+C)+A,C(1+B),=AB+A,C,AB+A,C+,BCD,=,AB+AC,AB+AC,冗余定律,或,多余项定理,或,包含律,(A+B)(A+C),(B+C),=,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C),(B+C+D),=,(A+B)(A+C),冗余定律,或,多余项定理,的其他形式,同理：此多余项可以扩展成其他形式,6.,A,(AB)=,A,(A,B),=,证明,:,A(AB)=A(A+B),=AA+AB,AB,A(AB)=A(A+B),=AA+AB,=A(1+B),=A,AB,A,一、代入定理,任何一个含有变量,A,的等式，如果将所有出现,A,的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。,例如，已知等式 ，用函数,Y=BC,代替等式中的,B,，根据代入定理，等式仍然成立，即有：,2.4,逻辑代数的基本定理,二、反演定理,对于任何一个逻辑表达式,Y,，如果将表达式中,的所有“,”,换成“”，“”换成“,”,，“,0”,换成“,1”,，“,1”,换成“,0”,，,原变量换成反变量，,反变量换成原变量,，那么所得到的表达式就是函,数,Y,的反函数,Y,（或称补函数）。这个规则称为反,演定理。,应用反演定理应注意两点：,1,、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表,达式中，,AB,之间先运算，再和其它变量进行,运算，那么非函数的表达式中，仍然是,AB,之,间先运算。,2,、不属于单个变量上的反号应保留不变。,三、,对偶定理,对于任何一个逻辑表达式,Y,，如果将表达式中的所有“,”,换成“”，“”换成“,”,，“,0”,换成“,1”,，“,1”,换成“,0”,，而,变量保持不变,，则可得到的一个新的函数表达式,Y,D,Y,D,称为,Y,的对偶式。,对偶定理：,如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。,利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。,（,2式,（,12,）式,2.5,逻辑函数及其表示方法,一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。,Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有：,逻辑真值表,（真值表）、,逻辑函数式,（逻辑式或函数式）、,逻辑图,、,波形图,、,卡诺图,及,硬件描述语言,。它们之间可以相互转换。,例：一举重裁判电路,设,A,、,B,、,C,为,1,表示开关闭合，,0,表示开关断开；,Y,为,1,表示灯亮，为,0,表示灯暗。得到函数表示形式：,真值表,函数式,逻辑图,波形图,A,B,CY,t,t,t,t,真值表：,将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,0 1,1 0,A Y,一输入变量，二种组合,A B Y,0 0 1,0 1 1,1 0 1,1 1 0,二输入变量，四种组合,A B C Y,0 0 0 0,0 0 1 0,0 1 0 0,0 1 1 0,1 0 0 0,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 1,三输入变量，八种组合,A B C D Y,0 0 0 0 1,0 0 0 1 0,0 0 1 0 1,0 0 1 1 1,0 1 0 0 0,0 1 0 1 1,0 1 1 0 0,0 1 1 1 1,A B C D Y,1 0 0 0 1,1 0 0 1 1,1 0 1 0 1,1 0 1 1 1,1 1 0 0 1,1 1 0 1 1,1 1 1 0 1,1 1 1 1 1,四输入变量，,16,种组合,请注意,n,个变量可以有,2,n,个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成,与,、,或,、,非,等逻辑运算的组合式，即,逻辑代数式,，又称为,逻辑函数式,，通常采用“,与或,”的形式。,比如：,逻辑图：,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,各种表示方法之间的相互转换,1,、真值表,逻辑函数式,方法,:,将真值表中为,1,的项相加,写成,“,与或式,”,。,A B C Y,0 0 0 0,0 0 1 0,0 1 0 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,例,2.5.1,2,、逻辑式,真值表,方法,:,将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例,2.5.2,A B C Y,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,1,1,1,1,1,0,3,、逻辑式,逻辑图,方法,:,用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图,.,例,2.5.3,4,、逻辑图,逻辑式,方法,:,从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式,.,5,、波形图,真值表,A,B,C,Y,t,t,t,t,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,A B C Y,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,1,0,0,1,0,1,最小项,:,在,n,变量逻辑函数中，若,m,为包含,n,个因子的乘积项，而且这,n,个变量都以原变量或反变量的形式在,m,中,出现,，,且仅出现,一次,，则这个乘积项,m,称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3,个变量,A,、,B,、,C,可组成,8(2,3,),个最小项：,4,个变量可组成,16(2,4,),个最小项,记作,m,0,m,15,。,三、逻辑函数的两种标准形式,若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。,例：和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去,1,个因子。,最小项的性质,:,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为,1,。,任意两个不同的最小项的乘积必为,0,。,全部最小项的和必为,1,。,具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。