数学分析-第十章-无穷级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,第十章 无穷级数,.,1 无穷级数的基本概念,1.无穷级数的概念,.,2.无穷级数的收敛与发散,给定级数 ,将前 项之和,称为 的前 项部分和,或简称部分和.,.,定义.若 的部分和序列 ,当 时,有极限,则称级数 收敛,记,称为级数的和;否则称 发散.,.,3.收敛的必要条件,.,4.Cauchy收敛原理,定理1.2.收敛的充要条件是:,当 时,对任意的自然数 ,.,.,例3.证明:发散.,.,5.收敛级数的性质,定理1.3.若 收敛,则 收敛.,注.反之不成立.,.,定理1.4.若 和 都收敛,和分别为,则对任意实数 ,也,收敛,和为 .,.,思考.,若 收敛,发散,能否推出,发散?,若 发散,也发散,能否推出,发散?,.,定理1.5.若存在 ,使得 ,则,与 同时收敛或同时发散.,注.改动一个级数的有限项值,不改变级数的,敛散性.,.,定理1.6.若 收敛,则在保持项的次序不,变的条件下,任意加括号所形成的级数,也收敛,且其和不变.,注.收敛的级数可以任意加括号,但不能去括号.,.,注.给定 ,生成级数 ,得到它的部分,和序列 .,给定 ,一定可以找到级数 ,使得,是 的部分和序列.,.,例6.讨论等比级数 的敛散性.,.,2 正项级数,通项非负的级数称为正项级数.,设 是正项级数,.单调上升.要么 有上界,要么,.,.,1.正项级数收敛的充要条件,.,2.比较判别法,定理2.1.设 和 是正项级数,且 ,使得 .,则,(1)如果 收敛,那么 收敛;,(2)如果 发散,那么 发散.,.,例2.证明:当 时,发散;当 时,收敛.,.,思考题.,证明:设 是正项级数,且 单调下降,则 收敛的充要条件是:,收敛.,.,例3.讨论下列级数的收敛性,(1),(2),.,定理2.2.(比较判别法的极限形式),设 和 是正项级数,且 ,又设 .则有下列结论,(1)当 时,与 同时收敛或,同时发散;,(2)当 时,如果 收敛,那么 收敛;,(3)当 时,如果 发散,那么 发散.,.,例4讨论 的收敛性.,.,3.Cauchy判别法,定理2.3.设 为正项级数.,(1)若存在自然数 及 ,使得,只要 ，,则 收敛;,(2)若存在自然数 ,使得,只要 ,则 发散.,.,定理2.4.(Cauchy判别法的极限形式),设 为正项级数,且 .则,(1)当 时,收敛;,(2)当 时,发散;,(3)当 时,不能由此法判别收敛性.,.,例7.讨论 的收敛性.,.,4.dAlembert判别法,定理2.5.设 为正项级数,且 .,(1)若存在自然数 及 ,使得,只要 ，,则 收敛;,(2)若存在自然数 ,使得,只要 ,则 发散.,.,定理2.6.(dAlembert判别法的极限形式),设 为正项级数,且 ,又设,.,则(1)当 时,收敛;,(2)当 时,发散;,(3)当 或 时,不能由此法判别收敛性.,.,推论.设 为正项级数,且 ,又设 .,则(1)当 时,收敛;,(2)当 时,发散;,(3)当 时,不能由此法判别收敛性.,.,例9.设 ,讨论 的收敛性.,.,注.Cauchy判别法比dAlembert判别法适用,范围广.,.,5.Raabe判别法,定理2.7.设 为正项级数,且 ,又设 .,则(1)当 时,收敛;,(2)当 时,发散;,.,引理2.1.设 ,则存在 ,使得,当 时,.,5.Raabe判别法,定理2.7.设 为正项级数,且 ,又设 .,则(1)当 时,收敛;,(2)当 时,发散;,.,注.当 时,不能由此法判,别收敛性.例如,.,6.积分判别法,定理2.8.设 是正项级数.若存在,上连续非负单调递减函数 ,满足,则 收敛的充要条件是:,有界.,.,3 任意项级数,1.交错级数,.,定理3.1.(Leibniz判别法)若 满足,(1),(2),则(1)收敛,(2)余和,的符号与第一项 的符号相同,且,.,注.满足定理3.1中条件(1),(2)的级数,称为,Leibniz型级数.,.,2.绝对收敛与条件收敛,定义.若 收敛,则称 绝对收敛.,若 收敛,但 发散,则称,条件收敛.,.,3.Abel判别法与Dirichlet判别法,设有两组数,和 .,令,则有Abel变换式,注.Abel变换式也称作分部求和式.,.,引理3.1.(Abel引理),若 单调,又 的部分和式,有界,即 ,使得,则,.,定理3.2.(Dirichlet判别法),若(1)单调,且 ;,(2)的部分和有界,即 ,使得,则 收敛.,注.Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.,.,定理3.3.(Abel判别法),若(1)单调,且有界,即 ,使得,(2)收敛,则 收敛.,注.Abel判别法可由Dirichlet判别法推出.,.,例3.若 单调趋于 ,证明,(1),收敛.,都收敛,.,.,4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质,给定 .定义,显然 和 都是正项级数,并有,.,注.若 收敛,则要么 和 同,时收敛,要么 和 同时发散.,.,命题3.1.,(1)绝对收敛的充要条件是:和,同时收敛,(2)若 条件收敛,则 和 同时发散.,.,定义.给定级数 .设 是一一对,应,即 既是单射又是满射.令 ,并,令,称为 的一个重排级数或更序级,数.,.,例,5,.给定 ,讨论它的一个重排级数,.,定理3.4,.,若 绝对收敛,则它的任何一个,重排级数也绝对收敛,且重排不改变原级数,的和.,.,定理3.5.(Riemann定理),若 条件收敛,则 ,都存在,的一个重排 ,使得 收敛,且,.,5.级数的乘法,(1)正方形法,(2)对角线法,.,(1)正方形法,.,(2)对角线法,.,定理3.6.若 与 都绝对收敛,则由 组成的级数 ,以任意方式排,列都绝对收敛,且和为 .,.,注.对按对角线法排列所得级数,适当加上括,号,得到级数,其中 ,称 为,和 的Cauchy乘积.,.,例7.求,.,4 无穷乘积,1.概念,给定序列 ,称作无穷乘积.它的前 次之积,称作部分乘积.,.,定义.设 是 的部分乘积.若 有极限,且极限值 ,则称 收敛.记,若 无极限,或 ,则称,发散.,.,注.为便于无穷乘积与对应级数的同一性,将,也称作发散.,.,例3.讨论 收敛性.,.,2.无穷乘积的性质,无穷乘积具有下列性质,(1)若 收敛,则 .,(2)若 收敛,则余积,.,.,(3)若 和 收敛,则 和,都收敛,并有,.,注.由性质(1),若 收敛,则 .,在今后的讨论中可以假定 .,.,定理4.1.设 .则 收敛的,充要条件是:收敛.,.,注.若将 改为 ,定理4.2结论仍然,成立.,.,注.若 不保持定号,收敛不能保证,收敛.,.,3.无穷乘积的绝对收敛和条件收敛,定义.给定 ,.,若 收敛,则称 绝对收敛.,若 收敛,发散,则称,条件收敛.,.,定理4.4.设 ,则下列命题等,价,(A)绝对收敛,(B)绝对收敛,(C)绝对收敛,.,例8.讨论 的绝对收敛性和条件,收敛性.,.,附录,Stirling公式.,即,.,