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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,1,数学物理方法,复变函数论,数学物理方程,特殊函数,计算机辅助（自学）,2,复变函数论部分,3,复变函数论,主要内容,第一章、复数与复变函数,第二章、解析函数,第三章、复变函数的积分,第四章、复数级数,第五章、留数,第六章、,Fourier,、,Laplace,变换,4,教学参考书,5,习题参考书,6,网络资源,图书馆电子资源,202.202.36.190/source/serv3.htm,MIT,开放课程,Analysis Project for Undergraduate Students,（推荐）,math.fullerton.edu/mathews/complex.html,数学世界,一一对应,.,因此,复数,z,也与平面直角坐标系上的点一一对应,这样的平面叫做复平面。两个坐标轴分别叫做实轴和虚轴。（,具体图示参看课本,）,12,主值,argz,的范围,(z=x+iy),：,argz=,其中,补充内容,幅角应注意的问题,13,3.,复数的三角函数与指数函数表示,14,二、复数运算规则,1.,复数的基本运算,如果复数,z,的实部和虚部都等于零,则复数等于零，记作,z=0,。,图示具体见教案,15,2.,复数的运算法则,16,共扼复数的性质：,复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结,可见复数的乘除法用指数形式方便,17,3.,复数的乘幂与方根,(,重点,),具体见下页,用指数形式求解,18,如果在复平面上画出这,n,个不同方根,它们就是以原点为中心,以,r,1/n,为半径的圆的内接正,n,边形的,n,个顶点,.,Note!,k=0,1,2,.n-1,19,For example!,解：,1,、先把代数式化为指数式,因为,-1,的辐角为,，而模为,8,。,2,、根据公式可得,20,4,、方根的图示,21,三、例题,1,、,2,、,3,、,4,见课本,22,四、复数的无穷远点,在实变函数微积分学中的,只是一个符号而已,。,而,复球面上的无穷远点,却是一个完全确定的点，,并且只有一个无穷远点,。,补充一些内容,具体见课本,23,24,无穷远点：复平面上模为无穷大的点,涉及无穷大的复数运算：,确定值（条件是？）,不确定值,复数的无穷远点,25,本节总结与注意,1,、掌握书上的例题，并且会举一反三。,例题,1,要根据复数的模的基本性质证明。,例题,2,要记住结论。,例题,3,此类题目用,z=x+iy,代入方程化简即可。,3,、,2,、复数的幂和根式的求法（见例题,4,）,重点内容,首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式，找出模与幅角的主值。,26,定义,：,对于复平面的点集,E,，它的每个点,z,都有一个或多个点,通过确定的关系与之对应。则称,为,z,的复变函数，记作：,=,f,(,z,),zE,E,叫做,定义域,。,复变函数可以看做两个实二元函数有序组合,=,f,(,z,)=u(x,y)+iv(x,y),复变函数有,单值函数,和,多值函数,之分,复变函数研究的重点是,解析函数,一、复变函数的定义,1.2,复变函数,画图说明,27,邻域：,|z-z,0,|,，记做,(z,0,),去心邻域,0,|z-z,0,|,设,G,为复平面上的点集，,z,0,为,G,内任意点,内点：存在一个,(z,0,),属于,G,。,开集：,G,上的点都是内点,区域：,1,）开集，,2,）连通（,举例子在教案,）,区域的边界点：非内点,区域的边界：所有边界点的集合（线条，点）,闭区域：区域边界,区域有界：任意,|z|0,，必存在,0,使得在,0|z-z,0,|,时，总有,|,f,(z)-A|,，那么称,A,是,f,(z),的极限。记作：,四、复变函数的极限,注意：,1,）,f,(z),在,z,0,可以没有定义。,2,）,z,趋近于,z,0,的路径是任意的,极限都是,A.,3,）,z,沿不同路径趋近于,z,0,得到的极限不同,表示,f,(z,0,),没有极限,32,解释一下作业题,33,(2),、复变函数极限的基本定理,复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),中包含两个二元实变函数,u(x,y),和,v(x.y).,因此有下面的定理,:,求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限,因此具有相同的几何意义,.,因此可以证明,在存在极限,lim,z-z0,f(z)=A,limz-z,0,g(z)=B,的条件下,下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立,:,具体证明见课本,34,五、复变函数的连续,35,定义,：,如果函数,f,(z),在,点,z,0,有,极限,有,定义,且,相等,，则称函数在,z,0,处连续。,连续的等价条件,：,f,(z),实部和虚部分别在,z,0,处连续,总结复变函数的连续,即,u(x,y),和,v(x,y),在,(x,0,y,0,),处连续。,36,