,只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,例如,:,将它们合并，可消去因子,:,=BC,A,BC,和,A,BC,具有逻辑相邻性。,ABC+A,BC=,(A+A,)BC,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为,标准与或表达式,，也称为,最小项表达式,。,逻辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式，,可利用公式,A,A,1,和,A(B+C),AB,AC,来配项展开成最小项表达式。,例,2.5.6,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为,1,的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,在,n,变量逻辑函数中，若,M,为包含,n,个因子,的和项，,而且这,n,个变量都以原变量或反变量的形式在,M,中,出现,，,且仅出现,一次,，则这个和项,M,称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。,n,个变量有,2,n,个最大项，记作,i,最大项的性质,：,在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为,0,；,全体最大项之积为,0,；即,任意两个最大项之和为,1,；,只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,最大项,:,例,:,写出函数,Y=A(B,+C),的标准或与表达式。,解,:,Y=A(B,+C),=(A+BB,+CC,)(AA,+B,+C),=(A+B+C)(A+B,+C)(A+B+C,)(A+B,+C,)(A+B,+C)(A,+B,+C),=(A+B+C)(A+B,+C)(A+B+C,)(A+B,+C,)(A,+B,+C),最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即,:,m,i,=,M,i,=,若干个最小项之和表示的表达式,Y,，其反函数,Y,可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,例：,=,=,m,7,m,3,m,5,m,1,M,i,m,i,四,、逻辑函数形式的变换,根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。,1,、,最简,与或,表达式,最简与或表达式,首先是式中,乘积项最少,乘积项中含的,变量最少,实现电路的与门少,下级或门输入端个数少,与门的输入端个数少,2,、,最简,与非,-,与非,表达式,在最简与或表达式的基础上两次取反,用摩根定律去掉内层的非号,3,、,最简,或与,表达式,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4,、,最简,或非,-,或非,表达式,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉内部的非号,、,最简,与或非,表达式,求最简或非,-,或非表达式,用摩根定律去掉内部非号。,方法一：,求出反函数的最简与或表达式,求反，得到最简与或非表达式,方法二：,2.6,逻辑函数的化简方法,一、公式化简法,并项法：,吸收法：,A+A,B,=A,消项法：,消因子法：,配项法：,AB+AB=A,AB+A C+BC=AB+A C,A+A B=A+B,A+AA A+A,=1,例,2.6.1,试用并项法化简下列函数,=B,例,2.6.2,试用吸收法化简下列函数,=A+BC,例,2.6.3,用消项法化简下列函数,例,2.6.4,用消因子法化简下列函数,例,2.6.5,化简函数,解：,;,A+A,A,例,2.6.6,化简函数,解：,;,A+A,1,例,2.6.6,化简函数,解二：,;,消去，消去,解三：,;,消去,消去,;,增加冗余项,;,增加冗余项,例,2.6.7,化简逻辑函数,解：,吸收法,消因子法,吸收法,消项法,逻辑函数的卡诺图表示法,将,n,变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有,逻辑相邻性,的最小项在,几何位置上相邻,排列，得到的图形叫做,n,变量最小项的卡诺图。,卡诺图的定义：,二、卡诺图化简法,逻辑相邻项：,仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。,不是逻辑相邻项,是逻辑相邻项,卡诺图的表示：,1,、一变量全部最小项的卡诺图,一变量,Y=F,（,A,），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m,0,m,1,全部最小项：,A,，,A,卡诺图：,下面我们根据逻辑函数变量数目的不同分别介绍一下：,A,A,B,Y,0,1,0,1,m,0,m,1,m,2,m,3,Y,AB,00,01,11,10,A B,A,B,A,B,A B,00,01,11,10,Y,AB,m,0,m,1,m,3,m,2,Y,A,BC0,1,00,01,11,10,m,0,m,1,m,4,m,5,m,3,m,2,m,7,m,6,2,、二变量全部最小项的卡诺图,Y=F,（,A,、,B,）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,1,m,0,m,1,m,4,m,5,m,3,m,2,m,7,m,6,3,、三变量全部最小项的卡诺图,Y=F,（,A,、,B,、,C,）,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m,0,m,1,m,4,m,5,m,3,m,2,m,7,m,6,m,12,m,13,m,8,m,9,m,15,m,14,m,11,m,10,Y,ABC,D,000,001,011,010,100,101,111,110,0,1,m,0,m,1,m,3,m,2,m,4,m,5,m,7,m,6,m,8,m,9,m,11,m,10,m,12,m,13,m,15,m,14,4,、四变量全部最小项的卡诺图,Y=F,（,A,、,B,、,C,、,D,）,注意：,左右、上下；,在卡诺图中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小项都是逻辑相邻的。,Y=AC,+A,C+BC,+B,C,卡诺图：,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,1,1,0,0,A,(B+B,)C+,(A+A,)B,C,Y=A(B+B,)C,+,(A+A,)BC,+,=(m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,),1,、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。