二重积分概念.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,10,章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,1,三、二重积分的性质,第,10.1,节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,2,解法,:,类似定积分解决问题的思想,:,一、引例,1.,曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求其体积,.,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3),“,近似和,”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,4),“,取极限,”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,2.,平面薄片的质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“,大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决,.,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,2)“,常代变”,中,任取,一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块的质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,两个问题的,共性,(,分割，求和，求极限,),(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,二、二重积分的定义及可积性,定义,:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I,使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,引例,1,中曲顶柱体体积,:,引例,2,中平面薄板的质量,:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,二重积分存在定理,:,若函数,定理,2,.,(,证明略,),定理,1,.,在,D,上,可积,.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积,.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上二重积分存在,;,在,D,上,二重积分不存在,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,三、二重积分的性质,(,k,为常数,),为,D,的面积,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,特别,由于,则,5.,若在,D,上,6.,设,D,的面积为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（估值不等式）,13,7.,(,二重积分的中值定理,),证,:,由性质,6,可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,例,1.,比较下列积分的大小,:,其中,解,:,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点,(1,0),而域,D,位,从而,于直线的上方,故在,D,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例,2.,判断积分,的正负号,.,解,:,分积分域为,则,原式,=,猜想结果为负,但不好估计,.,舍去此项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例,3.,估计下列积分之值,解,:,D,的面积为,由于,积分性质,5,即,:1.96,I 2,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,8.,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果,.,在第一象限部分,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,例,4.,求两个底圆半径为,R,的直角圆柱面所围的体积,.,解,:,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,内容小结,1.,二重积分的定义,2.,二重积分的性质,(,与定积分性质相似,),3.,曲顶柱体体积的计算,二次积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,被积函数,相同,且,非负,练习,解,:,由它们的积分域范围可知,1比较下列积分值的大小关系,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域,且,0,y,1,则,的大小顺序为,(),提示,:,因,0,y,1,故,故在,D,上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,3.,计算,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,4,.,证明,:,其中,D,为,解,:,利用题中,x,y,位置的对称性,有,又,D,的面积为,1,故结论成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,习题,10-1,3,，,4,，,5,7,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,27,备用题,1.,估计,的值,其中,D,为,解,:,被积函数,D,的面积,的最大值,的最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,2.,判断,的正负,.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,