函数、极限、连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,引 言,一、什么是高等数学,?,初等数学,研究对象为,常量,以静止观点研究问题,.,高等数学,研究对象为,变量,运动,和,辩证法,进入了数学,.,数学中的,转折点,是,笛卡儿,的,变数,.,有了变数,运动,进入了数学,有了变数，,辩证法,进入了数学,有了变数,微分和积分,也就立刻成,为必要的了,而它们也就立刻产生,.,恩格斯,1,哪些主要的科学问题呢,?,有四种主要类型的问题,.,Archimedes,2,第一类问题,已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。,3,困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是,0,，而,0/0,是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。,第一类问题,4,求曲线的切线。,这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。,第二类问题,5,第二类问题,困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。,古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。,6,第三类问题,求函数的最大最小值问题。,十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。,研究行星运动也涉及最大最小值问题。,7,困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。,第三类问题,8,第四类问题,求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。,9,困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。,穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。,第四类问题,10,1.,分析基础,:,函数,极限,连续,2.,微积分学,:,一元微积分,3.,向量代数与空间解析几何,4.,无穷级数,5.,常微分方程,主要内容,多元微积分,11,二、如何学习高等数学,?,1.,认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣,.,2.,学数学最好的方式是做数学,.,聪明在于学习,天才在于积累,.,学而优则用,学而优则创,.,由薄到厚,由厚到薄,.,马克思,恩格斯,要,辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学,.,一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步,.,华罗庚,12,1,函数、极限与连续,1.1,函数,1.2,初等函数,1.3,极限概念,1.4,极限的计算,1.5,无穷小量与无穷大量,1.6,函数的连续性,13,1.1,函数,1.1.1,区间及邻域,1.1.2,函数的定义,1.1.3,医学中常用,的函数表示法,1.1.4,函数的性质,14,1.1.1,区间及邻域,区间,(,interval,),开区间,a,b,闭区间,a,b,半开半闭区间,(a,b,、,a,b),以上区间统称为,有限区间,无限区间,(P.1,自学,),15,邻域,(,neighborhood,),邻域是一种特殊的区间。,点,a,的,邻域,a,a-,a+,点,a,的,空心邻域,a,a-,a+,右邻域,(,a,a,+,),，,左邻域,(,a,-,a,),16,1.1.2,函数的定义,(,function,),设,在某变化过程中有两个变量,x,、,y,，,如果对于,x,在某个范围,D,内的每一个确定的值,按照某个对应法则,f,，,y,都有（唯一）确定的值,与它对应，则称变量,y,是确定在,D,上的,x,的,函数,。,定义,1.1,x,：,自变量,x,的取值范围,D,：,定义域,y,：,因变量,(,函数变量,),函数值,y,的取值范围：,值域,，记为,f(D),(,function,),记为：,y,=,f,(,x,),，,x,D,17,1.,决定一个函数的因素有哪些？,2.,如何确定函数的定义域？,18,1.1.3,医学中常用,的函数表示法,列表法,用表格列示出,x,与,y,的对应关系。,图像法,以数对,(,x,y,),为点的坐标描绘出能反映,x,解析法,用等式表示出,x,与,y,的关系。,优点,：便于查出函数值。,与,y,的对应关系的曲线。,优点,：容易观察函数的变化趋势。,优点,：便于从理论上,对函数进行定性,研究与定量分析。,19,医学和物理学中常用的,分段函数,：,例,1.1.1,符号函数,x,y,o,-1,1,例,1.1.2,脉冲函数,x,o,y,例,1.1.3,x,y,o,20,1.1.4,函数的性质,奇偶性,设函数,y=f,x,),，,x,D,，,D,是对称于原点的数集。