高等教育线性代数矩阵.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第一节 矩阵的基本概念,一 矩阵的引入,三 几种特殊矩阵,四 矩阵与线性变换,五 小结,二 矩阵的概念,1,、某班级同学早餐情况,这个数表反映了学生的早餐情况,.,姓名,馒头,包子,鸡蛋,稀饭,周同学,1,2,1,1,张同学,0,0,0,0,陈同学,0,2,2,1,为了方便，常用下面的数表表示,一、矩阵的引入,2,、某航空公司在,，,四城市之间的航线图,其中,表示有航班,.,为了便于计算,把表中的,改成,空白地方填上,就得到一个数表,:,北京,杭州,广州,上海,这个数表反映了四城市间交通联接情况,.,为了方便，常用下面的数表表示,广州,杭州,北京,上海,发站,广州 杭州 北京 上海,到站,3,、线性方程组,的解取决于,系数,常数项,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,对线性方程组的,研究可转化为对,这张表的研究,.,二、矩阵的定义,定义,）排成的 行 列的矩形数表，称为数域,由数域中的个数（,记作：,元素,行标,列标,称为矩阵的,元,.,中的一个,矩阵,.,F,或,或,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,注：,、,只有一行的矩阵称为,行矩阵,只有一列的矩阵称为,列矩阵,.,、,、,行数与列数相等的矩阵称为,阶方阵,、,若，且，,称,两矩阵同型,.,、,称为,方阵的行列式,.,若，且，,称,两矩阵相等,.,、,例如,实矩阵,矩阵（行矩阵）,矩阵（阶方阵）,矩阵,（列矩阵）,复矩阵,阶方阵,两矩阵同型,两矩阵相等,三、几种特殊的矩阵,、,零矩阵,个,元素全为零的矩阵称为,零矩阵,.,注意,不同的零矩阵未必相等的,.,记作 或,.,、,对角矩阵,主对角线以外的所有,元素全为零的方阵称为,对角阵,.,不全为,0,记作,、,单位矩阵,主对角线上的所有,元素全为,1,的对角阵称为,单位阵,.,全为,1,记作,4,、,数量矩阵,记作,主对角线上的所有,元素全为 的对角阵称为,数量阵,.,全为,5,、,三角矩阵,形如,形如,的矩阵称为,上三角矩阵,.,的矩阵称为,下三角矩阵,.,上三角矩阵与下三角矩阵统称为,三角阵,.,记作,6,、,负矩阵,称满足下列两个条件的矩阵为,行,阶梯形矩阵,：,1,）若有零行（元素全为零的行），位于底部；,若,，则称,为 的,负矩阵,.,记作,7,、,行,阶梯形矩阵,2,）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,.,如,称满足下列三个条件的矩阵为,行最简形矩阵,：,1,）行阶梯形矩阵,8,、,行最简形矩阵,2,）各非零行的首非零元均为,1.,3,）首非零元所在列其它元素均为,.,如,称满足下列两个条件的矩阵为,标准形,：,1,）左上角为单位阵；,、,标准形,）其它元素均为,.,如,之间的关系式,一个,线性变换,.,四、矩阵与线性变换的关系,个变量与个变量,表示一个从变量 到变量,其中 为常数,.,线性变换的系数构成的矩阵称为,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,.,若线性变换为,称之为,恒等变换,.,对应,单位阵,.,线性变换,对应,线性变换,对应,这是一个以原点为中心,旋转 角的,旋转变换,.,(1),矩阵的概念,五、小结,(2),特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵；,单位矩阵；,对角矩阵,；,零矩阵,.,矩阵与行列式的有何区别,?,思考题,矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同,.,另外行列式与矩阵的记号也是不同的,.,解答,第二节 矩阵的运算,一 加法,三 乘法,四 矩阵的幂,九 小结,二 数乘,六 方阵的行列式,五 矩阵的转置,七 伴随矩阵,八 