北师大版选修2空间向量运算的坐标表示.ppt

3.3,空间向量运算的坐标表示,3,.,3,空间向量运算的坐标表示,一,二,三,思考辨析,一、向量加减法和数乘的坐标表示,设,a,=,(,x,1,y,1,z,1,),b,=,(,x,2,y,2,z,2,),则,(1),a,+,b,=,(,x,1,+x,2,y,1,+y,2,z,1,+z,2,),即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的,和,.,(2),a,-,b,=,(,x,1,-x,2,y,1,-y,2,z,1,-z,2,),即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的,差,.,(3),a,=,(,x,1,y,1,z,1,),(,R,),即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的,乘积,.,(4),若,b,0,则,a,b,a,=,b,x,1,=,x,2,y,1,=,y,2,z,1,=,z,2,(,R,),.,(5),设,A,(,x,1,y,1,z,1,),B,(,x,2,y,2,z,2,),则,=,(,x,2,-x,1,y,2,-y,1,z,2,-z,1,),空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的,差,.,一,二,三,思考辨析,名师点拨,1,.,空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,只是由二维变成了三维,所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似,.,2,.,理解共线向量定理的条件和结论,在用坐标表示时,要注意等价变形,.,3,.,已知,a,=,(,a1,a,2,a,3,),b,=,(,b,1,b,2,b,3,),若,b,1,b,2,b,3,都不为,0,则,a,b,一,二,三,思考辨析,【做一做,1,】,已知向量,a,=,(3,2,-,1),b,=,(2,1,5),则,a+b,=,a-b,=,2,a-,3,b,=,.,解析,:,a+b,=,(3,2,-,1),+,(2,1,5),=,(5,3,4),a-b,=,(3,2,-,1),-,(2,1,5),=,(1,1,-,6),2,a-,3,b,=,2(3,2,-,1),-,3(2,1,5),=,(6,4,-,2),-,(6,3,15),=,(0,1,-,17),.,答案,:,(5,3,4),1,1,-,6),(0,1,-,17),【做一做,2,】,已知,a,=,(1,5,-,1),b,=,(,-,2,3,5),则使,(,k,a,+,b,),(,a,-,3,b,),成立的,k,的值为,.,解析,:,k,a,+,b,=,(,k-,2,5,k+,3,-k+,5),a-,3,b,=,(1,+,3,2,5,-,3,3,-,1,-,3,5),=,(7,-,4,-,16),.,(,k,a,+,b,),(,a-,3,b,),一,二,三,思考辨析,二、数量积的坐标表示,设,a,=,(,x,1,y,1,z,1,),b,=,(,x,2,y,2,z,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+y,1,y2,+z,1,z,2,空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的,乘积之和,.,【做一做,3,】,已知,a,=,(,-,2,5,3),b,=,(,-,4,2,x,),且,a,b,=,0,则,x=,(,),A.,-,4B.,-,6,C.,-,8D.6,解析,:,a,b,=-,2,(,-,4),+,5,2,+,3,x=,0,x=-,6,.,答案,:,B,一,二,三,思考辨析,三、空间向量长度与夹角的坐标表示,设,a,=,(,x,1,y,1,z,1,),b,=,(,x,2,y,2,z,2,),则,(3),a,b,x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,=,0,.,一,二,三,思考辨析,【做一做,4,】,若,a,=,(1,2),b,=,(2,-,1,2),且,a,与,b,的夹角的余弦值为,则,等于,(,),解析,:,因为,a,b,=,1,2,+,(,-,1),+,2,2,=,6,-,答案,:,C,一,二,三,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打,“,”,错误的打,“,”,.,(3),空间向量,a,=,(1,1,1),是一个单位向量,.,(,),(4),若,a,b,为空间向量,则,(,a,+,b,)(,a,-,b,),=,a,2,-,b,2,.,(,),探究一,探究二,探究三,思维辨析,向量运算的坐标表示,【例,1,】,已知,a,=,(2,-,1,-,2),b,=0,-,1,4),求,a,+,b,a,-,b,3,a,+,2,b,a,b,.,解,:,因为,a,=,(2,-,1,-,2),b,=,(0,-,1,4),所以,a,+,b,=,(2,-,1,-,2),+,(0,-,1,4),=,(2,+,0,-,1,+,(,-,1),-,2,+,4),=,(2,-,2,2);,a,-,b,=,(2,-,1,-,2),-,(0,-,1,4),=,(2,-,0,-,1,-,(,-,1),-,2,-,4),=,(2,0,-,6);,3,a,+,2,b,=,3(2,-,1,-,2),+,2(0,-,1,4),=,(3,2,3,(,-,1),3,(,-,2),+,(20,2,(,-,1),2,4),=,(6,-,3,-,6),+,(0,-,2,8),=,(6,-,5,2);,a,b,=,(2,-,1,-,2)(0,-,1,4),=,2,0,+,(,-,1),(,-,1),+,(,-,2),4,=,0,+,1,-,8,=-,7,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,空间向量的坐标运算方法,1,.,在运算中注意相关公式的灵活运用,如,(,a+b,),(,a-b,),=a,2,-b,2,=|a|,2,-|b|,2,(,a+b,),(,a+b,),=,(,a+b,),2,等,;,2,.,进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算,如计算,(2,a,),(,-b,),既可以利用运算律把它化成,-,2(,a,b,),也可以先求出,2,a,-b,后,再求数量积,.,计算,(,a+b,),(,a-b,),既可以先求出,a+b,a-b,后,再求数量积,也可以把,(,a+b,),(,a-b,),写成,a,2,-b,2,后计算,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,已知在空间直角坐标系中,A,(1,-,2,4),B,(,-,2