若对,D,上任何,x,，,如果,f,(,x,)=,f,(,x,),，,则称,y=f,(,x,),为,偶函数,；,如果,f,(,x,)=,f,(,x,),，,则称,y=f,(,x,),为,奇函数,。,偶函数的图像关于,y,轴对称，奇函数的图像关于原点对称。,21,单调性,设函数,y=f,(,x,),，,x,D,。,若对于,D,内任意两个,x,1,，,x,2,，,当,x,1,x,2,时，,总有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,则称函数,y=f,(,x,),是,D,上的,单调递增函数,；,当,x,1,0,当,x,=0,当,x,N,时,总有,记作,此时也称数列,收敛,否则称数列,发散,.,几何解释,:,即,或,则称该数列,的极限为,a,43,例,1.,已知,证明数列,的极限为,1.,证,:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,44,例,2.,已知,证明,证,:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也,可取,也可由,N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,说明,:,取,45,收敛性质,证,:,用反证法,.,及,且,取,因,故,存在,N,1,从而,同理,因,故,存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,1.,收敛数列的极限唯一,.,使当,n,N,1,时,假设,从而,矛盾,.,因此收敛数列的极限必唯一,.,则当,n,N,时,故假设不真,!,满足的不等式,46,2.,收敛数列一定有界,.,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,虽,有界但不收敛,.,数列,47,1.3.2,函数极限,(,limit of function,),数列,x,n,可表示成函数的形式：,y=f(n),n,N,y=f(x),x,N,这时，自变量的变化趋势只有一种：,x,+,而对一般的函数而言，,y=f(x),x,D,自变量的变化趋势有两种情形：,x,+,、,x,-,、,x,;,x,x,0,48,定义,1.4,(,x,趋于无穷大时函数,f(x),的,极限,),设函数,f(x),在区间,(,a,+,),内有定义，,A,是某确定常数。若当,x,+,时，,f(x),与,A,的距离,|,f(x),-A|,任意小，则称,函数,f(x),在,x,+,时以常数,A,为极限,，记为,或,并称,x,+,时,f(x),收敛,(,converge,),；,否则，称,x,+,时,f(x),发散,(,diverge,),。,同理，可定义,函数,f(x),在,x,-,时以常数,A,为极限：,49,定义,.,设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的,极限,几何解释,:,记作,直线,y,=,A,为曲线,的水平渐近线,A,为函数,50,直线,y,=,A,仍是曲线,y=f,(,x,),的渐近线,.,两种特殊情况,:,当,时,有,当,时,有几何意义,:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,51,定义,1.5,(,x,趋于,x,0,时函数,f(x),的,极限,),设函数,f(x),在,点,x,0,附近有定义,，,A,是某确定常数。若当自变量,x,趋于,x,0,时，,f(x),与,A,的距离,|,f(x),-A|,任意小，则称,函数,f(x),在,x,趋于,x,0,时以常数,A,为极限,，记为,或,并称,x,趋于,x,0,时,f(x),收敛,；,否则，称,x,趋于,x,0,时,f(x),发散,。,52,定义,1.,设函数,在点,的某去心,邻域内有定义,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,即,当,时,有若,记作,几何解释,:,极限存在,函数局部有界,这,表明,:,53,说明：,函数极限的实质,：,考察当,x,x,0,时，函数,f,(,x,),的变化趋势：,若,x,x,0,时函数,f,(,x,),收敛，则,x,x,0,时,f,(,x,),必定趋向于某一个确定的数；,若,x,x,0,时函数,f,(,x,),发散，则,x,x,0,时,f,(,x,),不趋向于任何确定的数。,“,x,x,0,”,表示,x,从,x,0,的,两侧,任意接近,x,0,。,但有时也需考虑,x,从,x,0,的某一侧任意接近,x,0,时，函数,f,(,x,),的极限情况。,54,例,.,证明,证,:,故,取,当,时,必有,因此55,例,1.3.2,不存在,不存在,不存在,不存在,56,x,0,时，,在,1,和,1,之间无限震荡。,57,1.3.3,单侧极限,(,one-sided limit,),定义,1.6,(,单侧极限,),设函数,f(x),在区间,(,x,0,x,0,+,),内有定义，,A,是某确定常数。