共轭矩阵,课前复习,1,、矩阵的定义,形数,表，称为数域,中的一个,矩阵,.,由数域,中的,个数,排成的行列的矩,记作：,注：,实矩阵,，,复矩阵，行矩阵,，,列矩阵，方阵，方阵,的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等,.,2,、几种特殊的矩阵,1,）,零矩阵,个,元素全为零的矩阵称为,零矩阵,.,2,）,对角矩阵,主对角线以外的所有,元素全为零的方阵称为,对角阵,.,3,）,单位矩阵,主对角线上的所有,元素全为的对角阵称为,单位阵,.,4,）,数量矩阵,主对角线上的所有,元素全为,的对角阵称为,数量阵,.,5,）,三角矩阵,上三角矩阵与下三角矩阵统称为,三角阵,.,6,）,负矩阵,称满足下列两个条件的矩阵为,阶梯形矩阵,：,1,）若有零行（元素全为零的行），位于底部；,7,）,阶梯形矩阵,2,）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,.,称满足下列三个条件的矩阵为,行最简形矩阵,：,1,）行阶梯形矩阵,8,）,行最简形矩阵,2,）各非零行的首非零元均为,.,3,）首非零元所在列其它元素均为,.,称满足下列两个条件的矩阵为,标准形,：,1,）左上角为单位阵；,9,）,标准形,）其它元素均为,.,一、矩阵的加法,1,、定义,注意,:,只有,同型矩阵,才能进行加法,运算,.,若,规定,2,、运算规律,（设,均是同型矩阵）,（,1,）,（交换律）,（,2,）,（,结合,律）,（,3,）,（,4,）,（,5,）（减法）,二、数乘矩阵,1,、定义,若,规定,2,、运算规律,（设 均是 矩阵，）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,6,）,1,）数乘矩阵是数,去乘,中的每一个元素,.,注意,:,（,5,）,2,）若 ，则,矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的,线性运算,.,三、矩阵的乘法,1,、引例,设甲、乙两家公司生产,、,、,三种,型,如果生产这三种型号的计算机每台的利润,(,单位：,万,甲,乙,那么这两家公司的月利润,(,单位：万元,)为多少,?,号的计算机，月产量（单位：台）为,元台,),为,甲公司每月的利润为,29.1,万元，乙公司的利润为,由例题可知矩阵,、,、,的元素之间有下列关系,34.1,万元,.,依题意,2,、定义,若,规定,其中,注：,1,）条件,左,矩阵,的,列,数等于,右,矩阵,的,行,数,2,）方法,等于,左,矩阵 的,第 行,与,右,矩阵 的,第 列,对应元素,左行右列法,矩阵乘积 的元素,乘积的和,.,3,）结果,左行右列,左,矩阵,的,行,数,为,乘积,的行数,，,右,矩阵,的,列,数为乘积,的列数,.,特别：,与,矩阵的乘积,与,矩阵的乘积为,为一阶方阵，即一个数,一个阶方阵,例,1,设,解,3,、矩阵相乘的三大特征,1,、无交换律,2,、无消去律,3,、若,4,、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,注,不尽相同，亦不尽相同,.,(1),定义,对于矩阵 ，若 ，称 与 可交换,.,例,2,设 ，求 的所有可交换矩阵,.,解,设,，于是,即,建立方程组得,所以,四、方阵的幂,1,、定义,规定,若,注：,1,、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,.,2,、只能是正整数,.,（,1,）,（,2,）,2,、运算规律,（设 均是 阶方阵，）,（,4,）,（,3,）,（,5,）,注：,（,1,）,（,2,）,（,7,）,例,3,设,，计算,解,下用,数学归纳法,证明,猜想,当 时，等式显然成立,.,当 时，等式成立，,即,等式成立,.,所以,猜想正确,.,要证 时成立，此时有,解,例,4,设,，计算,.,易见,把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的,转置矩阵,，记作,.,例,五、,矩阵的转置,1,、定义,2,、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,3,）,特别,例,5,已知,解,所以,而且,显然,对称矩阵,的特点是：它的元素以,主对角线为对称轴,对应相等,.,如,3,、对称矩阵,定义,设 为 阶方阵，若 ，即 ，,那么 称为,对称矩阵,.,两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,对称矩阵的数乘也是对称矩阵,.,但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,.,特别,定义,设 为 阶方阵，若 ，即 ，,那么 称为,反,对称矩阵,.,反,对称矩阵,的主要特点是,:,主对角线上的元素为,0,其余的元素关于,主对角线,互为相反数,.,如,两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵,.,但两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵,.,特别,4,、反对称矩阵,证明,例,6,设列矩阵 ，满足,为 阶单位矩阵，且 ，证明 是对,称矩阵，且,.,是对称矩阵,.,又,证明任一 阶方阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和,.,证明,所以,C,为对称矩阵,.,所以,B,为反对称矩阵,命题得证,.,例,7,设,则,设,则,六、方阵的行列式,注意,方阵与行列式是两个不同的概念,.,1,、定义,由阶方阵,的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做,方阵,的行列式,.,记作,2,、运算规律,（假定所有运算合法，,是矩阵，,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,3,）,注,例,8,已知,解,所以,易见,1,、定义,行列式 的各个元素的代数余子式 按照,的位置所构成矩阵的转置,.,七、伴随矩阵,称为矩阵 的,伴随矩阵,.,2,、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（,1,）,（,2,）,或,同理可得,性质,证明,所以,0,0,八、共轭矩阵,1,、定义,当 为复矩阵时用 表示 的共轭,复数，记，称为 的,共轭矩阵,.,2,、运算规律,（假定所有运算合法，是矩阵，）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,6,）,（,5,）,（,7,）,九、小结,矩阵运算,数乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,方阵的幂,线性运算,对称矩阵,反对称矩阵,加法,一 背景,二 逆矩阵的概念与性质,三 应用,四 小结,第三节 逆矩阵,课前复习,矩阵运算,加法,数乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,矩阵的幂,线性运算,对称矩阵,反对称矩阵,乘法运算中的，,在数的运算中，当数,时，,则 称为,的倒数,，,个矩阵 ，,在矩阵的运算中，,一、背景,1,、数,2,、矩阵,则矩阵,称为的,可逆矩阵,，,（或称为,的逆,）；,有,单位阵,相当于数的,那么，对于矩阵,，如果存在,一,有,称为,的逆阵,.,3,、线性变换,它的系数矩阵是一个阶矩阵,，,若记,则上述线性变换可表示为,按,Cramer,法则，若,，,则由上述线性变换可,解出,在按第 列展开得,即,则 可用,线性表示为,若令,易知这个表达式是唯一的,.,这是从 到,的线性变换，称为,原,线性变换的逆变换,.,若把此逆变换的系数记,作 ，,则此逆变换也可以记作,为恒等变换所对应的矩阵，故,因此,于是有,由此，可得,可见,又,例,使得,的逆矩阵记作,二、逆矩阵的概念和性质,1,、,定义,对于 阶方阵 ，如果有一个 阶方阵 ，,则称方阵 是,可逆,的，,是 的逆矩阵,.,并把方阵 称为 的,逆矩阵,.,若设 和 是 逆矩阵，,则有,所以 的逆矩阵是唯一的,即,说明,若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是,唯一,的,.,证明,于是,例,1,设,求 的逆矩阵,.,解,设,则,证明,，使得,两边求行列式，有,定理,1,若矩阵 可逆，则,若矩阵 可逆，则,即有,定理,2,矩阵 可逆的充要条件是 ，,且,其中,为矩阵,的伴随矩阵,.,证明,因为矩阵与其伴随矩阵有,，故有,又因为,所以，按逆矩阵的定义，即有,例,2,解,当 时，称为,奇异矩阵,；,证明,推论,若,或,，则当 时，称为,非,奇异矩阵,.,2,、奇异矩阵与非奇异矩阵,易知,于是,只证,时，,3,、运算规律,（设 均是 阶可逆方阵）,1,）若,且,证明,由推论，即有,2,）若,且,且,3,）若,，且 同阶，,推广,证明,4,）若,且,5,）若,6,）若,证明,且,证明,而,因为,所以,为整数）,（其中,7,）其它的一些公式,8,）一些规定,四、应用,例,3,求下列矩阵的逆，其中,解,1,）,依对角矩阵的性质知：,依矩阵的逆的定义，必有,易知：,解,2,）,即,计算,其中,例,4,的行列式,.,解,例,5,求,解,设,且满足,有,而,设,求,例,6,其中,为矩阵,的伴随矩阵,.,解,例,7,解矩阵方程,解,设,例,8,证明,证明,例,9,所以 可逆,.,由,，得,例,10,可逆，并求它们的逆矩阵,.,由,设方阵,满足方程,，证明,证明,所以 可逆,.,逆矩阵的概念及运算性质,.