概率论与数理统计数学期望.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,设某射击手在同样的条,件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).,射中次数记录如下,引例,射击问题,试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?,命中环数,k,命中次数,频率,一、数学期望的概念,解,平均射中环数,平均射中环数,频率随机波动,随机波动,随机波动,稳定值,“,平均射中环数”,的稳定值,“,平均射中环数”,等于,射中环数的可能值与其概率之积的累加,1.离散型随机变量的数学期望,关于定义的几点说明,(1),E,(,X,)是一个实数,而非变量,它是一种,加,权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现,了随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,也称,均值.,(2),级数的绝对收敛性,保证了级数的和不,随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要,求是因为数学期望是反映随机变量,X,取可能值,的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,例1（常见离散型随机变量的数学期望）,若Xb(1,p)：,X,(),2.连续型随机变量数学期望的定义,解,因此,顾客平均等待,5,分钟就可得到服务,.,例2,顾客平均等待多长时间?,设顾客在某银行的窗口等待服务的时间,X,(,以分计,),服从指数分布,其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间,?,例3（均匀分布的数学期望）,设Xexp()，则EX=1/,例4,1.离散型随机变量函数的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,若,Y,=,g,(,X,),且,则有,例5，P94，6,2.连续型随机变量函数的数学期望,若,X,是连续型的,它的分布密度为,f,(,x,),则,例6：P94，10,例,7,解,例10：P94,12,3.二维随机变量函数的数学期望,例9，P94，11,1.设,C,是常数,则有,证明,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,证明,例如,三、数学期望的性质,4.设,X,Y,是相互独立的随机变量,则有,3.设,X,Y,是两个随机变量,则有,证明,说明,连续型随机变量,X,的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.,解,例,5,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种,加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量,X,取可能值的,真正的平均值,.,2.数学期望的性质,一、随机变量方差的概念及性质,三、例题讲解,二、重要概率分布的方差,四、小结,第二节方差,1.概念的引入,方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量,.,实例,有两批灯泡,其平均寿命都是,E,(,X,)=1000小时.,一、随机变量方差的概念及性质,2.方差的定义,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度的量,.,如果,D,(,X,),值大,表示,X,取值分散程度大,E,(,X,),的代表性差,;,而如果D,(,X,),值小,则表示,X,的取值比较集中,以,E,(,X,),作为随机变量的代表性好,.,3.,方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,4.随机变量方差的计算,(1),利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,证明,5.方差的性质,(1)设,C,是常数,则有,(2)设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,证明,(3)设,X,Y,相互独立,D,(,X,),D,(,Y,)存在,则,证明,推广,1.,两点分布,已知随机变量,X,的分布律为,则有,二、重要概率分布的方差,2.,二项分布,则有,设随机变量,X,服从参数为,n,p,二项分布,其分布律为,3.,泊松分布,则有,所以4.,均匀分布,则有,结论,均匀分布的数学期望位于区间的中点,.,5.,指数分布,则有,6.,正态分布,则有,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,契比雪夫,得,四、小结,1.,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度的量,.,如果,D,(,X,),值大,表示,X,取值分散程度大,E,(,X,),的代表性差,;,而如果,D,(,X,),值小,则表示,X,的取值比较集中,以,E,(,X,),作为随机变量的代表性好,.,2.,方差的计算公式,3.,方差的性质,4.,契比雪夫不等式,一、协方差与相关系数的概念及性质,二,、,相关系数的意义,三、小结,第三节 协方差及相关系数,1.问题的提出,一、协方差与相关系数的概念及性质,协方差,2.定义,3.说明,(2)相关系数描述的是随机变量X和Y之间的线性相关关系，相关系数的绝对值越大，说明两者之间线性相关程度越大，否则若相关系数等于0，说明两者之间不存在线性相关关系，称之为不相关。,即X，Y不相关。,不相关,独立,但在二维正态中独立和不相关是等价的,证明：利用柯西-施瓦兹不等式,该不等式的证明可通过定义t的函数,g(t)作为t的二次函数应有,即,由此得,而相关系数,令X1=X-EX，Y1=Y-EY,有,4.协方差的计算公式,证明,5.性质,解,例,2,一、协方差与相关系数的概念及性质,二,、,相关系数的意义,三、小结,第三节 协方差及相关系数,1.问题的提出,一、协方差与相关系数的概念及性质,协方差,2.定义,3.说明,(2)相关系数描述的是随机变量X和Y之间的线性相关关系，相关系数的绝对值越大，说明两者之间线性相关程度越大，否则若相关系数等于0，说明两者之间不存在线性相关关系，称之为不相关。,即X，Y不相关。,不相关,独立,但在二维正态中独立和不相关是等价的,证明：利用柯西-施瓦兹不等式,该不等式的证明可通过定义t的函数,g(t)作为t的二次函数应有,即,由此得,而相关系数,令X1=X-EX，Y1=Y-EY,有,4.协方差的计算公式,证明,5.性质,解,例,2,一、基本概念,二、,n,维正态变量的性质,三、小结,第四节矩、协方差矩阵,一、基本概念,1.定义,2.说明,3.协方差矩阵,协方差矩阵的应用,协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究,由于,引入矩阵,由此可得,由于,推广,二、,n,维正态变量的性质,线性变换不变性,三、小结,2.,正态变量是最重要的随机变量,，其,性质一定,要熟练掌握,.,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第四章随机变量的数字特征习,题 课,一、重点与难点,1.重点,数学期望的性质和计算,2.难点,数字特征的计算方差的性质和计算,相关系数的性质和计算,二、主要内容,数学期望,方 差,离散型,连续型,性 质,协方差与相关系数,二维随机变量的数学期望,定 义,计 算,性 质,随机变量函数的数学期望,定 义,协方差的性质,相关系数定理,离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望,离散型随机变量函数的数学期望为,则有,则有,数学期望的性质,1.设,C,是常数,则有,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,3.设,X,Y,是两个随机变量,则有,4.设,X,Y,是相互独立的随机变量,则有,二维随机变量的数学期望,同理可得,则,则,方差的定义,方差的计算,离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差,方差的性质,1.设,C,是常数,则有,2.设,X,是一个随机变量,C,是常数,则有,协方差与相关系数的定义,协方差的性质,相关系数定理,三、典型例题,解,例,1,解,从数字0,1,2,n,中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.,一般的,例,2,解,例,3,某银行开展定期定额有奖储蓄,定期一年,定额60元,按规定10000个户头中,头等奖一个,奖金500元;二等奖10个,各奖100元;三等奖100个,各奖10元;四等奖1000个,各奖2元.某人买了五个户头,他期望得奖多少元?,解,因为任何一个户头获奖都是等可能的,分布列为,例,4,买五个户头的期望得奖金额为,解,例,5,解,例,6,解,例,7,解,例,8,