高考数学全真模拟试题第12650期.docx

高考数学全真模拟试题

1

单选题(共8个，分值共：)
1、已知复数，则的虚部为（       ）
A．B．C．D．
2、函数为增函数的区间是（       ）
A．B．C．D．
3、如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于

A．B．C．－1D．－1
4、若是定义在的奇函数，且是偶函数，当时，，则时的解析式为（       ）
A．B．
C．D．
5、如图，△，△是全等的等腰直角三角形，为直角顶点三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（       ）

A．B．C．D．大小不能确
6、在圆O中弦AB的长度为8，则=（    ）
A．8B．16C．24D．32
7、已知是R上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ）
A．B．
C．D．
8、已知函数是定义在R上的偶函数，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（       ）
A．B．C．D．
多选题(共4个，分值共：)
9、设，则的一个必要不充分条件可以是（             ）
A．B． C．D．
10、已知，，且，则（       ）
A．xy的取值范围是B．的取值范围是
C．的最小值是3D．的最小值是
11、下列说法正确的是（       ）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
12、为了解全市居民月用水量，随机抽取了1000户居民进行调查，发现他们的月用水量都在之间，进行等距离分组后，如下左图是分成6组，右图是分成12组，分别画出频率分布直方图如下图所示：

则下列说法正确的是（       ）
A．从左图中知：抽取的月用水量在之间的居民有50户
B．从左图中知：月用水量的90°分位数为
C．由左图估计全市居民月用水量的平均值为（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
D．左图中组数少，组距大，容易看出数据整体的分布特点；右图中：组数多，组距小，不容易看出总体数据的分布特点
双空题(共4个，分值共：)
13、已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.

14、在锐角中，内角A，B所对的边分别为a，b，若，则___________；边长a的取值范围是___________.
15、设函数，则是_________（填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数T，定义则当时，函数的值域为_________．
解答题(共6个分值共：)
16、求下列各式的值：
(1)；
(2)．
17、在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，的面积为，求.
18、某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（2）若打分的平均值不低于75分视为满意，判断该校学生对食堂服务是否满意？并说明理由(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；
（3）若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在的概率.
19、已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值.
20、函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；②；
（2）已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质.求证：是偶函数；
（3）已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.
21、已知非零向量，满足，且.
（1）求与的夹角；
（2）若，求.
双空题(共4个，分值共：)
22、在△ABC中，内角所对的边分别为a，b，c，且；则角B=___________；a的取值范围为___________.

13

高考数学全真模拟试题参考答案
1、答案：C
解析：
根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.
复数
所以的虚部为，
故选：C.
2、答案：C
解析：
根据复合函数的单调性计算可得；
解：∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是．
故选:C
小提示：
本题考查复合函数的单调性的计算，属于基础题.
3、答案：C
解析：
在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解.
在ABC中，由正弦定理得，
∴AC＝100．
在ADC中，，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝.
故选：C
小提示：
结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.
4、答案：B
解析：
推导出，由，可得出，即可得解.
由题意可得，即，
当时，，所以，.
故选：B.
5、答案：B
解析：
构建直角坐标系，根据题意设，，，，，，再应用向量数量积的坐标运算求m、n，即可比较大小.
构建如下图示的直角坐标系，令，，，，

所以，可设，，且，，
则，，
所以.
故选：B.
小提示：
关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.
6、答案：D
解析：
根据垂径定理以及平面向量数量积的定义即可求出．
．
故选：D
7、答案：A
解析：
根据的奇偶性、单调性解出答案即可.
因为是R上的偶函数，在上单调递增，且
所以在上单调递减
所以由可得，所以，解得或
所以不等式的解集为
故选：A
8、答案：C
解析：
构造，根据已知条件，结合奇偶性、单调性的定义判断的奇偶性、单调性，再应用其性质解不等式即可.
∵是定义在R上的偶函数，
令，则，
∴是奇函数，
又任意，，且，都有成立，
∴在单调递减，则单调递减，即在R上递减，
∴，则，
∴，可得，故解集为.
故选：C.
小提示：
关键点点睛：构造，结合已知及奇偶性、单调性定义判断的性质，应用其性质解不等式.
9、答案：AC
解析：
根据充分条件、必要条件的判定方法，结合选项，即可求解.
由，可得构成集合，
结合选项，可得集合，均真包含M，
所以与是的一个必要不充分条件.
故选：AC.
10、答案：BD
解析：
利用基本不等式判断选项A，利用基本不等式判断选项B，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C、D.
因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.
故选：BD
11、答案：AB
解析：
利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D
当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
12、答案：BCD
解析：
根据频率分布直方图即可作出判断.
A错误，从左图知：抽取的月用水量在之间的频率为，故居民有户；
B正确，从左图知：从最后一组往前看的频率为4%，故取6%即可，而的频率为12%，所以90%分位数为的中点；
C正确，月用水量的平均值为；
D正确，两图相比较，左图数据整体分布更明显.
故选：BCD
13、答案：         
解析：
（1）过的重心作垂线，垂线的交点即为球心，再根据已知线段长度求解出球的半径；
（2）首先确定出当截面面积最小时对应的与截面的位置关系，再根据线段长度求解出截面圆的面积.
因为且四边形为菱形，所以均为等边三角形，
取的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点，
此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示：