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,五、小结,定义法,初等变换法（后面介绍）,一 矩阵的分块,二 分块矩阵的运算法则,五 小结,六 思考,第四节 矩阵的分块法,三 应用,四 两种特殊的分块法,课前复习,使得,的逆矩阵记作,定义,对于阶矩阵,，如果有一个阶矩阵,，,则称矩阵,是,可逆,的，,并把矩阵,称为,的,逆矩阵,.,说明,若,是可逆矩阵，则,的逆矩阵是,唯一,的,.,定理,1,若矩阵,可逆，则,定理,2,矩阵,可逆的充要条件是 ，且,其中为矩阵,的伴随矩阵,.,当 时，,称为,奇异矩阵,；,当 时，,称为,非奇异矩阵,.,运算规律,（设,均是阶方阵）,1,）若,且,2,）若,且,3,）若,，且 同阶，,推广,4,）若,且,5,）若,6,）若,且,且,（其中,为整数）,7,）其它的一些公式,8,）一些规定,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，,经常采用,分块法,，使大矩阵的运算化成小矩阵的运,算,.,具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成,许多个小矩阵，每一个小矩阵称为,子块,，以子块为,元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,.,例,即,注：,分块时首先满足 ，再考虑对角或三角矩阵，,然后,考虑 以及其它的特殊矩阵,.,按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式,.,二、分块矩阵的运算规则,1,、矩阵的加法,设 与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有,其中 与 为同型矩阵，则,分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,.,2,、数乘,则,3,、乘法,设 ，分块成,其中 的列数分别等于 的行数,.,其中,4,、转置,则,那么,分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置,.,都是方阵,.,5,、,分块对角矩阵,设,为阶方阵，若,的分块矩阵只有在主对角,线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余,子块全为零，那么方阵,就称为,分块对角阵,.,即如,都是,分块对角,阵,.,分块对角矩阵具有下述性质,:,1,）,2,）,3,）,若,则有,若 ，则有,5,）,若,则,均为可逆方阵,.,4,）,若,则,6,、,设,则,例,1,设,三、应用,求,解,分块,则,又,于是,例,2,设,求,解,-1,例,3,设,求,其中,解,例,4,设 为 阶方阵，分别为 的伴随矩阵，,分块阵,，则 （）,分析,例,5,设,求,解,令,其中,所以,而,所以 可求,.,称为矩阵,的,个,行向量,.,矩阵,有,个行，,称为矩阵,的,个,列向量,.,矩阵,有,个列，,四、两种特殊的分块法,-,按行分块与按列分块,.,行记作,，则矩阵,便记为,若第,列记作,若第,，则矩阵,便记为,对于线性方程组,若记,其中 称为系数矩阵,，,称为,增广矩阵,.,称为,未知数向量,，,称为,常数项向量,，,按分块矩阵的记法，可记,利用矩阵的乘法，此方程组可记作,如果把系数矩阵按行分成 块，则线性方程组,可记作,这就相当于把每个方程,记作,如果把系数矩阵按列分成 块，则与 相乘的 相应,的,应分为,块，从而可记作,即,对于矩阵 与矩阵 的乘积矩阵,，若把 按行分成 块，把 按列分成,块，,其中,便有,另外,：以对角矩阵 左乘矩阵 时，把 按行,分块，有,另外,：以对角矩阵 右乘矩阵 时，把 按列,分块，有,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,.,(1),加法,(2),数乘,(3),乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似：,同型矩阵，采同相同的分块法；,数 乘矩阵 ，需 乘 的每一个子块；,若 与 相乘，需 的列的划分与,的行的划分相一致,.,五、小结,(4),转置,(5),分块对角阵的行列式与逆阵,(6),两种特殊的分块法：按行分块与按列分块,.,六、思考题,证,一 消元法,二 矩阵的初等变换,五 小结,六 思考,第五节 矩阵的初等变换与秩,三 矩阵的秩,四 应用举例,课前复习,1,、矩阵的逆,2,、分块对角矩阵,1,）,2,）,3,）,若,4,）,若,则,则,3,、线性方程组的几种形式,4,、与 