若,x,从,x,0,的右侧,趋于,x,0,时，,f(x),与,A,的距离,|,f(x),-A|,任意小，则称函数,f(x),在,x,趋于,x,0,时以常数,A,为,右极限,(,right-sided limit,),，,记为,或,同理，,左极限：,(,left-sided limit,),58,例,1.3.3,考察符号函数,sgnx,在,x,=0,处的单侧极限。,解：,sgnx,的,图像如右图：,o x,y,1,-1,则右极限,左极限,x,0,时，,sgnx,的变化趋势如何？,是否有极限？可得出什么结论？,59,定理,1.1,(,单侧极限与一般极限的关系,),当,x,x,0,时，函数,f,(,x,),极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即,or,60,例,.,设函数,讨论,时,的,极限是否存在,.,解,:,利用定理,3.,因为,显然,所以,不,存在,.,61,问,a,为何值时，所给函数在,x,=2,处极限存在,?,例,1.3.4,解：,左极限,右极限,欲使函数在,x,=2,处,有极限，必有4+2a=20,a=8.,62,研究函数在,x,x,0,极限时，是否要考虑,f,(,x,),在,x,=,x,0,时的性态？为什么？,若,f,(,x,0,+0),和,f,(,x,0,-0),都存在，当,x,趋于,x,0,时，,f,(,x,),的极限一定存在吗？,如何利用,f,(,x,0,+0),和,f,(,x,0,-0),来判断当,x,趋于,x,0,时，,f,(,x,),的极限不存在？,63,1.4,极限的计算,1.4.1,极限的四则运算法则,1.4.2,两个重要极限,64,1.4.1,极限的四则运算法则,具体的运算法则见,P.18,定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则,:,定理,1.2,极限的四则运算法则,),则有,定理,.,若,定理,.,若,则有,定理,.,若,且,B,0,则有,65,例,.,求,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,66,例,6,.,求,解,:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“,抓大头,”,原式,67,一般有如下结果：,为非负常数,),68,例,1.4.1,例,1.4.2,=-1,例,1.4.3,69,思考及练习,1.,是否存在,?,为什么,?,答,:,不存在,.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与,已知条件,矛盾,.,解,:,原式,2.,问,70,3.,求,解法,1,原,式,=,解法,2,令,则,原,式,=,71,4.,试确定常数,a,使,解,:,令,则,故,因此,72,1.4.2,两个重要极限,两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。,73,圆扇形,AOB,的面积,证,:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,故有,注,74,当,时,注,75,例,1.4.5,=-1,例,1.4.6,=1,例,1.4.4,=3,76,例,.,求,解,:,例,.,求,解,:,令,则,因此,原式,77,例,1.4.7,78,例,.,求,解,:,原式,=,例,.,已知圆内接正,n,边形面积为,证明,:,证,:,说明,:,计算中注意利用,79,80,2.,证,:,当,时,设,则,81,当,则,从而有,故,说明,:,此极限也可写为,时,令,82,例,1.4.9,例,1.4.10,例,1.4.8,83,例,.,求,解,:,原式,=,84,例,.,求,解,:,令,则,因此,原式,且,85,例,.,求,解,:,原式,=,86,1.5,无穷小量与无穷大量,1.5.1,无穷小量,1.5.2,无穷小量阶的比较,1.5.3,无穷大量,87,1.5.1,无穷小量,如果,定义,1.7,(,无穷小量,),则称,f(x),是,xx,0,时,的,无穷小量,(infinitesimal),.,说明：,类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：,x,，,xx,0,+,，,xx,0,-,称以,0,为极限的数列为,无穷小数列,。,88,例,1.5.1,因为,所以当,x,1,时函数,x,-1,为无穷小量。,因为,所以当,x,时函数,1/,x,为无穷小量。,无穷小量是很小的数吗？,数零是不是无穷小量？,89,无穷小的性质,当,x,x,0,时，如果,f,(,x,),、,g,(,x,),均为无穷小，则当,x,x,0,时，有,:,f,(,x,),g,(,x,),为无穷小。,推广：,有限个,无穷小的代数和是无穷小,。,有界变量,(,常量、无穷小量,),与无穷小的积是无穷小,。,两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？