,2,、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填,1,，其余方格中填,0,。,方法一：,解：,对于,AC,有：,对于,A,C,有：,对于,BC,有：,对于,B,C,有：,根据函数式直接填卡诺图,方法二：,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡诺图表示之。,1,用卡诺图表示逻辑函数：,用卡诺图表示逻辑函数：,例,2.6.8,用卡诺图表示逻辑函数,解：,将,Y,化为最小项之和的形式,m,1,+m,4,+m,6,+m,8,+m,9,+m,10,+m,11,+m,15,1,1,1,1,1,1,1,1,例,2.6.9,已知,逻辑函数的,卡诺图,试写出该函数的逻辑式,化简依据,：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。,化简规则,：能够合并在一起的最小项是,2,n,个,如何最简,：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。,特别注意,：卡诺图中所有的,1,都必须圈到，不能合并的,1,必须单独画 圈。,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,上两式的内容不相同，但函数值一定相同。,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,0,1,1,1,Y,1,=,BC,+,B,A,+,A,C,Y,1,=,C,A,+,B,C,A,+B,将,Y,1,=AC,+A,C+BC,+B,C,化简为最简与或式。,此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。,例：,（画矩形圈）。,用卡诺图化简逻辑函数,用卡诺图化简逻辑函数,合并最小项的原则,（,1,）任何两个（,2,1,个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。,合并最小项的原则,（,2,）任何,4,个（,2,2,个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去,2,个变量。,此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项,合并最小项的原则,（,3,）任何,8,个（,2,3,个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去,3,个变量。,合并最小项的原则,利用,AB+AB=A,2,个最小项合并消去,1,个变量；,4,个最小项合并，消去,2,个变量；,8,个最小项合并，消去,3,个变量；,2,n,个最小项合并，消去,n,个变量；,卡诺图化简法的步骤,画出变量的卡诺图,;,作出函数的卡诺图,;,画圈,;,写出最简与或表达式。,画,圈,的,原,则,合并个数为,2,n,；,圈尽可能大,-,乘积项中含因子数最少；,圈尽可能少,-,乘积项个数最少；,每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。,例,2.6.10,用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,1,1,1,1,1,1,Y,Y,例,2.6.11,用卡诺图将下式化简为最简与或函数式,Y,Y,2.7,具有无关项的逻辑函数化简,约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项,无 关 项,约束项,:,当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于,0,来表示。,任意项,:,在输入变量的某些取值下函数值是,1,还是,0,皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于,1,的那些最小项称为任意项。,在卡诺图中用符号,“,”,、,“,”,或,“,d,”,表示无关项。,在化简函数时即可以认为它是,1,，也可以认为它是,0,。,例,2.7.1,化简逻辑函数,已知约束条件为,例,2,判断一位十进制数是否为偶数。,不会出现,不会出现,不会出现,不会出现,不会出现,不会出现,说 明,1 1 1 1,0,0 1 1 1,1 1 1 0,1,0 1 1 0,1 1 0 1,0,0 1 0 1,1 1 0 0,1,0 1 0 0,1 0 1 1,0,0 0 1 1,1 0 1 0,1,0 0 1 0,0,1 0 0 1,0,0 0 0 1,1,1 0 0 0,1,0 0 0 0,Y,A B C D,Y,A B C D,输入变量,A,，,B,，,C,，,D,取值为,0000,1001,时，逻辑函数,Y,有确定的值，根据题意，偶数时为,1,，奇数时为,0,。,无关项：,不利用无关项的化简结果为：,利用无关项的化简结果为：,逻辑函数化简小结,逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。,把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为,逻辑函数真值表,，简称,真值表。,返回,P58,题,2.2,（,4,）,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1 1 1 1,1,0 1 1 1,1,1 1 1 0,0,0 1 1 0,1,1 1 0 1,0,0 1 0 1,0,1 1 0 0,1,0 1 0 0,1,1 0 1 1,0,0 0 1 1,0,1 0 1 0,1,0 0 1 0,0,1 0 0 1,1,0 0 0 1,1,1 0 0 0,0,0 0 0 0,Y,A B C D,Y,A B C D,找出真值表中使逻辑函数,Y=1,的那些输入变量取值的组合,P59,表,P2.3,（,b,）,A,B,C,D,A,B,CD,A,BC,D,A,BCD,AB,C,D,AB,CD,ABC,D,ABCD,A B C D Y,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,A B C D Y,1 0 0 0,1 0 0 1,1 0 1 0,1 0 1 1,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1,P60,题,2.5,（,2,）,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,