数学建模答辩.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,A题：太阳影子定位模型,队 员：刘雪梅,陈 祥,伍思远,指导老师：张菊平,学 校：中北大学,.,目录,一、模型准备,二、模型建立与求解,（一）问题一,（二）问题二,（三）问题三,（四）问题四,三、模型的检验,四、优点与不足之处,.,1.相关概念介绍,太阳时,时间的计量以地球自转为依据，地球自转一周，计,24,太阳时，当太阳达到正南处为,12:00,。简称为平时。,真太阳时与平太阳时的时差,太阳视圆面中心连续两次上中天的时间间隔叫做真太阳日真太阳时,=,平太阳时,+,真平太阳时差。太阳时的计算公式如下：,时角,时角是以正午,12,点为,0,度开始算，每一小时为,15,度，上午为负下午为正。时角的计算公式为,1,.,模型准备,.,太阳直射纬度,太阳直射纬度即赤纬角，赤纬角也称为太阳赤纬，其计算公式近似为,太阳高度角,太阳高度角是太阳相对于地平线的高度角，其计算公式近似为,1,.,模型准备,.,问题一：,1.1,杆影长度变化的数学模型,由太阳光直射下杆影与杆长的几何关系，得,根据前面介绍的概念及公式，得到最终的影长变化的数学表达式如下：,2.模型建立与求解,.,1.2,考虑空气折射率的杆影长度变化的数学模型,由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃，其密度与外太空的真空并不相同，因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折即天太阳高度角必将变化。修正后的太阳高度角为,最终的影长变化关系为,2.模型建立与求解,.,1.3,以北纬,39.9,度，东经,120,度的,10,月,1,日杆长为,3,米为例研究影长变化规律,图,1,影长与时间变化的关系,图,2,影长与日期的变化关系,图,3,影长与纬度的变化关系,图,4,影长与经度的变化关系,2.模型建立与求解,.,1.4,天安门广场的影子长度变化曲线图,图,5天安门广场杆长,3,米,9,点到,15,点的影长变化关系,从图,5,可以看出，在天安门广场杆长,3,米的影长从,9,点到,15,点先变短后变长，在,12,：,22,时取到最低点，最低点即最短影长为,3.8878,米，图中不关于,12:00,对称是因为北京时间是以东经,120,度确定的，而天安门广场处于东经,116,度,23,分,29,秒，由于地球是自西向东转，还有空气折射率的考虑，所以当天安门广场的当地时间在正午时，显示的北京时间是在,12,时之后。,2.模型建立与求解,.,问题二,:,2.1,问题提出,根据附件,1,中的某地的直杆影长数据求解出该地坐标。,2.2,分析思路,注意到问题二中有三个未知参数,:,拍摄的经度、纬度以及杆的长度。可考虑继续使用问题一中的模型，根据样本点的数据求解出对应的三个参数值。由于模型是已经确定的，所以可以使用非线性最小二乘拟合。最后可以对求解结果进行检验。,2.模型建立与求解,.,2.3,最小二乘拟合表达式,根据第一问的模型，可以得出如下的最小二乘表达式,使用,MATLAB,中非线性最小二乘拟合算法可以得出最后的求解结果。,最终地点：,（我国三亚附近地区）,2.模型建立与求解,.,求解的拟合效果如下,：,2.4,对求解结果进行检验,由于,实测数据可能被多种因素影响,，所以对于整体的结果是否应该被接受还需要做检验,。,此处可进行方差检验与拟合优度检验2.模型建立与求解,.,2.4.1,方差检验,若结果是可信的，则样本点数据与根据模型求解的,参数所确定的数据之间应不存在显著性差异。所以可以,使用方差检验。