,如：,x,0,时，,3,x,、,x,2,、,sinx,都是无穷小，但,90,其中,为,时的,无穷小量,.,定理,.,(,无穷小与函数极限的关系,),证,:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证,.,91,1.5.2,无穷小量阶的比较,对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于,0,的速度。,设,f,(,x,),、,g,(,x,),为,x,x,0,时的无穷小，如果,则称,x,x,0,时，,f,(,x,),是比,g,(,x,),高阶的无穷小,；,则称,x,x,0,时，,f,(,x,),是比,g,(,x,),低阶的无穷小,；,记为：,f,(,x,),=,o(,g,(,x,)(,x,x,0,),92,则称,x,x,0,时，,f,(,x,),与,g,(,x,),是,同阶的无穷小,。,特别地，当,k,=1,时，称,f,(,x,),与,g,(,x,),是,等价无穷小,。,记为：,f,(,x,),=,O(,g,(,x,)(,x,x,0,),记为：,f,(,x,),g,(,x,)(,x,x,0,),93,例如,当,时,又如,，,故,时,是,关于,x,的二阶无穷小,且,94,例,1.5.2,因为,所以，,当,x,0,时，,x,2,是比,3x,高阶的无穷小量,即,x,2,=o(,3x,)(,x,0),又,则当,x,3,时,x,2,-,9,是与,x-3,同阶的无穷小量，,x,2,-,9=O(,x-,3)(,x,3),95,例,1.5.3,当,x,0时，,a,取何值使得,解：,要使,必须,a,=2,96,扩展：,定理,设,且,存在，,则,在求极限中的应用：,例,1.5.4,求,解：,当,时，,si,n,x,x,故,P.24,例,3,97,例,1.,求,解,:,原,式,例,2.,求,解,:,98,1.5.2,无穷大量,定义,1.8,(,无穷大量,),如果,则称函数变量,f,(,x,),是,x,x,0,时的,无穷大量,(infinitely great),。,说明：,不可将无穷大,(),与很大的数混为一谈；,无穷大数列,；,无穷大与无穷小的关系,。,99,1.6,函数的连续性,1.6.1,连续的概念,1.6.2,函数的间断点,1.6.3,连续函数的性质与初等函数的连续性,100,1.6.1,连续的概念,变量的增量,(increment),函数的连续性,定义,1.9,(,函数的连续性,定义,1,),设,y,=,f,(,x,),在,x,0,的某邻域内有定义。自变量的增量,x,=,x,-,x,0,函数的增量,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),。,则称,函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,处连续,。,(continuity of function),x,0,f,(,x,0,),x,0,+,x,f,(,x,0,+,x,),y,f(x,),若,101,例,1.6.1,证明,y,=,sin,x,在,点,x,(,-),连续。,证明：,由定义,1.9,知,y,=,sin,x,在,任意点,x,(,-,+,),连续，称,sin,x,在区间,(,-,+,),内是连续的,。,类似地,y=,cosx,在区间,(,-,+,),内是连续的,。,102,定义,1.10,(,函数的连续性定义,2,),说明：,(1),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,及附近有定义；,几何意义：,定义要点：,函数曲线在,x,=,x,0,处是“连”着的。,在求极限中的应用：,(2),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处极限存在；,(3),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处极限值等于函数值,f,(,x,0,)即,：,求连续函数的极限时,极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。,103,定义,1.11,(,函数的左、右连续性,),设函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,x,0,-,x,0,内,有定义，如果,f,(,x,0,)=,f,(,x,0,-0),，,则称函数在点,x,0,左连续,。,同理，可定义,右连续,。,x,y,x,0,x,y,x,0,定理,1.3,(,连续的充分必要条件,),左连续,右连续,104,定义,1.12,(,函数,在区间内,(,上,),连续,),如果函数,y,=,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内的每一点都连续，则称,y,=,f,(,x,)在开区间,(,a,b,),内连续,。,如果函数,y,=,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内连续，且在区间左端点,a,右连续，在区间右端点,b,左连续，则称,y,=,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续,。