的乘法,引例,求解线性方程组,一、消元法解线性方程组,解,即,其中为任意常数,.,总结,1,、上述解方程组的方法称为,高斯消元法,2,、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换,（,1,）交换方程次序；,（,2,）以不等于的数乘某个方程；,（,3,）一个方程的倍加到另一个方程,3,、这三种变换均可逆,.,4,、方程组的变换可以看成矩阵的变换,.,1,、定义,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,.,（,1,）互换两行：,（,2,）数乘某行：,（,3,）倍加某行：,二、矩阵的初等变换,（,Elementary Transformation,）,定义,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的,初等变换,同理，把 换成 可定义矩阵的,初等列变换,.,ERT,ECT,ET,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,定义,经过有限次初等变换变成矩阵 ，,如果矩阵,就称矩阵,，记作,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系就称为,等价,（,1,）反身性：,（,2,）对称性：,（,3,）传递性：,利用,初等,行,变换可把矩阵 化为,行阶梯形矩阵,.,利用,初等,行,变换，也可把矩阵化为,行最简形矩阵,.,定理,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩,阵化为,标准形矩阵,.,三、矩阵的秩,1,、子阵与 阶子式,将矩阵,的某些行和列划去（可以只,划去某些行或列），剩下的元素按原来的顺序构成的,新矩阵叫做,矩阵 的子矩阵中，任取 行 列,在,矩阵,位于这些行与列交叉处的,个元素，依照它们在,中的位置次序不变而得的,阶行列式，称为矩阵,的一个,定义,定义,阶子式,.,矩阵共有 个,阶子式,.,最低阶为 阶，,最高阶为 阶,.,如：矩阵,取第,1,行、第,3,行和第,1,列、第,4,列交叉处的元素，,二阶子式是,组成的,的最高阶子式是,3,阶，共有,4,个,3,阶子式,.,易见,而在这个矩阵中,都是矩阵 的子矩阵,.,2,、矩阵的秩,定义,（,1,）,（,2,）,则 称为矩阵 的,最高阶非零子式,.,记为 或,.,（,1,）,性质：,（,2,）,（,3,）,（,4,）,阶方阵 ，,（,5,）,其中,（,6,最高阶非零子式,的阶数称为,矩阵的,秩,，,定义,阶方阵 ，,为,满秩阵,.,，则称,定义,，则称,为,行满秩阵,；,，则称,为,列满秩阵,；,结论,矩阵的秩,最高阶非零子式的,阶,数,行阶梯形矩阵非零行的行数,行最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的,阶,数,，则称,为,降秩阵,.,定义,所有与 等价的矩阵的集合称为一个,等价类,.,注：,（）所有 矩阵可以划分为,一个,等价类,.,（）化 为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，仅能,用初等行变换，而化 为标准形矩阵时，初等行变,换和初等列变换均可使用,.,（）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一,.,（）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵,.,（）同型同秩矩阵等价,.,例,解,计算,A,的,3,阶子式，,用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩,.,四、应用举例,解,例,并求的一个最高阶非零子式,.,设,，求矩阵的,秩，,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵：,求的一个最高阶非零子式,知的一个最高阶非零子式为阶，,的阶子式共有个，,考察的行阶梯形矩阵,记,则在,中找一个三阶非零子式,根据初等行变换对应到,A,中可以找到一个三阶非零子式,易验证,的一个最高,阶非零子式,.,例,设,其中,求,解,分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故,例,4,将下列矩阵利用初等变换化为,行阶梯形,再,化为,行最简形,最后,化为标准形,.,并求其,秩,.,注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换,.,化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用,.,依次为行阶梯形和行最简形矩阵。