记，连接，因为二面角的大小为，
且，所以二面角的平面角为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，又，所以，
所以三棱锥的外接球的半径为
当截面面积取最小值时，此时截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为，
又因为且，所以，
所以，所以此时截面面积为.
故答案为：；.
小提示：
结论点睛：过空间一点作球的截面，截面面积何时取最值：
（1）当截面面积取最大值时，此时球心和已知点连线为球的直径，截面为过该条直径的球的大圆面；
（2）当截面面积取最小值时，此时截面是以已知点为圆心的垂直于球心和已知点连线的小圆面.
14、答案：     4    
解析：
依据题意可知，然后结合正弦定理可知，然后得到角的范围，简单计算即可.
由题可知：，所以
所以，由正弦定理可知,则，
由为锐角三角形，所以即
所以，则
故答案为：4,
15、答案：     偶函数    
解析：
利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性；分别求出分段函数每段上的值域，从而求出的值域为.
函数定义域为R，且，故是偶函数；，因为，所以，当时，，当时，，故的值域为
故答案为：偶函数，
16、答案：(1)；
(2)3.
解析：
（1）利用指数幂的运算化简求值；
（2）利用对数的运算化简求值.
(1)
解：原式．
(2)
解：原式．
17、答案：(1)
(2)
解析：
（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；
（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.
(1)
解：因为，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以.
(2)
解：因为的面积为，，
所以，即，
因为，所以，
所以，解得.
所以.
18、答案：（1），不低于70分的人数为人；（2）该校学生对食堂服务满意，理由见解析；（3）.
解析：
（1）由频率分布直方图中所有频率的和为1可计算出值，求出不低于70分的频率可估计出人数；
（2）取各组数据中点值为估计值乘以频率相加可得平均值，从而得结论；
（3）由频率得抽取的5人中在和上的人数，分别编号后用列举法写出所有基本事件，并得出两人都在内的可能结果从而结合对立事件的概率公式可得结论．
解：
由频率分布直方图可知，
，解得.
该校学生满意度打分不低于70分的人数为人.
（2）打分平均值为：
.
所以该校学生对食堂服务满意.
（3）由频率分布直方图可知：打分在和内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在内的人数为2人，在内的人数为3人.设内的2人打分分别为内的3人打分分别为，则从的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：，，共10种.其中两人都在内的可能结果为，则这2人至少有一人打分在的概率.
小提示：
关键点点睛：本题考查频率分布直方图，考查分层抽样与古典概型．在频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得频率分布直方图缺少的数据．古典概型问题中如果事件空间中基本事件的个数不是太多的可以　用列举法写出所有基本事件，从而计算出概率．如果事件的个数较多，不便于列举，可以利用计数原理计数，从而得出概率．
19、答案：（1）；（2）或.
解析：
（1）由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）利用平面向量数量积的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，进而可解得实数的值.
（1）因为，所以，，解得；
（2）由已知可得，，
由平面向量数量积的定义可得，即，整理得，
解得或，
，所以，或都符合题意.
20、答案：（1）具有性质；不具有性质；（2）见解析；（3）
解析：
（1）根据定义即可求得具有性质；根据特殊值即可判断不具有性质；
（2）利用反证法，假设二次函数不是偶函数，根据题意推出与题设矛盾即可证明；
（3）根据题意得到，再根据具有性质，得到，解不等式即可.
解：（1），定义域为，
则有，
显然存在正实数，对任意的，总有，
故具有性质；
，定义域为，
则，
当时，，
故不具有性质；
（2）假设二次函数不是偶函数，
设，其定义域为，
即，
则，
易知，是无界函数，
故不存在正实数k，使得函数具有性质，与题设矛盾，
故是偶函数；
（3）的定义域为，

，
具有性质，
即存在正实数k，对任意的，总有，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
通过对比解得：，
即.
小提示：
方法点睛：应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.
21、答案：（1）；（2）.
解析：
（1）由，得，则，再结数量积的公式和可求得与的夹角；
（2）由，得，将此式展开，把代入可求得结果
（1）∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴与的夹角为.
（2）∵，∴，
∵，又由（1）知，
∴，∴.
小提示：
此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题
22、答案：         
解析：
由题意可得，进而可得，利用正弦定理化简可得，即可求出角B；根据诱导公式可得，结合角C的范围和正弦函数的性质即可得出结果.
由，
所以，
由正弦定理，得，
有，又，故；
，
因为，所以，则，
所以，即.
故答案为：；