,说明：,区间内,(,上,),的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。,105,1.6.2,函数的间断点,函数的间断点：,如果函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,不连续，则称,点,x,0,为函数,y,=,f,(,x,),的,间断点,(point of discontinuity),。,怎样判断,点,x,0,为函数,y,=,f,(,x,),的间断点,：,(1),函数在点,x0,是否有定义；,(2),函数在点,x,0,处的左、右极限均是否存在并相等；,(3),函数在点,x,0,处的极限值是否等于该点的函数值。,函数间断点的分类：,间断点分为两类。,106,第一类间断点,：,设,x,0,为函数,y,=,f,(,x,),的间断点，如果,f,(,x,),在间断点,x,0,处的左、右极限都存在,(,不论,f,(,x,),在,x,0,处是否有定义,),，则称,x,0,是,f,(,x,),的,第一类间断点,x,y,x,0,x,y,x,0,第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,可去间断点,跳跃间断点,x,y,x,0,107,显然,为其,可去间断点,.,为,其跳跃间断点,.,108,第,二,类间断点：,除第一类间断点以外的其它间断点统称为,第二类间断点,。,常见的有,无穷间断点,和,振荡间断点。,例,1.6.3,考察下列函数在,x,=0,处的间断情况：,x,=0,为振荡间断点,为无穷间断点,109,1.,求,的,间断点,并判别其类型,.,解,:,x,=1,为第一类,可去间断点,x,=1,为第二类,无穷间断点,x,=0,为第一类,跳跃间断点,110,1.6.3,连续函数的性质与初等函数的连续性,定理,1.4,(,连续函数四则运算的连续性,),在区间,I,上,连续的函数的和、差、积与商,(,分母不为零,),，在区间,I,上,仍是连续的。,定理,1.5,(,复合函数的连续性,),由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。,由,sinx,、,cosx,的连续性知,tan,x,=,sinx/cosx,和,cot,x,=,cosx/sinx,在其定义域内是连续函数。,幂函数,在其定义域内是连续函数。,111,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,112,例,.,设,均在,上,连续,证明函数,也在,上,连续,.,证,:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续,.,113,定理,1.6,(,反函数的连续性,),在区间,I,上连续且严格单调的函数的反函数，在对应区间上仍是连续且严格单调的。,由三角函数的连续性知，反三角函数,arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx,在其定义域内都是连续函数。,定理,1.6,(,基本初等函数的连续性,),基本初等函数在其定义域内是连续函数。,定理,1.7,(,初等函数的连续性,),初等函数在其定义域内是连续函数。,114,例,.,求,解,:,原式,例,.,求,解,:,令,则,原式,说明,:,当,时,有,115,例,.,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,116,例,.,设,解,:,讨论复合函数,的连续性,.,故此时连续,;,而,故,x,=1,为第一类间断点,.,在点,x,=1,不连续,117,定理,1.7,(,最大值、最小值定理,),闭区间,a,b,上的连续函数必有最大值,M,和最小值,m,。,定理,1.8,(,介值定理,),f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，,f,(,a,)=,A,，,f,(,b,)=,B,那么对,A,与,B,之间任意的数,h,，,在开区间,(,a,b,),内至少有一点,c,，,使得,f,(,c,)=,h,118,例,.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明,:,内必有方程的根,;,取,的中点,内必有方程的根,;,可用此法求近似根,.,二分法,在区间,内至少有,则,则,119,小结,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,120,1.,任给一张面积为,A,的纸片,(,如图,),证明必可将它,思考与练习,一刀剪为,面积相等的两片,.,提示,:,建立坐标系如图,.,则,面积函数,因,故由,介值定理可知,:,121,则,证明至少存在,使,提示,:,令,则,易证,2.,设,一点,122,备用题,至少有一个不超过,4,的,证,：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证,.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根,.,123,