数理统计的基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,总体与样本,统计量,2,-分布,t-分布和F-分布,关于正态总体的重要定理,第六章 数理统计的基本概念,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,数理统计,是以概率论的理论为基础、通过试验所得,数据来研究随机现象的一门数学分支，应用广泛，内容,丰富。,简 介,我们仅介绍其有关参数估计与参数假设检验等基本,内容。,概率论是数理统计的理论基础,数理统计是概率论的重要应用。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1、随机样本,定义1,在数理统计中，将所研究对象的全体称为,总,体,(母体),其中每个对象称为,个体,。,由于通常关注的是研究对象的某些个数量指标,因此,也称这些数量指标取值的全体为总体,其中每个元素称为,个体.,一、总体与个体,例如,检验灯泡厂生产的灯泡寿命:受检的全体灯泡就,是总体,每个灯泡就是个体。也可理解：全体灯泡寿命数,值构成总体，每个灯泡的寿命数值为一个体。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,又如,调查工大男生身高情况：工大全体男生就是总,体，每个工大男生就是一个个体。也可理解：全体工大男,生身高数值构成总体，每个工大男生身高数值就是一个个,体。,灯泡的寿命检验是一个,破坏性试验,即当得知一个灯,泡寿命时,该灯泡的使用价值也就消失了.因此,不可能抽,检每个灯泡!,可以逐一测量每个工大男生的身高,但,工作量大,.而我,们仅需对工大男生身高情况有个大致了解,因此,不必要抽,测每个工大男生!,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,做法,从总体中随机地抽取若干个体(灯泡、工大男,生),测试其所需数据(寿命、身高),最后对所得数据通过,整理加工和分析来推断总体(这批灯泡寿命、工大男生身,高)的分布情况,从而了解整体情况.,一般,我们所研究的总体的某项数量指标X是一个随,机变量,其取值在客观上有一定的分布.因此,对总体的研,究,就是对相应的随机变量X的研究。,今后,我们称X的分布函数和数字特征分别为总体的,分布函数和数字特征,并不再区分总体与相应的随机变量,X.对总体的称呼:,总体,总体X,与,总体F,.,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,例如,当XN(,2,)时,称总体X为正态总体.,正态,总体,有以下三种类型:,未知,但,2,已知;,2,未知,但已知;,2,均未知.,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,数理统计的,基本任务,就是通过对从总体中抽取的,一部分个体(称为总体的样本)进行观察,根据所记录的,数据(样本值)经整理与加工,以推断总体的某些性质.,“从总体中抽取一个个体”就是对总体进行一次观,察(试验),并记录其数据结果.,在相同条件下对总体X进行n次独立、重复的观察,将n次试验结果依次记为 ,则称之为来自,总体X的容量为n的一个,简单随机样本,;n次试验完成后,所得样本的一组观察值 称为,样本值.,二、样本与样本值,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义2,显然,若X的分布函数为F(x),则 的联合,分布函数为,定义2,设总体X的分布函数为F,若X,1,，X,2,，X,n,是相互独立且具有相同分布函数F的n个随机变量,则称,之是来自总体F(分布函数F,总体X)的容量为n的(简单随,机),样本,其观察值 称为,样本值,。,特别的,若X的概率密度为f(x),则 的联合,概率密度为,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,若X的概率分布为p(x),则 的联合概率分,布为,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,样本来自总体,必然携带有反映总体性质的各种信,息。,后面介绍的内容仅限于有关总体参数的估计与推断，,称为,参数估计,与参数,假设检验,。,三、数理统计的基本任务,数理统计的基本任务就是通过对样本的研究来对总,体的未知参数或分布类型作出,估计,，对有关总体的假设,作出,推断,。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,总 体 X,样本X,1,X,2,X,n,样本值x,1,x,2,x,n,随机抽样 获得样本,完成试验 获得数据,整理加工,统计推断,统计,工作,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、抽样分布,一、统计量,样本是进行统计推断的依据。但在实际应用时，一,般不是直接使用样本本身，而是对样本进行整理和加工,即,针对具体问题构造适当的函数统计量,利用这些函数,来进行统计推断,揭示总体的统计特性.,定义3,设,X,1,，X,2,，X,n,是来自总体X的样本,x,1,，x,2,，,，x,n,为其样本值,则称,不含任何总体分布中未知参数的,连续函数,为,统计量,相应实数,称为其观察值。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,常用统计量,有:,样本均值,(修正)样本方差,(修正)样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,说明,(修正)样本方差还可表示为,【推导】,.河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,样本方差,样本均值是样本一阶原点矩；样本方差是样本二阶,中心矩。,上述各统计量的观察值为,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,重要结论：,样本矩(的连续函数)依概率收敛,于总体矩(的连续函数),矩估计的理论基础。