全等三角形中的倍长中线与截长补短法课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,倍长中线与截长补短法,辅助线一般作法,三角形,图中有角平分线，可向两边作垂线。,也可将图对折看，对称以后关系现。,角平分线平行线，等腰三角形来添。,角平分线加垂线，三线合一试试看。,线段垂直平分线，常向两端把线连。,要证线段倍与半，延长缩短可试验。,三角形中两中点，连接则成中位线。,三角形中有中线，延长中线等中线。,例,1,：,ABC,中，,AB=5,，,AC=3,，求中线,AD,的取值范围,提示：画出图形，倍长中线,AD,，利用三角形两边之和大于第三边,例,2,：已知在,ABC,中，,AB=AC,，,D,在,AB,上，,E,在,AC,的延长线上，,DE,交,BC,于,F,，且,DF=EF,，求证：,BD=CE,方法,1,：过,D,作,DGAE,交,BC,于,G,，,方法,2,：过,E,作,EGAB,交,BC,的延长线于,G,，,方法,3,：过,D,作,DGBC,于,G,，过,E,作,EHBC,的延长线于,H,例,3,：已知在,ABC,中，,AD,是,BC,边上的中线，,E,是,AD,上一点，且,BE=AC,，延长,BE,交,AC,于,F,，求证：,AF=EF,提示：倍长,AD,至,G,，连接,BG,，,证明,BDGCDA,三角形,BEG,是等腰三角形,例,4,：已知：如图，在中，,D,、,E,在,BC,上，且,DE=EC,，过,D,作交,AE,于点,F,，,DF=AC.,求证：,AE,平分,BAC,提示：,方法,1,：倍长,AE,至,G,，连结,DG,方法,2,：倍长,FE,至,H,，连结,CH,在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。,例如：如图,5-1,：,AD,为,ABC,的中线，求证：,AB+AC2AD,分析：要证,AB+AC2AD,，,由图想到：,AB+BDAD,AC+CDAD,，,所以有,AB+AC+BD+CD AD+AD=2AD,，,左边比要证结论多,BD+CD,，,故不能直接证出此题，,而由,2AD,想到要构造,2AD,，,即加倍中线，,把所要证的线段转移到同一个三角形中去,证明：延长,AD,至,E,，使,DE=AD,，连接,BE,，,CE,AD,为,ABC,的中线 （已知）,BD=CD,（中线定义）,在,ACD,和,EBD,中,BD=CD,（已证）,1=2,（对顶角相等）,AD=ED,（辅助线作法）,ACDEBD,（,SAS,）,BE=CA,（全等三角形对应边相等）,在,ABE,中有：,AB+BEAE,（三角形两边之和大于第三边）,AB+AC2AD,。,（常延长中线加倍，构造全等三角形）,练习,已知,ABC,，,AD,是,BC,边上的中线，分别以,AB,边、,AC,边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图,5-2,，求证,EF=2AD,。,AB,C,D,E,F,2,5,-,图,二、截长补短法作辅助线,要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。,截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。,所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。,让我们来大显身手吧！,例如：已知如图,6-1,：在,ABC,中，,ABAC,，,1=2,，,P,为,AD,上任一点,求证：,AB-ACPB-PC,。,要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系定理证明。,因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN,再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PNPB-PC。,思路导航,THANK YOU,SUCCESS,2025/12/18 周四,13,可编辑,证明：（截长法）在,AB,上截取,AN=AC,连接,PN,在,APN,和,APC,中,AN=AC,（辅助线作法）,1=2,（已知）,AP=AP,（公共边）,APNAPC,（,SAS,）,PC=PN,（全等三角形对应边相等）,在,BPN,中，有,PB-PNBN,（三角形两边之差小于第三边）,BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边),AB-ACPB-PC。,在,ABC,中，,ACB=90,，,AC=BC,直线,MN,经过点,C,，且,ADMN,于,D,，,BEMN,于,E,。,求证：,DE=AD+BE,证明：,2,1,3,1+3=90.,1+2=90.,2=3.,ADC=CEB,ADCCEB,AD=CE,CD=BE,DE=AD+BE,ACB=90,，,BEMN,，,ADMN,ADC=CEB=90.,在,ADC,和,CEB,中,AC=BC,2=3,DE=CE+CD,例题讲解,1.,在,ABC,中,B,2C,AD,平分,BAC.,求证：,AB+BD=AC,A,B,C,D,E,证明：,在,AC,上截取,A E=AB,，连结,D E,AD,平分,BAC,1,2,在,ABD,和,AED,中,1,2,A B=AE,A D=AD,ABD AED,BD=DE,B,3,3=4+C,B,2C,3=2C,2C=4+C,DE=CE,BD=CE,AE+EC=AC,AB+BD=AC,1,2,3,4,C,4,截长法,例题讲解,在,ABC,中,B,2C,AD,平分,BAC.,求证：,AB+BD=AC,A,B,C,D,E,在,AB,的延长线截取,B E=BD,，,连结,D E.,证明：,补短法,在射线,AB,截取,B E=BD,，,连结,D E.,截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明,这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目,如图，,ADBC,，,AE,BE,分别平分,DAB,CBA,，,CD,经过点,E,，,求证：,AB,AD+BC,练习,在等边,ABC,的两边,AB,、,AC,所在直线上分别有两点,M,、,N,，,D,为,ABC,外一点，且,MDN=60,BDC=120,BD=DC.,探究：当,M,、,N,分别在直线,AB,、,AC,上移动时，,BM,、,NC,、,MN,之间的数量关系,.,如图,1,，当点,M,、,N,边,AB,、,AC,上，且,DM=DN,时，,BM,、,NC,、,MN,之间的数量关系是,A,B,C,D,M,N,思考题,在等边,ABC,的两边,AB,、,AC,所在直线上分别有两点,M,、,N,，,D,为,ABC,外一点，且,MDN=60,BDC=120,BD=DC.,探究：当,M,、,N,分别在直线,AB,、,AC,上移动时，,BM,、,NC,、,MN,之间的数量关系,.,如图,2,，点,M,、,N,边,AB,、,AC,上，且,当,DM,DN,时，猜想（,I,）的结论还成立吗,?,A,B,C,D,M,N,写出你的猜想并加以证明；,如图,3,，点,M,、,N,分别在边,AB,、,C,A,的延长线,上,时，猜想（,I,）的结论还成立吗,?,若不成立，又有怎样的数量关系？,写出你的猜想并加以证明,.,A,B,C,D,M,N,THANK YOU,SUCCESS,2025/12/18 周四,24,可编辑,