用,MATLAB,求解最终结果如下：,结论：,F,远小于,P,值,0.05,，所以可以认为模型所求解结果与实际观测值之间无显著性差异,。,2.模型建立与求解,.,2.4.2,拟合优度检验,拟合优度可以表示回归曲线对观测值的拟合程度，,所以可以使用拟合优度检验来衡量拟合效果。,拟合优度检验公式：,：回归平方和,：总偏差平方和,最终结果：,与,1,相差不大，说明拟合的曲线能够有效地解释实际观测值，说明拟合效果很好。验证了问题一中模型的合理性。2.模型建立与求解,.,问题三：,3.1,问题的分析,未知参数继续增加，沿用问题二模型无法得到理想效果。,根据同一地点太阳高度角相同和杆影几何关系，得出对于不同的杆在同一地点不同时刻影长变化的比值是一定的。,将相同时间间隔直杆影长函数的变化与之相比，建立方差最小的目标规划模型，将问题三转化为最优化问题进行求解。,2.模型建立与求解,.,3.2,目标规划模型的建立,目标函数：,约束条件：,2.模型建立与求解,.,3.3,问题三模型的求解,运用,MATLAB,优化工具箱分别对附件,2,、,3,求解得到：,（,1,）得出附件,2,对应的地点为,，天数为,323,天，日期为,11,月,18,日，所属地方为新疆。,（,2,）附件,3,对应的地点为,，天数为,144,天，日期为,5,月,24,日，所属地方为湖北。,说明：函数,经过多次迭代，数据检验平稳，因为我们求得是此时数据对应的最优解，故只有一个。如果继续求解的话，可以求出次优解。,2.模型建立与求解,.,问题四：,4.1,视频像素的灰度处理与图像直角坐标系的建立,将视频导入,MATLAB,以两分钟为间隔截取视频图像，并将图片进行灰度处理，利用图像处理工具箱将图片灰度提取，建立了基于图像上点的坐标系，得到了,21,组直杆顶点、影子顶点和直杆底边的图像坐标。,针对视角的不同所造成的杆影比与实际的差异进行分析与矫正。,图片中的影长、杆长 实际的影长杆长,2.模型建立与求解,.,4.2,实际影长的求解,设直杆顶点坐标为,，影子顶点为,，直杆底边的坐标为,，求得实际影子长度为：,4.3,基于拍摄日期已知求解拍摄地点的模型的建立与求解,将实际影子长度求出后求出后，这里已知杆长、影子长度、日期和时间的情况下反求当地经纬度，此时问题转化为问题二，并得到：,2.模型建立与求解,.,同样使用,MATLAB,中非线性最小二乘拟合算法求解得：,视频中所在地点为,。所属地方为内蒙古。,4.3,拍摄日期未知时的模型的建立与求解,根据求出的任意一个给定的视频中的实际的影子长度可以把这个问题转化为问题三的模型进行求解，可以建立如下的目标规划模型。,约束条件2.模型建立与求解,.,三、模型的检验,这里选取,2015,年,5,月,1,日，西安,，从北京时间,8,点到,15,点,杆长为,2,米的影子长度，并根据已知条件求得影子变化的曲线，与真实值进行比较，如图所示：,样本相关系数：,r=0.95,为高度相关,经过多次迭代，数据检验平稳，同样只得到一个最优解。得出附件,4,对应的地点为,，所属地点同样在内蒙古，天数为,206,天。,3,.模型,的检验,.,优点,1,、问题一的模型的建立通过查阅资料得到了各个影响因素之间的关系，通过研究太阳影子长度的变化规律可知与实际情况吻合，模型比较精确。,2,、问题二基于模型一运用了非线性最小二乘拟合的方法，并进行了显著性检验和拟合优度检验，通过检验并验证了拟合效果较好，得出的结果比较好。,3,、将模型进行了检验和灵敏度分析，模型符合实际，具有很高的灵敏性便于定位。,4,、巧妙的将视频中杆长与影长进行基于视角的矫正,4,.模型,的优缺点,.,不足之处,1,、问题三模型的求解最终会只能得到一个值，可能对真实值产生覆盖效应。,2,、问题四模型只利用了求出的实际影长来求解，求解结果有一定偏差。,4,.模型,的优缺点,.,谢谢大家,.,