,总体k阶(原点)矩,总体的,期望,就是其一阶矩:,总体的,方差,:,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,性质,重要积分,补充知识:-函数,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,完全由样本确定的函数就是统计量。,定义,设,X,1,，X,2,，X,n,是来自标准正态总体,N(0,1)的样本,称统计量,下面,介绍来自,正态总体,的几个重要统计量的分布.,1、,2,-分布(卡方分布),服从自由度为n的,2,-分布,记为,二、抽样分布,统计量是随机变量，它的分布称为,抽样分布,。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,-分布的,概率密度,为,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,-分布的,性质,与,数字特征,-分布的,可加性,:,-分布的,期望,与,方差,为:,上,分位点,(双侧/2分位点),定义,点 为 分布的,上分位点,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,查,附表5,P.443:,双侧分位点,查,附表5,:,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2、t-分布,定义,设 且X与Y独立，则称,随机变量,服从自由度为n的,t-分布,记为,t-分布的,概率密度,为,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,t-分布的概率密度,性质,t-分布的概率密度为,偶函数,，且以,标准正态概率,密度,为其极限(n)。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,上,分位点,(双侧/2分位点),定义,点 为 分布的,上分位点,查,附表3,P.441:,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,双侧/2分位点:,显然,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3、F-分布,定义,设 且X与Y独立，则,称随机变量,服从自由度为(n,1,n,2,)的,F-分布,记为,F-分布的,概率密度,为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,F-分布的,性质,由F分布定义可得：,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,上,分位点,(双侧/2分位点),定义,点 为 分布的,上分位点,查,附表5,P.447:,F分布上分位点有如下性质：,.,证明,.,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,三、样本均值与样本方差的分布,设总体X有均值与方差：,是来自X(无论X服从何种分布!)的一个,样本，则总有:,特别的,当 时,样本均值,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,对于,单正态总体,N(,2,)的,均值,与,方差,有:,定理1,设 是来自正态总体,N(,2,)的,样本,则,、,、,独立.,注意:,即2,卡方分布定义,.,证明,且两者独立,由,t,分布的定义知,定理,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定理2,设X,1,，X,2,，X,n,与,Y,1,，Y,2,，Y,n,分别是来,自正态总体,N(,1,2,),N(,2,2,)的,样本,且这两个样,本相互独立,又 分别为两样本的均值与方差,则,其中,对于,同方差,的,双正态总体,N(,1,2,),N(,2,2,)的,均值差,有:,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,上面介绍的,3个重要分布,与,4个重要公式,在数理统计的,区间估计,与,假设检验,中有着重要应用，必须牢记!,2,-分布,t-分布,F-分布,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例1】,在正态总体N(12,4)中随机抽取容量为5的样本,X,1,，X,2,，X,3,，X,4,，X,5,，试求,（1）样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概,率；,（2）,（3）,解正态总体样本均值的分布,(1)因为 所以,于是,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,(2).,(3).,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解t-分布,2,-分布，F-分布。,因为Xt(n),所以由t-分布定义知：存在两个相互独,立的随机变量,由Y,Z的相互独立可得:Y,2,与Z也相互独立。,再由F-分布定义得:,使有,【例2】,已知 ，证明 。由,2,-分布定义知：,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解因为X,i,P(),所以E(X,i,)=D(X,i,)=(i=1,2,n),【例3】,设X,1,，X,2,，X,3,，X,4,，X,5,为来自泊松分布,P()的一个样本，为其样本均值和（修正）样本,方差，求,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,例3-1,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解卡方分布及其数字特征。,于是,由卡方分布数字特征知：,由定理1知:,【例4】,设在总体 中抽取一容量为16的,样本，其中 均为未知。,（1）求概率 ；,（2）求方差 。,.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,(2)因为,所以,例4-续,(1),.,