,最后得到的矩阵 是 的标准形，,依次为,秩显然为,.,、,子阵与 阶子式,、,秩的定义及性质,五、小结,、矩阵的初等变换,（,Elementary transformation,）,初等行,(,列,),变换,（,1,）,（,2,）,则 称为矩阵 的,最高阶非零子式,.,记为 或,.,最高阶非零子式,的阶数称为,矩阵的,秩,，,、,经过有限次初等变换变成矩阵 ，,如果矩阵,就称矩阵,，记作,、,矩阵等价具有的性质,利用初等行变换可把矩阵 化为,行阶梯形矩阵,.,利用初等行变换，也可把矩阵化为,行最简形矩阵,.,、,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩,阵,化为,标准形矩阵,.,、,矩阵的秩,最高阶非零子式的,阶,数,行阶梯形矩阵非零行的行数,行最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的,阶,数,一 初等矩阵,三 小结,第六节 初等矩阵,二 应用举例,、,子式与 阶子式,、,秩的定义及性质,课前复习,、矩阵的初等变换,（,Elementary transformation,）,初等行,(,列,),变换,（,1,）,（,2,）,则 称为矩阵 的,最高阶非零子式,.,记为 或,.,最高阶非零子式,的阶数称为,矩阵的,秩,，,、,经过有限次初等变换变成矩阵 ，,如果矩阵,就称矩阵,，记作,、,矩阵等价具有的性质,利用初等行变换可把矩阵 化为,行阶梯形矩阵,.,利用初等行变换，也可把矩阵化为,行最简形矩阵,.,、,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩,阵,化为,标准形矩阵,.,、,矩阵的秩,最高阶非零子式的,阶,数,行阶梯形矩阵非零行的行数,行最简形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位矩阵的,阶,数,相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,.,一、初等矩阵的概念,定义,、对调,就称为,初等矩阵,.,记作,、数乘,记作,、倍加,记作,基本事实,(,左行右列,),相当于,相当于,相当于,相当于,相当于,相当于,二、基本结论,、初等矩阵均可逆,、,为初等矩阵,、,、,有限个初等矩阵,、,为可逆阵,三、初等矩阵的应用,又,因此,类似的,因此,又,因此,因此,又,例,设,求证,证,:,例,2,解,例,3,解一,由例,2,得,解二,用初等变换解矩阵方程：,求，,使,例,4,用初等变换解矩阵方程：,例,5,求，,使,例,6,已知矩阵的伴随矩阵,且,，求,.,解,例,7,求，,使,解,第二章小结与练习,一、矩阵的定义,定义,）排成的 行 列的矩形数表，称为数域,由数域中的个数（,记作：,中的一个,矩阵,.,F,注：,实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等,.,二、几种特殊的矩阵,1,）,零矩阵,个,元素全为零的矩阵称为,零矩阵,.,2,）,对角矩阵,主对角线以外的所有,元素全为零的方阵称为,对角阵,.,3,）,单位矩阵,主对角线上的所有,元素全为,1,的对角阵称为,单位阵,.,4,）,数量矩阵,主对角线上的所有,元素全为 的对角阵称为,数量阵,.,5,）,三角矩阵,上三角矩阵与下三角矩阵统称为,三角阵,.,6,）,负矩阵,7,）,对合矩阵,设,为阶方阵，如果，则称矩阵为,对合矩阵,.,8,）,正交矩阵,设,为阶方阵，如果，则称矩阵为,正交矩阵,.,9,）,幂等矩阵,设,为阶方阵，如果，则称矩阵为,幂等矩阵,.,称满足下列两个条件的矩阵为,阶梯形矩阵,：,1若有零行（元素全为零的行），位于底部；,10,）,阶梯形矩阵,2,）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,.,称满足下列三个条件的矩阵为,行最简形矩阵,：,1,）行阶梯形矩阵,11,）,行最简形矩阵,2,）各非零行的首非零元均为,1.,3,）首非零元所在列其它元素均为,.,称满足下列两个条件的矩阵为,标准形,：,1,）左上角为单位阵；,12,）,标准形,）其它元素均为,.,三、矩阵与线性变换的关系,之间的关系式,个变量与个变量,一个,线性变换,.,表示一个从变量 到变量,其中 