,3,0),C,(2,-,2,-,5),.,解,:,(1),因为,A,(1,-,2,4),B,(,-,2,3,0),C,(2,-,2,-,5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间向量的平行与垂直,【例,2,】,设向量,a,=,(1,x,1,-x,),b,=,(1,-x,2,-,3,x,x+,1),求满足下列条件时,实数,x,的值,.,(1),a,b,;(2),a,b,.,解,:,(1),当,x=,0,时,a,=,(1,0,1),b,=,(1,0,1),a,=,b,满足,a,b,.,当,x=,1,时,a,=,(1,1,0),b,=,(0,-,3,2),不满足,a,b,x,1,.,当,x,0,且,x,1,时,综上所述,当,x=,0,或,x=,2,时,a,b,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),a,b,a,b,=,0,(1,x,1x,)(1,-x,2,-,3,x,x+,1),=,0,1,-x,2,-,3,x,2,+,1,-x,2,=,0,反思感悟,要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算,.,在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知向量,a,=,(2,4,5),b,=,(3,x,y,),若,a,b,求,x,y,的值,.,解,:,a,b,a,=,b,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间向量长度与夹角的坐标表示,【例,3,】,在长方体,OABC-O,1,A,1,B,1,C,1,中,|OA|=,2,|AB|=,3,|AA,1,|=,2,E,是,BC,的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解决下列问题,:,(1),求直线,AO,1,与,B,1,E,所成角的余弦值,;,(2),作,O,1,D,AC,于点,D,求点,O,1,到点,D,的距离,.,解,:,建立如图所示的空间直角坐标系,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),由题意得,A,(2,0,0),O,1,(0,0,2),B,1,(2,3,2),E,(1,3,0),.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,当题中的几何体为正方体、长方体、直三棱柱等时,常选择建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决有关长度、夹角、平行或垂直等问题,;,有时也可以不建系,利用基底来求解,但比较麻烦,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,在棱长为,1,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,D,1,D,BD,的中点,G,在棱,CD,上,且,CG=CD,H,为,C,1,G,的中点,求解下列问题,:,(1),求证,:,EF,B,1,C,;,(3),求,FH,的长,.,解,:,如图,建立空间直角坐标系,D-xyz,D,为坐标原点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,在棱长为,1,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,F,分别是,D1,D,BD,的中点,G,在棱,CD,上,且,CG=CD,H,为,C,1,G,的中点,求解下列问题,:,(1),求证,:,EF,B,1,C,;,(3),求,FH,的长,.,解,:,如图,建立空间直角坐标系,D-xyz,D,为坐标原点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视两个向量夹角为锐角,(,钝角,),的条件致误,【典例】,已知,a,=,(5,3,-,1),b,=,若,a,与,b,的夹角为锐角,求实数,t,的取值范围,.,易错分析,:,由,a,与,b,的夹角为锐角,得到,a,b,0,但当,a,b,0,时,a,与,b,的夹角不一定为锐角,还可能是共线同向,夹角为,0,解题时容易忽视这个条件,导致扩大了参数的范围,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,空间向量,a,b,夹角为锐角的充要条件是,“,a,b,0,且,a,b,不同向,”;,a,b,夹角为钝角的充要条件是,“,a,b,0,且,a,b,不反向,”,.,如果在求解过程中,忽视两个向量共线的情况,就有可能扩大参数的取值范围,导致错误,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知,a,=,(3,-,2,-,3),b,=,(,-,1,x-,1,1),且,a,与,b,的夹角为钝角,则,x,的取值范围是,.,解析,:,a,与,b,的夹角为钝角,a,b,0,3,(,-,1),+,(,-,2),(,x-,1),+,(,-,3),1,0,.,1 2 3 4,1,.,已知,a,=,(1,0,-,1),b,=,(1,-,2,2),c,=,(,-,2,3,-,1),那么向量,a-b+,2,c,=,(,),A.(0,1,2)B.(4,-,5,5),C.(,-,4,8,-,5)D.(2,-,5,4),解析,:,a-b+,2,c,=,(1,0,-,1),-,(1,-,2,2),+,2(,-,2,3,-,1),=,(,-,4,8,-,5),.,答案,:,C,1 2 3 4,2,.,已知,a,=,(,+,1,0,2),b,=,(6,2,-,1,2,),若,a,b,则,与,的值为,.,解析,:,因为,a,b,所以,b,=k,a,即,k,(,+,1,0,2),=,(6,2,-,1,2,),所以,1 2 3 4,3,.,已知向量,a,=,(1,1,0),b,=,(,-,1,0,2),且,k,a,+,b,与,2,a-b,互相垂直,则,k,的值是,.,解析,:,a,=,(1,1,0),b,=,(,-,1,0,2),且,k,a,+,b,与,2,a-b,互相垂直,(,k,a+b,)(2,a-b,),=,0,即,(,k-,1,k,2)(3,2,-,2),=,0,3,k-,3,+,2,k-,4,=,0,k=.,1 2 3 4,4,.,如图,已知直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,在底面,ABC,中,CA=CB=,1,BCA=,90,棱,AA,1,=,2,M,N,分别是,A,1,B,1,A,1,A,的中点,.,1 2 3 4,向,建立空间直角坐标系,C-xyz.,(1),依题意得,B,(0,1,0),N,(1,0,1),.,