为常数,.,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,.,四、矩阵的运算,1,、,加法,注意,:,只有,同型矩阵,才能进行,加法,运算,.,若,规定,2,、,数乘,若,规定,3,、,乘法,若,规定,其中,4,、,幂,规定,若,注：,1,、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,.,2,、,只能是正整数,.,把矩阵,的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做,的,转置矩阵,，记作,.,5,、,转置,设,为阶方阵，若 ，即 ，,那么,称为,对称矩阵,.,设,为阶方阵，若 ，即 ，,那么,称为,反,对称矩阵,.,行列式 的各个元素的代数余子式,所构成矩阵的转置,.,、伴随矩阵,记作,、共轭矩阵,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭,复数，记，称为 的,共轭矩阵,.,6,、方阵的行列式,行列式,（各元素的位置不变）叫做,方阵,的行列式,.,记作,由阶方阵,的元素所构成的,五、逆矩阵的概念和性质,使得,的逆矩阵记作,1,、,定义,对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 ，,则称矩阵 是,可逆,的，,并把矩阵 称为 的,逆矩阵,.,定理,1,若矩阵 可逆，则,定理,2,矩阵 可逆的充要条件是 ，,且,其中,为矩阵,的伴随矩阵,.,2,、,性质,六、矩阵的分块,及运算规则,对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，,经常采用,分块法,，使大矩阵的运算化成小矩阵的运,算,.,具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成,许多个小矩阵，每一个小矩阵称为,子块,，以子块为,元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,.,分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,.,分块对角矩阵,都是方阵,.,分块对角矩阵具有下述性质,:,1,）,2,）,3,）,若,则有,若 ，则有,4,）,若,则,均为可逆方阵,.,5,）,若,则,6,、,设,则,七、矩阵的初等变换,（,Elementary Transformation,）,1,、定义,下面三种变换称为矩阵的,初等行变换,.,（,1,）互换两行：,（,2,）数乘某行：,（,3,）倍加某行：,同理，把 换成 可定义矩阵的,初等列变换,.,ERT,ECT,定义,矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的,初等变换,ET,定义,经过有限次初等变换变成矩阵 ，,如果矩阵,就称矩阵,，记作,等价关系的性质：,反身性对称性、传递性,.,八、矩阵的秩,定义,（,1,）,（,2,）,则 称为矩阵 的,最高阶非零子式,.,记为 或,.,最高阶非零子式,的阶数称为,矩阵的,秩,，,，则称,定义,阶方阵 ，,为,满秩阵,.,定义,，则称,为,行满秩阵,；,，则称,为,列满秩阵,；,，则称,为,降秩阵,.,定义,所有与,等价的矩阵的集合称为一个,等价类,.,九、初等矩阵的概念,相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,.,定义,就称为,初等矩阵,.,、对调,、数乘,、倍加,十、初等矩阵的应用,1,、求逆,2,、求方程,十一、重要公式,十二、关于秩的若干结论,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,阶方阵,，,（,5,）,其中,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,（,10,）,（,11,）,（,12,）,（,13,）,（,14,）,（,15,）,（,16,）,（,17,）,证明,:,（,18,）,（,19,）,证,1:,证,2:,证,3:,（,20,）,十三、矩阵方程,形如,的方程称为矩阵,方程,.,求未知矩阵,都是利用矩阵运算把矩阵方程化为,若,都可逆,上述类型的方程可以用求逆方法求出,若,不可逆,可以用待定系数法求出,.,十四、应用举例,例,1,设,矩阵,则,例,2,设,是,矩阵，且，而,则,例,3,设,是阶方,阵，且，则,例,4,设,是阶方,阵，且,则,0,2,1,